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正确率60.0%已知$$\alpha\in\left( \frac{3 \pi} {2}， 2 \pi\right)$$，$$\operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {2}+\alpha\Bigr)=\frac{1} {3}$$，则$$\operatorname{t a n} ( \pi+\alpha)=$$（）
B
A.$${{2}}$$$${\sqrt {2}}$$
B.$${{−}{2}}$$$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{−}}$$$${\sqrt {2}}$$
2、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%若$$\operatorname{t a n} \alpha=2，$$则$$\frac{\operatorname{c o s} ( \alpha+3 1 5^{\circ} )} {\operatorname{s i n} ( \alpha-4 5^{\circ} )}=$$
A
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
3、['利用诱导公式化简'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%若$$\cos\ ( \， \alpha+\frac{\pi} {2} \， ) \ =-\frac{1} {2}， \ \alpha\in\ ( \， \frac{\pi} {2}， \ \pi) \enspace，$$则$$\operatorname{c o s} ~ ( \pi-\alpha)$$值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
4、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%$${{[}{{2}{0}{1}{9}}{⋅}}$$河南六市联考$$] \mathrm{c o s} 7 0^{\circ} \mathrm{s i n} 5 0^{\circ}-\mathrm{c o s} 2 0 0^{\circ} \mathrm{s i n} 4 0^{\circ}$$的值为（）
D
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
5、['利用诱导公式化简'， '复平面内的点、复数及平面向量'， '三角函数值在各象限的符号']正确率60.0%复数$$z=\operatorname{c o s} ( \frac{3 \pi} {2}-\theta\} )+i \operatorname{s i n} ( \pi+\theta)， \， \， \theta\in( 0， \frac{\pi} {2} )$$的对应点在$${{(}{)}}$$
C
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6、['利用诱导公式化简'， '一元二次方程根与系数的关系'， '一元二次方程的解集'， '利用诱导公式求值'， '同角三角函数的商数关系']正确率40.0%若$${{s}{i}{n}{α}}$$是$$5 x^{2}-7 x-6=0$$的根，则$$\frac{\operatorname{s i n} \! \left(-\alpha-\frac{3 \pi} {2} \right) \operatorname{s i n} \! \left( \frac{3 \pi} {2}-\alpha\right) \! \operatorname{t a n}^{2} \left( 2 \pi-\alpha\right)} {\operatorname{c o s} \! \left( \frac{\pi} {2}-\alpha\right) \operatorname{c o s} \! \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right) \operatorname{s i n} \! \left( \pi+\alpha\right)}=\! ($$)
B
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$\frac{5} {4}$$
9、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$${{α}}$$是第二象限角，且$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2}+\alpha)=-\frac{\sqrt{5}} {5}$$，则$${\frac{\mathrm{c o s}^{3} \alpha+\mathrm{s i n} \alpha} {\mathrm{c o s} ( \alpha-{\frac{n} {4}} )}} )$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$$- \frac{1 1 \sqrt{2}} {1 5}$$
B.$$- \frac{9 \sqrt2} {5}$$
C.$$\frac{9 \sqrt{2}} {5}$$
D.$$\frac{1 1 \sqrt{2}} {1 5}$$
10、['交集'， '利用诱导公式化简'， '正弦（型）函数的单调性']正确率60.0%使函数$$y=2 \operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}-2 x ) ( x \in[ 0， \pi] )$$为增函数的区间是$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ 0， \frac{\pi} {3} ]$$
B.$$[ \frac{\pi} {1 2}， \frac{7 \pi} {1 2} ]$$
C.$$[ \frac{\pi} {3}， \frac{5 \pi} {6} ]$$
D.$$[ \frac{5 \pi} {6}， \pi]$$
1. 已知 $$\alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right)$$，$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \frac{1}{3}$$，求 $$\tan (\pi + \alpha)$$。
由诱导公式：$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha = \frac{1}{3}$$。
由于 $$\alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right)$$，即第四象限，故 $$\cos \alpha > 0$$，$$\sin \alpha < 0$$。
计算 $$\sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$。
则 $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}$$。
由诱导公式：$$\tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha = -2\sqrt{2}$$。
对应选项 B。
2. 已知 $$\tan \alpha = 2$$，求 $$\frac{\cos (\alpha + 315^\circ)}{\sin (\alpha - 45^\circ)}$$。
化简角度：$$\alpha + 315^\circ = \alpha - 45^\circ + 360^\circ$$，故 $$\cos (\alpha + 315^\circ) = \cos (\alpha - 45^\circ)$$。
原式化为：$$\frac{\cos (\alpha - 45^\circ)}{\sin (\alpha - 45^\circ)} = \cot (\alpha - 45^\circ)$$。
由和差公式：$$\tan (\alpha - 45^\circ) = \frac{\tan \alpha - \tan 45^\circ}{1 + \tan \alpha \tan 45^\circ} = \frac{2 - 1}{1 + 2 \times 1} = \frac{1}{3}$$。
故 $$\cot (\alpha - 45^\circ) = \frac{1}{\tan (\alpha - 45^\circ)} = 3$$。
对应选项 A。
3. 已知 $$\cos \left( \alpha + \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{1}{2}$$，$$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，求 $$\cos (\pi - \alpha)$$。
由诱导公式：$$\cos \left( \alpha + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \alpha = -\frac{1}{2}$$，故 $$\sin \alpha = \frac{1}{2}$$。
由于 $$\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，即第二象限，故 $$\cos \alpha < 0$$。
计算 $$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
由诱导公式：$$\cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha = -\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
对应选项 A。
4. 计算 $$\cos 70^\circ \sin 50^\circ - \cos 200^\circ \sin 40^\circ$$。
化简角度：$$\cos 200^\circ = \cos (180^\circ + 20^\circ) = -\cos 20^\circ$$。
原式化为：$$\cos 70^\circ \sin 50^\circ - (-\cos 20^\circ) \sin 40^\circ = \cos 70^\circ \sin 50^\circ + \cos 20^\circ \sin 40^\circ$$。
