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正确率60.0%已知$${{α}{，}{β}}$$都是锐角，$$\operatorname{t a n} \alpha=\frac{1} {2}， ~ \operatorname{t a n} \beta=\frac{1} {3}$$，则$${{α}{+}{β}}$$的值为（）
A
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
2、['两角和与差的正切公式']正确率60.0%$$\frac{\sqrt{3}-\operatorname{t a n} 1 5^{\circ}} {1+\sqrt{3} \operatorname{t a n} 1 5^{\circ}}$$的值为（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{1}}$$
3、['同角三角函数基本关系的综合应用'， '两角和与差的正切公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知$$\operatorname{t a n} ( \frac{\pi} {4}+\theta)=3，$$则$$\operatorname{s i n} 2 \theta-2 \operatorname{c o s}^{2} \theta$$的值为（）
A
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
5、['余弦定理及其应用'， '同角三角函数的商数关系'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{S}}$$为$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积，且$$S=\frac{1} {2} ( b^{2}+c^{2}-a^{2} )$$，则$$\operatorname{t a n} B+\operatorname{t a n} C-2 \operatorname{t a n} B \operatorname{t a n} C=$$（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
6、['平面向量共线的坐标表示'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%己知向量$$\vec{a}=( 2， \operatorname{t a n} \theta)， \， \， \， \vec{b}=( 1，-1 )，$$且$$\vec{a} / / \vec{b}，$$则$$\operatorname{t a n} ( \frac{\pi} {4}-\theta)=( \eta)$$
D
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
8、['两角和与差的正切公式']正确率60.0%$$( 1-\operatorname{t a n} 6 7^{\circ} ) ( 1-\operatorname{t a n} 6 8^{\circ} )=$$$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['两角和与差的正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$${{t}{a}{n}{{1}{0}{5}^{∘}}}$$值是（）
B
A.$${{1}{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{−}{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\sqrt3-2$$
D.$${{−}{1}{−}{\sqrt {3}}}$$
10、['两角和与差的正切公式'， '角的代换']正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} ( \alpha+\beta)=\frac{2} {5}， \operatorname{t a n} ( \alpha-\beta)=\frac{1} {4}$$，则$$\operatorname{t a n} 2 \alpha=$$（）
D
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{2 2} {1 3}$$
C.$$\frac{3} {2 2}$$
D.$$\frac{1 3} {1 8}$$
1. 已知$${\alpha}$$, $${\beta}$$都是锐角，$$\tan \alpha = \frac{1}{2}$$, $$\tan \beta = \frac{1}{3}$$，则$${\alpha + \beta}$$的值为（ ）。
使用正切和角公式：$$\tan (\alpha + \beta) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta}}{{1 - \tan \alpha \tan \beta}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}} = \frac{{\frac{5}{6}}}{{1 - \frac{1}{6}}} = \frac{{\frac{5}{6}}}{{\frac{5}{6}}} = 1$$
由于$${\alpha}$$, $${\beta}$$都是锐角，$${\alpha + \beta}$$在$${(0, \pi)}$$内，且$$\tan (\alpha + \beta) = 1$$，所以$${\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}}$$
答案：A
2. $$\frac{{\sqrt{3} - \tan 15^{\circ}}}{{1 + \sqrt{3} \tan 15^{\circ}}}$$的值为（ ）。
观察形式符合正切差角公式：$$\tan (60^{\circ} - 15^{\circ}) = \frac{{\tan 60^{\circ} - \tan 15^{\circ}}}{{1 + \tan 60^{\circ} \tan 15^{\circ}}} = \frac{{\sqrt{3} - \tan 15^{\circ}}}{{1 + \sqrt{3} \tan 15^{\circ}}}$$
所以原式$${= \tan 45^{\circ} = 1}$$
答案：D
3. 已知$$\tan (\frac{\pi}{4} + \theta) = 3$$，则$$\sin 2\theta - 2 \cos^{2} \theta$$的值为（ ）。
由$$\tan (\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{{1 + \tan \theta}}{{1 - \tan \theta}} = 3$$，解得$${1 + \tan \theta = 3(1 - \tan \theta)}$$，即$${1 + \tan \theta = 3 - 3 \tan \theta}$$，所以$${4 \tan \theta = 2}$$，$${\tan \theta = \frac{1}{2}}$$
