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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=2 \mathrm{c o s} ( \omega x+\varphi)+\mathrm{s i n} ( \omega x+\varphi)$$是奇函数，则$$\operatorname{t a n} \varphi=$$（）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['同角三角函数的商数关系'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%函数$$f ( x )=( 1+\operatorname{t a n} x ) \operatorname{c o s} x$$$$x \in[-\frac{\pi} {4}， ~ 0 ]$$，则$${{f}{（}{x}{）}}$$的最大值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}{+}{\sqrt {2}}}$$
4、['辅助角公式'， '平面向量坐标运算的综合应用'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '向量的夹角']正确率40.0%两个单位向量$$\overrightarrow{O A}， \， \overrightarrow{O B}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$，点$${{C}}$$在以$${{O}}$$圆心的圆弧$${{A}{B}}$$上移动，$$\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}$$，则$${{x}{+}{y}}$$的最大值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{6}} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
5、['辅助角公式'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%$$\sqrt3 \operatorname{s i n} \frac{\pi} {1 2}+\operatorname{c o s} \frac{\pi} {1 2}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
7、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '正弦曲线的对称轴'， '辅助角公式'， '正弦（型）函数的定义域和值域']正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} x+a \operatorname{c o s} x$$的图象关于直线$$x=\frac{\pi} {6}$$对称，则实数$${{a}}$$的值是（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
8、['利用诱导公式化简'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '辅助角公式']正确率40.0%设当$${{x}{=}{θ}}$$时，函数$$y=3 \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x$$取得最大值，则$$\operatorname{s i n} \theta=$$（）
D
A.$$- \frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
C.$$- \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
9、['辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '余弦（型）函数的单调性']正确率40.0%设$$a=\sqrt{2} ( \operatorname{c o s}^{2} 1 6^{\circ}-\operatorname{s i n}^{2} 1 6^{\circ} )， \， \， \， b=\operatorname{s i n} 1 5^{\circ}+\operatorname{c o s} 1 5^{\circ}， \， \， \， c=\sqrt{1+\operatorname{c o s} 5 6^{\circ}}$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系正确的是（）
A
A.$$a < b < c$$
B.$$b < c < a$$
C.$$c < b < a$$
D.$$b < a < c$$
10、['辅助角公式']正确率40.0%已知$$f ( x )=\operatorname{s i n} \omega x+\sqrt{3} \operatorname{c o s} \omega x ( \omega> 0 )$$在区间$$[ \frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {4} ]$$上单调递增，则$${{ω}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 0， \frac{2} {3} ]$$
B.$$( 0， \frac{2} {3} ] \cup[ 7， \frac{2 6} {3} ]$$
C.$$[ 7， \frac{2 6} {3} ] \cup[ \frac{5 0} {3}， 1 9 ]$$
D.$$( 0， \frac{2} {3} ] \cup[ \frac{5 0} {3}， 1 9 ]$$
1. 已知函数 $$f(x)=2 \cos (\omega x+\varphi)+\sin (\omega x+\varphi)$$ 是奇函数，则 $$\tan \varphi=$$（ ）。
奇函数满足 $$f(-x)=-f(x)$$，代入得：
$$2 \cos (-\omega x+\varphi)+\sin (-\omega x+\varphi) = -[2 \cos (\omega x+\varphi)+\sin (\omega x+\varphi)]$$
利用 $$\cos(-x)=\cos x$$，$$\sin(-x)=-\sin x$$，化简得：
$$2 \cos (\omega x-\varphi) - \sin (\omega x-\varphi) = -2 \cos (\omega x+\varphi) - \sin (\omega x+\varphi)$$
比较系数，令 $$\omega x=0$$，得：
$$2 \cos \varphi - \sin \varphi = -2 \cos \varphi - \sin \varphi$$
解得 $$4 \cos \varphi=0$$，即 $$\cos \varphi=0$$，则 $$\tan \varphi$$ 无定义，但选项中有数值，需重新检查。
实际上，令 $$\omega x=\frac{\pi}{2}$$，代入得：
$$2 \cos (\frac{\pi}{2}+\varphi)+\sin (\frac{\pi}{2}+\varphi) = -2 \sin \varphi + \cos \varphi$$
右边为 $$-f(\frac{\pi}{2}) = -[2 \cos (\frac{\pi}{2}+\varphi)+\sin (\frac{\pi}{2}+\varphi)] = 2 \sin \varphi - \cos \varphi$$
等式为 $$-2 \sin \varphi + \cos \varphi = 2 \sin \varphi - \cos \varphi$$
即 $$4 \sin \varphi = 2 \cos \varphi$$，所以 $$\tan \varphi = \frac{1}{2}$$
答案：D. $$\frac{1}{2}$$
2. 函数 $$f(x)=(1+\tan x) \cos x$$，$$x \in [-\frac{\pi}{4}, 0]$$，则 $$f(x)$$ 的最大值为（ ）。
化简：$$f(x)=\cos x + \tan x \cos x = \cos x + \sin x$$
即 $$f(x)=\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x+\frac{\pi}{4})$$
当 $$x \in [-\frac{\pi}{4}, 0]$$，$$x+\frac{\pi}{4} \in [0, \frac{\pi}{4}]$$，$$\sin$$ 在此区间单调增，最大值在 $$x=0$$ 处：
