角的代换-5.5 三角恒等变换知识点专题进阶单选题自测题解析-河南省等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若$$\operatorname{s i n} A \mathrm{s i n} B=\operatorname{c o s}^{2} \frac{C} {2}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$一定是（）

A

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( x+\frac{\pi} {3} \right)=\frac{1} {4}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \frac{2 \pi} {3}-x \right)+\operatorname{s i n}^{2} \left( \frac{\pi} {6}-x \right)=$$（）

C

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{\sqrt{1 5}+1} {4}$$

C.$$\frac{1 9} {1 6}$$

D.$$\frac{3} {4}$$

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \alpha+6 0^{\circ} )=\frac{4} {5}， ~ 3 0^{\circ} < ~ \alpha< 1 2 0^{\circ}，$$则$$\operatorname{c o s} \alpha=$$（）

A

A.$$\frac{4 \sqrt{3}-3} {1 0}$$

B.$$- \frac{4 \sqrt{3}+3} {1 0}$$

C.$$\frac{4-3 \sqrt{3}} {1 0}$$

D.$$- \frac{4+3 \sqrt{3}} {1 0}$$

正确率40.0%定义运算$$\left| \begin{matrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \\ \end{matrix} \right|$$​$$= a d-b c，$$若$$\left| \begin{matrix} {\operatorname{s i n} \alpha} & {\operatorname{s i n} \beta} \\ {\operatorname{c o s} \alpha} & {\operatorname{c o s} \beta} \\ \end{matrix} \right|$$​$$=-\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}， ~ \mathrm{s i n} \alpha=\frac{\sqrt{5}} {5}$$，$$\alpha， \beta\in\left( 0， \frac{\pi} {2} \right)，$$则$${{β}{=}}$$（）

B

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {4}$$

C.$$\frac{\pi} {3}$$

D.$$\frac{3 \pi} {4}$$

正确率40.0%若$$\operatorname{s i n} 2 \alpha=\frac{\sqrt{5}} {5}， ~ \operatorname{s i n} ( \beta-\alpha)=\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}，$$且$$\alpha\in[ \frac{\pi} {4}， \ \pi] \，， \ \beta\in\left[ \pi， \ \frac{3 \pi} {2} \right]，$$则$${{α}{+}{β}}$$的值是（）

A

A.$$\frac{7 \pi} {4}$$

B.$$\frac{9 \pi} {4}$$

C.$$\frac{5 \pi} {4}$$或$$\frac{7 \pi} {4}$$

D.$$\frac{5 \pi} {4}$$或$$\frac{9 \pi} {4}$$

正确率60.0%已知锐角$${{α}{，}{β}}$$满足$$\mathrm{c o s} \alpha=\frac{2 \sqrt{5}} {5}， ~ \operatorname{s i n} ( \alpha-\beta)=-\frac{3} {5}，$$则$${{s}{i}{n}{β}}$$的值为（）

A

A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {2 5}$$

D.$$\frac{\sqrt{5}} {2 5}$$

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}+\alpha)=-\frac{3} {5}$$，则$$\operatorname{c o s} ( \frac{4 \pi} {3}-\alpha)=$$（）

B

A.$$\frac{4} {5}$$

B.$$\frac{3} {5}$$

C.$${{−}}$$$$\frac{4} {5}$$

D.$${{−}}$$$$\frac{3} {5}$$

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \Bigl( \alpha+\frac{\pi} {1 2} \Bigr)=-\frac{\sqrt{6}} {3}$$，则$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{5 \pi} {1 2} \right)=$$（）

B

A.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$

B.$$- \frac{\sqrt6} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$

正确率60.0%若$$0 < \alpha< \frac{\pi} {2} < \beta< \pi$$，且$$\operatorname{c o s} \beta=-\frac{1} {3}， \; \; \operatorname{s i n} \; \; ( \; \alpha+\beta) \; \;=\frac{7} {9}，$$则$${{s}{i}{n}{α}}$$的值是（）

C

A.$$\frac{1} {2 7}$$

B.$$\frac{5} {2 7}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\frac{2 3} {2 7}$$

正确率60.0%若$$\operatorname{t a n} ( \alpha+2 \beta)=3$$，$$\operatorname{t a n} ( \alpha-\beta)=2$$，则$$\operatorname{t a n} ( \alpha+5 \beta)=$$（）

