二倍角的正弦、余弦、正切公式-5.5 三角恒等变换知识点回顾进阶选择题自测题答案-宁夏回族自治区等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1. 已知函数 $$f(x) = (\sin x + \cos x)^2$$，则 $$f'(\frac{\pi}{3})$$ 等于（ ）。

首先化简函数：$$f(x) = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$$

求导：$$f'(x) = 2 \cos 2x$$

代入 $$x = \frac{\pi}{3}$$：$$f'(\frac{\pi}{3}) = 2 \cos \frac{2\pi}{3} = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$$

答案：C

2. 已知 $$2 \sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sqrt{3}$$，则 $$\sin 2\alpha =$$（ ）。

由已知：$$\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

利用和角公式：$$\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha + \cos \alpha)$$

两边平方：$$\left[\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha + \cos \alpha)\right]^2 = \frac{1}{2}(\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) = \frac{1}{2}(1 + \sin 2\alpha) = \frac{3}{4}$$

解得：$$1 + \sin 2\alpha = \frac{3}{2}$$，$$\sin 2\alpha = \frac{1}{2}$$

答案：A

3. 在 $$\triangle ABC$$ 中，已知 $$b = \frac{\sqrt{3}}{3}a$$，$$A = 2B$$，则 $$\cos B =$$（ ）。

由正弦定理：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$，代入得：$$\frac{a}{\sin 2B} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{\sin B}$$

化简：$$\frac{1}{2 \sin B \cos B} = \frac{\sqrt{3}}{3 \sin B}$$，两边乘以 $$\sin B$$：$$\frac{1}{2 \cos B} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

解得：$$\cos B = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

答案：B

4. 若 $$\tan (\alpha - \frac{\pi}{4}) = 3$$，则 $$\cos 2\alpha + 2 \sin 2\alpha =$$（ ）。

令 $$t = \tan (\alpha - \frac{\pi}{4}) = 3$$，则 $$\tan \alpha = \tan[(\alpha - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}] = \frac{t + 1}{1 - t} = \frac{3 + 1}{1 - 3} = -2$$

利用万能公式：$$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{-4}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$$，$$\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$$

代入：$$\cos 2\alpha + 2 \sin 2\alpha = -\frac{3}{5} + 2 \times (-\frac{4}{5}) = -\frac{11}{5}$$

答案：D

5. 函数 $$f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x$$ 的一个对称中心是（ ）。

化简：$$f(x) = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(-\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x)$$

合并三角函数：$$-\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2 \sin (2x - \frac{\pi}{6})$$

所以 $$f(x) = \frac{1}{2} + \sin (2x - \frac{\pi}{6})$$

正弦函数的对称中心满足 $$2x - \frac{\pi}{6} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{12}$$

当 $$k = 0$$ 时，$$x = \frac{\pi}{12}$$，$$f(x) = \frac{1}{2}$$

答案：B

7. 在 $$\triangle ABC$$ 中，$$A > B$$，则下列不等式正确的个数为（ ）。

① $$\sin A > \sin B$$：在 $$(0, \pi)$$ 内正弦函数先增后减，但三角形内角均小于 $$\pi$$，且 $$A + B < \pi$$，所以 $$A > B \Rightarrow \sin A > \sin B$$ 成立

② $$\cos A < \cos B$$：余弦函数在 $$(0, \pi)$$ 内递减，所以 $$A > B \Rightarrow \cos A < \cos B$$ 成立

③ $$\sin 2A > \sin 2B$$：$$2A$$ 和 $$2B$$ 可能不在同一单调区间，反例：$$A = 100^\circ$$，$$B = 40^\circ$$，则 $$\sin 200^\circ < \sin 80^\circ$$，不成立

④ $$\cos 2A < \cos 2B$$：同理，余弦函数周期性导致不一定成立，反例：$$A = 100^\circ$$，$$B = 40^\circ$$，则 $$\cos 200^\circ > \cos 80^\circ$$，不成立

正确的有 2 个

答案：C

8. 已知 $$\sin x = \frac{2}{3}$$，则 $$\cos 2x =$$（ ）。

直接使用二倍角公式：$$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = 1 - 2 \times (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$$

答案：D

9. 函数 $$f(x) = 2 \sin x \sin (\frac{5\pi}{2} + x) + 2a \cos^2 (\pi - x)$$，对任意 $$x \in R$$，满足 $$f(x) \leq f(\frac{\pi}{12})$$，则实数 $$a =$$（ ）。

化简：$$\sin (\frac{5\pi}{2} + x) = \sin (2\pi + \frac{\pi}{2} + x) = \cos x$$，$$\cos (\pi - x) = -\cos x$$

所以 $$f(x) = 2 \sin x \cos x + 2a \cos^2 x = \sin 2x + a(1 + \cos 2x)$$

$$f(x) = a + \sin 2x + a \cos 2x$$

由于 $$f(x) \leq f(\frac{\pi}{12})$$ 对任意 $$x$$ 成立，说明 $$x = \frac{\pi}{12}$$ 是最大值点

求导：$$f'(x) = 2 \cos 2x - 2a \sin 2x$$，令 $$f'(\frac{\pi}{12}) = 0$$

代入：$$2 \cos \frac{\pi}{6} - 2a \sin \frac{\pi}{6} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 2a \times \frac{1}{2} = \sqrt{3} - a = 0$$

解得：$$a = \sqrt{3}$$

答案：C

10. 已知 $$\frac{1 + \sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta} = -\frac{1}{2}$$，其中 $$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$$，则 $$\tan \frac{\theta}{2}$$ 的值为（ ）。

使用万能公式：令 $$t = \tan \frac{\theta}{2}$$，则 $$\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2}$$，$$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$

代入左边分子：$$1 + \frac{2t}{1 + t^2} - \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{1 + t^2 + 2t - 1 + t^2}{1 + t^2} = \frac{2t^2 + 2t}{1 + t^2}$$

分母：$$\frac{2t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{1 + 2t - t^2}{1 + t^2}$$

所以原式化为：$$\frac{2t^2 + 2t}{1 + 2t - t^2} = -\frac{1}{2}$$

交叉相乘：$$4t^2 + 4t = -1 - 2t + t^2$$

整理：$$3t^2 + 6t + 1 = 0$$

解得：$$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3}$$

由于 $$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$$，则 $$\frac{3\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \pi$$，$$\tan \frac{\theta}{2} < 0$$

所以取负值：$$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{-3 - \sqrt{6}}{3}$$（但此值不在选项中）

重新检查计算：$$3t^2 + 6t + 1 = 0$$ 的判别式 $$36 - 12 = 24$$，根为 $$t = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$$

负根为 $$-1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$$，仍不在选项中

检查原方程：可能题目有误或选项有误，但根据计算无匹配选项

答案：无正确选项（题目可能需修正）