$$f(0)=\sin 0 + \cos 0 = 1$$
答案：A. $$1$$
4. 两个单位向量 $$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$$ 的夹角为 $$60^\circ$$，点 $$C$$ 在以 $$O$$ 圆心的圆弧 $$AB$$ 上移动，$$\overrightarrow{OC}=x \overrightarrow{OA}+y \overrightarrow{OB}$$，则 $$x+y$$ 的最大值为（ ）。
由于 $$C$$ 在圆弧上，$$|\overrightarrow{OC}|=1$$，且 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$
由 $$\overrightarrow{OC}=x \overrightarrow{OA}+y \overrightarrow{OB}$$，两边平方：
$$1 = x^2 + y^2 + 2xy \cdot \frac{1}{2} = x^2 + y^2 + xy$$
令 $$s=x+y$$，$$p=xy$$，则 $$s^2 = x^2+y^2+2xy = 1 - xy + 2xy = 1 + xy$$，即 $$xy = s^2 - 1$$
又由不等式 $$(x+y)^2 \geq 4xy$$，得 $$s^2 \geq 4(s^2-1)$$，即 $$3s^2 \leq 4$$，$$s \leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
当 $$x=y$$ 时取等，代入原式：$$2x^2 + x^2 = 3x^2 = 1$$，$$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$$，$$s=2x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
答案：D. $$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
5. $$\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12}$$ 的值为（ ）。
利用公式 $$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\theta+\alpha)$$，其中 $$\tan \alpha = \frac{b}{a}$$
这里 $$a=\sqrt{3}$$，$$b=1$$，所以 $$\sqrt{a^2+b^2}=2$$，$$\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$$，$$\alpha = \frac{\pi}{6}$$
原式 $$=2 \sin (\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}) = 2 \sin \frac{\pi}{4} = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$
答案：C. $$\sqrt{2}$$
7. 函数 $$f(x) = \sin x + a \cos x$$ 的图象关于直线 $$x=\frac{\pi}{6}$$ 对称，则实数 $$a$$ 的值是（ ）。
对称轴 $$x=\frac{\pi}{6}$$ 意味着 $$f(\frac{\pi}{6}+t)=f(\frac{\pi}{6}-t)$$ 对所有 $$t$$ 成立。
取 $$t=\frac{\pi}{6}$$，则 $$f(\frac{\pi}{3})=f(0)$$
计算：$$f(\frac{\pi}{3})=\sin \frac{\pi}{3} + a \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{a}{2}$$
$$f(0)=\sin 0 + a \cos 0 = a$$
所以 $$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{a}{2} = a$$，解得 $$a=\sqrt{3}$$
答案：D. $$\sqrt{3}$$
8. 设当 $$x=\theta$$ 时，函数 $$y=3 \sin x - \cos x$$ 取得最大值，则 $$\sin \theta =$$（ ）。
最大值形式：$$y_{\text{max}} = \sqrt{3^2+(-1)^2} = \sqrt{10}$$
且存在 $$\alpha$$ 使得 $$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$$，$$\cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{10}}$$，则 $$y=\sqrt{10} \sin(x+\alpha)$$
最大值在 $$x+\alpha = \frac{\pi}{2}$$，即 $$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$$
所以 $$\sin \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{10}}$$
答案：A. $$- \frac{\sqrt{10}}{10}$$
9. 设 $$a=\sqrt{2} (\cos^2 16^\circ - \sin^2 16^\circ)$$，$$b=\sin 15^\circ + \cos 15^\circ$$，$$c=\sqrt{1+\cos 56^\circ}$$，则 $$a, b, c$$ 的大小关系正确的是（ ）。
化简各表达式：
$$a=\sqrt{2} \cos 32^\circ$$（二倍角公式）
$$b=\sqrt{2} \sin(15^\circ+45^\circ)=\sqrt{2} \sin 60^\circ = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.225$$
$$c=\sqrt{1+\cos 56^\circ} = \sqrt{2 \cos^2 28^\circ} = \sqrt{2} |\cos 28^\circ| \approx 1.414 \times 0.8829 \approx 1.248$$
$$a=\sqrt{2} \cos 32^\circ \approx 1.414 \times 0.8480 \approx 1.199$$
所以 $$a < b < c$$
答案：A. $$a < b < c$$
10. 已知 $$f(x)=\sin \omega x + \sqrt{3} \cos \omega x (\omega>0)$$ 在区间 $$[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]$$ 上单调递增，则 $$\omega$$ 的取值范围是（ ）。
化简：$$f(x)=2 \sin(\omega x + \frac{\pi}{3})$$
单调递增需导数 $$f'(x)=2\omega \cos(\omega x + \frac{\pi}{3}) \geq 0$$，即 $$\cos(\omega x + \frac{\pi}{3}) \geq 0$$
即 $$\omega x + \frac{\pi}{3} \in [2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}]$$，$$k \in \mathbb{Z}$$
对 $$x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]$$，需整个区间满足：
$$\omega \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \geq 2k\pi - \frac{\pi}{2}$$ 且 $$\omega \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$$
取 $$k=0$$，得：
$$\frac{\omega \pi}{6} + \frac{\pi}{3} \geq -\frac{\pi}{2}$$（自动满足）
$$\frac{\omega \pi}{6} + \frac{\pi}{3} \geq 0$$（自动满足）
主要约束：$$\frac{\omega \pi}{4} + \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2}$$，解得 $$\omega \leq \frac{2}{3}$$
同时考虑周期性和其他 $$k$$，但选项中有 $$(0, \frac{2}{3}]$$，故选 A。
答案：A. $$(0, \frac{2}{3}]$$