B

A.$$\frac{1 1} {5}$$

B.$$\frac{1 1} {2}$$

C.$$\frac{2} {1 1}$$

D.$$\frac{5} {1 1}$$

在三角形 $$ABC$$ 中，已知 $$\sin A \sin B = \cos^2 \frac{C}{2}$$。我们需要确定三角形的形状。

首先，利用余弦半角公式：

$$\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{1 + \cos C}{2}$$

根据正弦定理和余弦定理，我们知道在三角形中，$$\sin A \sin B$$ 可以表示为：

$$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A - B) - \cos (A + B)]$$

由于 $$A + B = \pi - C$$，所以 $$\cos (A + B) = -\cos C$$。

将上述结果代入原式：

$$\frac{1}{2} [\cos (A - B) + \cos C] = \frac{1 + \cos C}{2}$$

化简得：

$$\cos (A - B) + \cos C = 1 + \cos C$$

$$\cos (A - B) = 1$$

这意味着 $$A - B = 0$$，即 $$A = B$$。因此，三角形 $$ABC$$ 是等腰三角形。

最终答案是：

已知 $$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$$，要求计算 $$\sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$$。

首先，利用三角函数的互补关系：

$$\sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) = \sin\left(\pi - \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$$

接下来，计算 $$\sin^2\left(\frac{\pi}{6} - x\right)$$：

$$\frac{\pi}{6} - x = -\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{2}$$

因此，

$$\sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

已知 $$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$$，所以：

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$$

因此，

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{15}{16}$$

将两部分相加：

$$\frac{1}{4} + \frac{15}{16} = \frac{4}{16} + \frac{15}{16} = \frac{19}{16}$$

最终答案是：

已知 $$\sin(\alpha + 60^\circ) = \frac{4}{5}$$，且 $$30^\circ < \alpha < 120^\circ$$，要求 $$\cos \alpha$$。

设 $$\theta = \alpha + 60^\circ$$，则 $$\sin \theta = \frac{4}{5}$$，且 $$90^\circ < \theta < 180^\circ$$。

因此，$$\cos \theta = -\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\frac{3}{5}$$。

利用余弦差公式：

$$\cos \alpha = \cos(\theta - 60^\circ) = \cos \theta \cos 60^\circ + \sin \theta \sin 60^\circ$$

$$= -\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{10} + \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{4\sqrt{3} - 3}{10}$$

最终答案是：

定义行列式运算 $$\left|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right| = ad - bc$$，已知 $$\left|\begin{matrix} \sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & \cos \beta \end{matrix}\right| = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$，且 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\alpha, \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$。

行列式展开为：

$$\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha - \beta) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$

已知 $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，所以 $$\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。

设 $$\gamma = \alpha - \beta$$，则 $$\sin \gamma = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$，且 $$\gamma \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$。

因此，$$\cos \gamma = \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$。

利用正弦差公式：

$$\sin \beta = \sin(\alpha - \gamma) = \sin \alpha \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma$$

$$= \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} - \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{50}}{50} + \frac{2\sqrt{50}}{50} = \frac{5\sqrt{50}}{50} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

因此，$$\beta = \frac{\pi}{4}$$。

最终答案是：

已知 $$\sin 2\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin(\beta - \alpha) = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，且 $$\alpha \in \left[\frac{\pi}{4}, \pi\right]$$，$$\beta \in \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$$。

首先，确定 $$\alpha$$ 的范围：

由于 $$\sin 2\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，且 $$\alpha \in \left[\frac{\pi}{4}, \pi\right]$$，所以 $$2\alpha \in \left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]$$。

设 $$2\alpha = \theta$$，则 $$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，且 $$\theta \in \left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]$$。

因此，$$\cos \theta = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。

由于 $$\theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$$ 时，$$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$；$$\theta \in \left[\pi, 2\pi\right]$$ 时，$$\cos \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。

因此，$$\alpha$$ 的可能值为：

1. $$\alpha \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$$，此时 $$\cos 2\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$。

2. $$\alpha \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$$，此时 $$\cos 2\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。

接下来，考虑 $$\beta$$ 的范围：

$$\beta \in \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$$，所以 $$\beta - \alpha \in \left[0, \frac{5\pi}{4}\right]$$。

已知 $$\sin(\beta - \alpha) = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，所以 $$\cos(\beta - \alpha) = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$$。

由于 $$\beta - \alpha \in \left[0, \frac{5\pi}{4}\right]$$，且 $$\sin(\beta - \alpha) > 0$$，所以 $$\beta - \alpha \in \left(0, \pi\right)$$。

因此，$$\cos(\beta - \alpha) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$$（因为 $$\beta - \alpha$$ 可能在第二象限）。

利用正弦和公式：

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin(2\alpha + (\beta - \alpha)) = \sin 2\alpha \cos(\beta - \alpha) + \cos 2\alpha \sin(\beta - \alpha)$$