$$\sin 2\theta - 2 \cos^{2} \theta = 2 \sin \theta \cos \theta - 2 \cos^{2} \theta = 2 \cos^{2} \theta (\tan \theta - 1)$$
由$${\tan \theta = \frac{1}{2}}$$，设$${\sin \theta = \frac{1}{{\sqrt{5}}}}$$，$${\cos \theta = \frac{2}{{\sqrt{5}}}}$$，代入得：$${2 \times (\frac{2}{{\sqrt{5}}})^{2} \times (\frac{1}{2} - 1) = 2 \times \frac{4}{5} \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{4}{5}}$$
答案：A
5. 在$${\triangle ABC}$$中，$${S}$$为$${\triangle ABC}$$的面积，且$${S = \frac{1}{2}(b^{2} + c^{2} - a^{2})}$$，则$${\tan B + \tan C - 2 \tan B \tan C = }$$（ ）。
由面积公式$${S = \frac{1}{2}bc \sin A}$$，结合余弦定理$${a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cos A}$$，代入已知：$${\frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}(b^{2} + c^{2} - a^{2}) = \frac{1}{2}(b^{2} + c^{2} - (b^{2} + c^{2} - 2bc \cos A)) = bc \cos A}$$
所以$${\sin A = 2 \cos A}$$，即$${\tan A = 2}$$
在三角形中$${A + B + C = \pi}$$，所以$${B + C = \pi - A}$$，$${\tan (B + C) = \tan (\pi - A) = -\tan A = -2}$$
又$${\tan (B + C) = \frac{{\tan B + \tan C}}{{1 - \tan B \tan C}} = -2}$$，即$${\tan B + \tan C = -2(1 - \tan B \tan C) = -2 + 2 \tan B \tan C}$$
所以$${\tan B + \tan C - 2 \tan B \tan C = -2}$$
答案：D
6. 已知向量$${\vec{a} = (2, \tan \theta)}$$, $${\vec{b} = (1, -1)}$$，且$${\vec{a} \parallel \vec{b}}$$，则$${\tan (\frac{\pi}{4} - \theta) = }$$（ ）。
由向量平行：$${\frac{2}{1} = \frac{{\tan \theta}}{{-1}}}$$，即$${\tan \theta = -2}$$
$${\tan (\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \theta}}{{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \theta}} = \frac{{1 - (-2)}}{{1 + 1 \times (-2)}} = \frac{3}{{-1}} = -3}$$
答案：B
8. $${(1 - \tan 67^{\circ})(1 - \tan 68^{\circ}) = }$$（ ）。
注意$${67^{\circ} + 68^{\circ} = 135^{\circ}}$$，$${\tan 135^{\circ} = \tan (67^{\circ} + 68^{\circ}) = -1}$$
由和角公式：$${\frac{{\tan 67^{\circ} + \tan 68^{\circ}}}{{1 - \tan 67^{\circ} \tan 68^{\circ}}} = -1}$$，即$${\tan 67^{\circ} + \tan 68^{\circ} = -1 + \tan 67^{\circ} \tan 68^{\circ}}$$
所以$${\tan 67^{\circ} + \tan 68^{\circ} - \tan 67^{\circ} \tan 68^{\circ} = -1}$$
原式$${= 1 - (\tan 67^{\circ} + \tan 68^{\circ}) + \tan 67^{\circ} \tan 68^{\circ} = 1 - (-1) = 2}$$
答案：B
9. $${\tan 105^{\circ}}$$值是（ ）。
$${\tan 105^{\circ} = \tan (60^{\circ} + 45^{\circ}) = \frac{{\tan 60^{\circ} + \tan 45^{\circ}}}{{1 - \tan 60^{\circ} \tan 45^{\circ}}} = \frac{{\sqrt{3} + 1}}{{1 - \sqrt{3}}}}$$
分子分母同乘$${1 + \sqrt{3}}$$：$${\frac{{(\sqrt{3} + 1)^{2}}}{{1 - 3}} = \frac{{3 + 2\sqrt{3} + 1}}{{-2}} = \frac{{4 + 2\sqrt{3}}}{{-2}} = -2 - \sqrt{3}}$$
答案：B
10. 若$${\tan (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}}$$，$${\tan (\alpha - \beta) = \frac{1}{4}}$$，则$${\tan 2\alpha = }$$（ ）。
$${2\alpha = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}$$，由和角公式：
$${\tan 2\alpha = \frac{{\tan (\alpha + \beta) + \tan (\alpha - \beta)}}{{1 - \tan (\alpha + \beta) \tan (\alpha - \beta)}} = \frac{{\frac{2}{5} + \frac{1}{4}}}{{1 - \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}}} = \frac{{\frac{8}{20} + \frac{5}{20}}}{{1 - \frac{2}{20}}} = \frac{{\frac{13}{20}}}{{\frac{18}{20}}} = \frac{13}{18}}$$
答案：D