利用积化和差公式：$$\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) - \sin (A-B)]$$。
第一项：$$\cos 70^\circ \sin 50^\circ = \frac{1}{2} [\sin 120^\circ - \sin 20^\circ] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 20^\circ \right]$$。
第二项：$$\cos 20^\circ \sin 40^\circ = \frac{1}{2} [\sin 60^\circ - \sin (-20^\circ)] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin 20^\circ \right]$$。
相加得：$$\frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 20^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin 20^\circ \right) = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
对应选项 D。
5. 复数 $$z = \cos \left( \frac{3\pi}{2} - \theta \right) + i \sin (\pi + \theta)$$，$$\theta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$，判断对应点所在象限。
化简实部：$$\cos \left( \frac{3\pi}{2} - \theta \right) = \cos \left( 2\pi - \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = -\sin \theta$$。
化简虚部：$$\sin (\pi + \theta) = -\sin \theta$$。
故 $$z = -\sin \theta - i \sin \theta$$，其中 $$\theta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$$，则 $$\sin \theta > 0$$。
实部为负，虚部为负，对应第三象限。
对应选项 C。
6. 已知 $$\sin \alpha$$ 是方程 $$5x^2 - 7x - 6 = 0$$ 的根，求 $$\frac{\sin \left( -\alpha - \frac{3\pi}{2} \right) \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) \tan^2 (2\pi - \alpha)}{\cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) \sin (\pi + \alpha)}$$。
解方程：$$5x^2 - 7x - 6 = 0$$，判别式 $$D = 49 + 120 = 169$$，根为 $$x = \frac{7 \pm 13}{10}$$，即 $$x = 2$$ 或 $$x = -\frac{3}{5}$$。
由于 $$|\sin \alpha| \leq 1$$，故 $$\sin \alpha = -\frac{3}{5}$$。
化简分子：
$$\sin \left( -\alpha - \frac{3\pi}{2} \right) = \sin \left( -\alpha + \frac{\pi}{2} - 2\pi \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha$$。
$$\sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{2} - \alpha + 2\pi \right) = \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\cos \alpha$$。
$$\tan^2 (2\pi - \alpha) = \tan^2 (-\alpha) = (-\tan \alpha)^2 = \tan^2 \alpha$$。
分子为：$$\cos \alpha \cdot (-\cos \alpha) \cdot \tan^2 \alpha = -\cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = -\sin^2 \alpha$$。
化简分母：
$$\cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha$$。
$$\cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = -\sin \alpha$$。
$$\sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha$$。
分母为：$$\sin \alpha \cdot (-\sin \alpha) \cdot (-\sin \alpha) = \sin^3 \alpha$$。
原式化为：$$\frac{-\sin^2 \alpha}{\sin^3 \alpha} = -\frac{1}{\sin \alpha} = -\frac{1}{-\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$$。
对应选项 B。
9. 已知 $$\alpha$$ 是第二象限角，且 $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$，求 $$\frac{\cos^3 \alpha + \sin \alpha}{\cos \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right)}$$。
由诱导公式：$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$。
由于 $$\alpha$$ 是第二象限角，$$\cos \alpha < 0$$，$$\sin \alpha > 0$$。
计算 $$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left( \frac{5}{25} \right)} = \sqrt{\frac{20}{25}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
分子：$$\cos^3 \alpha + \sin \alpha = \left( -\frac{\sqrt{5}}{5} \right)^3 + \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\frac{5\sqrt{5}}{125} + \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{5}}{25} + \frac{10\sqrt{5}}{25} = \frac{9\sqrt{5}}{25}$$。
分母：$$\cos \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{4} = \left( -\frac{\sqrt{5}}{5} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$。
原式：$$\frac{\frac{9\sqrt{5}}{25}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = \frac{9\sqrt{5}}{25} \cdot \frac{10}{\sqrt{10}} = \frac{90\sqrt{5}}{25\sqrt{10}} = \frac{18}{5} \cdot \sqrt{\frac{5}{10}} = \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{5}$$。
对应选项 C。
10. 求函数 $$y = 2 \sin \left( \frac{\pi}{6} - 2x \right)$$，$$x \in [0, \pi]$$ 的增区间。
令 $$t = \frac{\pi}{6} - 2x$$，则 $$y = 2 \sin t$$。
由于 $$x \in [0, \pi]$$，则 $$t \in \left[ \frac{\pi}{6} - 2\pi, \frac{\pi}{6} \right] = \left[ -\frac{11\pi}{6}, \frac{\pi}{6} \right]$$。
$$\sin t$$ 的增区间为 $$t \in \left[ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right]$$。
在 $$t \in \left[ -\frac{11\pi}{6}, \frac{\pi}{6} \right]$$ 内，取 $$k = 0$$，得 $$t \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$$。
代入 $$t = \frac{\pi}{6} - 2x$$，解不等式：$$-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} - 2x \leq \frac{\pi}{2}$$。
右边：$$\frac{\pi}{6} - 2x \leq \frac{\pi}{2} \Rightarrow -2x \leq \frac{\pi}{3} \Rightarrow x \geq -\frac{\pi}{6}$$（恒成立，因 $$x \geq 0$$）。
左边：$$-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} - 2x \Rightarrow -2x \geq -\frac{2\pi}{3} \Rightarrow x \leq \frac{\pi}{3}$$。
结合 $$x \in [0, \pi]$$，得增区间为 $$x \in \left[ 0, \frac{\pi}{3} \right]$$。
对应选项 A。