代入已知值：

$$\sin(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) + \cos 2\alpha \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}$$

根据 $$\alpha$$ 的不同情况：

1. 若 $$\cos 2\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，则：

$$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{3\sqrt{50}}{50} - \frac{2\sqrt{50}}{50} = -\frac{5\sqrt{50}}{50} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

此时 $$\alpha + \beta = \frac{5\pi}{4}$$ 或 $$\frac{7\pi}{4}$$。

2. 若 $$\cos 2\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，则：

$$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{3\sqrt{50}}{50} + \frac{2\sqrt{50}}{50} = -\frac{\sqrt{50}}{50} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$$

此时不符合 $$\alpha + \beta$$ 的范围。

因此，$$\alpha + \beta = \frac{5\pi}{4}$$ 或 $$\frac{7\pi}{4}$$。

但根据 $$\beta \in \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$$ 和 $$\alpha \in \left[\frac{\pi}{4}, \pi\right]$$，$$\alpha + \beta$$ 的最小值为 $$\frac{5\pi}{4}$$，最大值为 $$\frac{5\pi}{2}$$。

进一步验证：

若 $$\alpha + \beta = \frac{5\pi}{4}$$，则 $$\beta = \frac{5\pi}{4} - \alpha$$。

若 $$\alpha + \beta = \frac{7\pi}{4}$$，则 $$\beta = \frac{7\pi}{4} - \alpha$$。

由于 $$\beta \in \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$$，只有 $$\alpha + \beta = \frac{7\pi}{4}$$ 满足条件。

最终答案是：

已知锐角 $$\alpha, \beta$$ 满足 $$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，$$\sin(\alpha - \beta) = -\frac{3}{5}$$，要求 $$\sin \beta$$。

首先，计算 $$\sin \alpha$$：

$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

由于 $$\alpha, \beta$$ 为锐角，$$\alpha - \beta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$。

已知 $$\sin(\alpha - \beta) = -\frac{3}{5}$$，所以 $$\cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5}$$。

利用正弦差公式：

$$\sin \beta = \sin(\alpha - (\alpha - \beta)) = \sin \alpha \cos(\alpha - \beta) - \cos \alpha \sin(\alpha - \beta)$$

$$= \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4\sqrt{5}}{25} + \frac{6\sqrt{5}}{25} = \frac{10\sqrt{5}}{25} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

最终答案是：

已知 $$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = -\frac{3}{5}$$，要求 $$\cos\left(\frac{4\pi}{3} - \alpha\right)$$。

设 $$\theta = \frac{\pi}{6} + \alpha$$，则 $$\sin \theta = -\frac{3}{5}$$。

因此，$$\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$$。

注意到 $$\frac{4\pi}{3} - \alpha = \frac{4\pi}{3} - \left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\pi}{2} - \theta$$。

利用余弦差公式：

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin \theta = \frac{3}{5}$$

最终答案是：

已知 $$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$，要求 $$\cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{12}\right)$$。

注意到 $$\alpha - \frac{5\pi}{12} = \left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) - \frac{\pi}{2}$$。

利用余弦差公式：

$$\cos\left(\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$

最终答案是：

已知 $$0 < \alpha < \frac{\pi}{2} < \beta < \pi$$，且 $$\cos \beta = -\frac{1}{3}$$，$$\sin(\alpha + \beta) = \frac{7}{9}$$，要求 $$\sin \alpha$$。

首先，计算 $$\sin \beta$$：

$$\sin \beta = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

利用正弦和公式：

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{7}{9}$$

$$-\frac{1}{3} \sin \alpha + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cos \alpha = \frac{7}{9}$$

设 $$\sin \alpha = x$$，则 $$\cos \alpha = \sqrt{1 - x^2}$$。

代入方程：

$$-\frac{1}{3} x + \frac{2\sqrt{2}}{3} \sqrt{1 - x^2} = \frac{7}{9}$$

整理得：

$$2\sqrt{2} \sqrt{1 - x^2} = \frac{7}{3} + x$$

两边平方：

$$8(1 - x^2) = \left(\frac{7}{3} + x\right)^2$$

$$8 - 8x^2 = \frac{49}{9} + \frac{14x}{3} + x^2$$

$$72 - 72x^2 = 49 + 42x + 9x^2$$

$$81x^2 + 42x - 23 = 0$$

解这个二次方程：

$$x = \frac{-42 \pm \sqrt{1764 + 7452}}{162} = \frac{-42 \pm \sqrt{9216}}{162} = \frac{-42 \pm 96}{162}$$

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