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正确率60.0%$$\alpha Z=\frac{1} {\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta\cdot i}-\frac{1} {2} \ ($$其中$${{i}}$$是虚数单位）是纯虚数．$${{”}}$$是$${}^{\omega} \theta=\frac{\pi} {6}+2 k \pi"$$的（）条件．
B
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
2、['给值求角'， '两角和与差的正弦公式'， '特殊角的三角函数值'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%设$${{α}{，}{β}{∈}{[}{0}{，}{π}{]}{，}}$$且满足$${{s}{i}{n}{α}{{c}{o}{s}}{β}{−}{{c}{o}{s}}{α}{{s}{i}{n}}{β}{=}{1}}$$，则$${{s}{i}{n}{(}{2}{α}{−}{β}{)}{+}{{s}{i}{n}}{(}{α}{−}{2}{β}{)}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{[}{−}{\sqrt {2}}{，}{1}{]}}$$
B.$${{[}{−}{1}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$
C.$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$
D.$${{[}{1}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$
3、['给值求角']正确率40.0%若$${{s}{i}{n}{α}{（}{1}{+}{\sqrt {3}}{{t}{a}{n}}{{1}{0}^{∘}}{）}{=}{1}{，}}$$若$${{α}}$$为钝角，$${{α}{=}{（}}$$）
D
A.$${{1}{1}{0}^{∘}}$$
B.$${{1}{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{4}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{3}{0}^{∘}}$$
4、['给值求角']正确率40.0%已知函数$$y={\sqrt{3}} \operatorname{t a n} {\frac{x} {2}}， ~ x \neq~ ( 2 k+1 ) ~ \pi~ ( ~ k \in Z )$$，若$${{y}{=}{1}}$$，则（）
B
A.$$x=k \pi+{\frac{\pi} {3}} \ ( \ k \in Z )$$
B.$$x=2 k \pi+{\frac{\pi} {3}} \ ( \ k \in Z )$$
C.$$x=k \pi+{\frac{\pi} {6}} \ ( \ k \in Z )$$
D.$$x=2 k \pi+{\frac{\pi} {6}} \ ( \ k \in Z )$$
5、['给值求角'， '数量积的性质'， '数量积的运算律'， '向量垂直'， '向量的数量积的定义']正确率60.0%设向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$满足$${{|}{{a}^{→}}{|}{=}{1}{，}{|}{{b}^{→}}{|}{=}{\sqrt {2}}{，}{{a}^{→}}{⊥}{(}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}{)}}$$，则$${{a}^{→}}$$与$${{b}^{→}}$$的夹角为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\frac{2 \pi} {3}$$
C.$$\frac{3 \pi} {4}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
8、['余弦定理及其应用'， '给值求角']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，且$${{c}^{2}{−}{{a}^{2}}{−}{{b}^{2}}{=}{a}{b}}$$，则角$${{C}{=}{（}}$$）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{5 \pi} {6}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
9、['正弦定理及其应用'， '给值求角'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%在钝角$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A B=\sqrt{3}， \， \， \， A C=1， \， \， \， B=\frac{\pi} {6}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积是$${{(}{)}}$$
B
A.False
B.False
C.False
D.False
10、['正弦定理及其应用'， '给值求角'， '同角三角函数的商数关系']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}{A}{，}{B}{，}{C}}$$分别是$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的三条边及相对三个角，满足$${{a}{︰}{b}{︰}{c}{=}{{c}{o}{s}}{A}{︰}{{c}{o}{s}}{B}{︰}{{c}{o}{s}}{C}}$$，则$${{△}{{A}{B}{C}}}$$的形状是
B
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
1. 首先化简复数表达式：$$Z = \frac{1}{\sin \theta + \cos \theta \cdot i} - \frac{1}{2}$$。将分母有理化得：$$Z = \frac{\sin \theta - \cos \theta \cdot i}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} - \frac{1}{2} = \sin \theta - \cos \theta \cdot i - \frac{1}{2}$$。因为 $$Z$$ 是纯虚数，其实部为零：$$\sin \theta - \frac{1}{2} = 0$$，即 $$\sin \theta = \frac{1}{2}$$，解得 $$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ 或 $$\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$。题目条件是 $$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$，仅为充分条件，故选 A。
2. 由 $$sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta = 1$$ 得 $$sin(\alpha - \beta) = 1$$，故 $$\alpha - \beta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$。代入 $$sin(2\alpha - \beta) + sin(\alpha - 2\beta)$$ 化简为 $$2sin\left(\frac{3\alpha - 3\beta}{2}\right)cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)$$。将 $$\alpha = \beta + \frac{\pi}{2}$$ 代入得 $$2sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)$$。由于 $$\beta \in [0, \pi]$$，$$\beta + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$$，$$cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[-1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$，因此取值范围为 $$[- \sqrt{2}, 1]$$，故选 A。
3. 化简方程 $$sin \alpha (1 + \sqrt{3} tan 10°) = 1$$。注意到 $$\sqrt{3} tan 10° = tan 60° tan 10°$$，利用 $$1 + tan A tan B = \frac{cos(A - B)}{cos A cos B}$$ 得 $$1 + \sqrt{3} tan 10° = \frac{cos 50°}{cos 60° cos 10°}$$。因此原方程化为 $$sin \alpha \cdot \frac{cos 50°}{cos 60° cos 10°} = 1$$，即 $$sin \alpha = \frac{cos 60° cos 10°}{cos 50°}$$。利用 $$cos 50° = sin 40°$$ 和 $$cos 10° = sin 80°$$，化简得 $$sin \alpha = \frac{cos 60° sin 80°}{sin 40°}$$。由 $$sin 80° = 2 sin 40° cos 40°$$，得 $$sin \alpha = cos 60° \cdot 2 cos 40° = cos 40°$$。因为 $$\alpha$$ 为钝角，故 $$\alpha = 140°$$，故选 C。
4. 解方程 $$\sqrt{3} tan \frac{x}{2} = 1$$，得 $$tan \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$，即 $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + k\pi$$，因此 $$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$，故选 B。
5. 由 $$\vec{a} \perp (\vec{a} + \vec{b})$$ 得 $$\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0$$，即 $$|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$。因为 $$|\vec{a}| = 1$$，故 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$$。设夹角为 $$\theta$$，则 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos \theta = \sqrt{2} cos \theta = -1$$，解得 $$cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$，故 $$\theta = \frac{3\pi}{4}$$，选 C。
8. 由余弦定理 $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$$，代入题中等式得 $$a^2 + b^2 - 2ab cos C - a^2 - b^2 = ab$$，化简得 $$-2ab cos C = ab$$，即 $$cos C = -\frac{1}{2}}$$，故 $$C = \frac{2\pi}{3}$$，选 D。
9. 由正弦定理 $$\frac{AB}{sin C} = \frac{AC}{sin B}$$，得 $$\frac{\sqrt{3}}{sin C} = \frac{1}{sin \frac{\pi}{6}} = 2$$，故 $$sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}}$$。因为三角形为钝角三角形，故 $$C = \frac{2\pi}{3}$$。面积 $$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot sin A$$，其中 $$A = \pi - B - C = \frac{\pi}{6}$$，因此 $$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}}$$。但选项中无此答案，可能是题目描述有误。
10. 由题意得 $$\frac{a}{cos A} = \frac{b}{cos B} = \frac{c}{cos C}$$。结合正弦定理 $$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$$，得 $$tan A = tan B = tan C$$，故 $$A = B = C$$，即三角形为等边三角形，选 B。