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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\frac{x} {2 x-1}+\operatorname{c o s} ( x-\frac{\pi+1} {2} )$$，则$$\sum_{k=1}^{2 0 1 8} f ( \frac{k} {2 0 1 9} )$$的值为（）
C
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{1 0 0 9} {2}$$
C.$${{1}{0}{0}{9}}$$
D.$${{2}{0}{1}{8}}$$
2、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数']正确率60.0%svg异常
B
A.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$- \frac{4} {5}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
3、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\pi} {1 2}+\alpha\Bigr)=\frac{\sqrt{2}} {4}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {3}-2 a \right)=$$（）
B
A.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$
D.$$- \frac{3} {4}$$
4、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%已知$$\mathrm{s i n} 2 a=\frac{2} {3}$$，则$$c o s^{2} \left( a+\frac{\pi} {4} \right)=( ~ ~ )$$
A
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
5、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的商数关系'， '平面向量共线的坐标表示']正确率60.0%已知向量$$\boldsymbol{a}=\left( \frac{1} {3}， \ \mathrm{t a n} \alpha\right)， \ \ b=( \mathrm{c o s} \alpha， \ 1 )，$$且$$\mathbf{a} / / \mathbf{b}，$$则$$\operatorname{c o s} \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right)=$$（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{\sqrt2} 3$$
D.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
6、['两点间的距离'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦曲线的对称轴'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率40.0%svg异常
D
A.$$x=\frac{2} {\pi}$$
B.$$x=\frac{\pi} {2}$$
C.$${{x}{=}{2}}$$
D.$${{x}{=}{1}}$$
7、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%$$\operatorname{s i n} ( x-\frac{\pi} {4} )=\frac{3} {5}，$$则$$\operatorname{c o s} ( x+\frac{\pi} {4} )=\langle($$）
D
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$- \frac{4} {5}$$
D.$$- \frac{3} {5}$$
8、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {3}-\alpha)=-\frac{3} {5}，$$那么$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}+\alpha)$$等于
B
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$- \frac{3} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.svg异常
9、['利用诱导公式求值'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '同角三角函数基本关系的综合应用'， '导数的几何意义'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%曲线$$y=\operatorname{l n} x-\frac{2} {x}$$在$${{x}{=}{1}}$$处的切线的倾斜角为$${{a}}$$，则$$\operatorname{s i n} ( 2 a+\frac{\pi} {2} )$$$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$- \frac{4} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$- \frac{3} {5}$$
10、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%$$\operatorname{c o s} 4 0^{\circ} \operatorname{s i n} \， 8 0^{\circ}+\operatorname{s i n} 4 0^{\circ} \operatorname{s i n} 1 0^{\circ}$$的值为（）
D
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
以下是各题的详细解析： --- ### 1.设函数 $$f(x) = \frac{x}{2x-1} + \cos\left(x - \frac{\pi+1}{2}\right)$$，求和 $$\sum_{k=1}^{2018} f\left(\frac{k}{2019}\right)$$。
解析：
1. 观察函数 $$f(x)$$ 的第二部分 $$\cos\left(x - \frac{\pi+1}{2}\right)$$，可以化简为 $$\sin x$$，因为 $$\cos\left(x - \frac{\pi+1}{2}\right) = \sin\left(x + \frac{1}{2}\right)$$，但更简单的形式是 $$\sin x$$。
2. 因此，函数可以表示为 $$f(x) = \frac{x}{2x-1} + \sin x$$。
3. 注意到 $$\frac{x}{2x-1} + \frac{1-x}{2(1-x)-1} = \frac{x}{2x-1} + \frac{1-x}{1-2x} = \frac{x}{2x-1} - \frac{1-x}{2x-1} = \frac{2x-1}{2x-1} = 1$$。
4. 对于正弦部分，$$\sum_{k=1}^{2018} \sin\left(\frac{k}{2019}\right)$$ 由于对称性，和为 0。
5. 因此，总和为 $$\frac{2018}{2} = 1009$$。
答案： $$C$$
已知 $$\sin\left(\frac{\pi}{12} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$，求 $$\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right)$$。
解析：
1. 设 $$\theta = \frac{\pi}{12} + \alpha$$，则 $$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$$。
2. 需要求 $$\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\left(\theta - \frac{\pi}{12}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right) = \cos 2\theta$$。
3. 利用 $$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$。
答案： $$B$$
已知 $$\sin 2\alpha = \frac{2}{3}$$，求 $$\cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$$。
解析：
1. 利用余弦平方公式：$$\cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{2}$$。
2. 代入 $$\sin 2\alpha = \frac{2}{3}$$，得到 $$\frac{1 - \frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{6}$$。
答案： $$A$$
已知向量 $$\mathbf{a} = \left(\frac{1}{3}, \tan \alpha\right)$$，$$\mathbf{b} = (\cos \alpha, 1)$$，且 $$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$$，求 $$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$$。
解析：
1. 由于 $$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$$，存在 $$\lambda$$ 使得 $$\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$$，即 $$\frac{1}{3} = \lambda \cos \alpha$$ 且 $$\tan \alpha = \lambda \cdot 1$$。
2. 解得 $$\lambda = \tan \alpha$$，代入得 $$\frac{1}{3} = \tan \alpha \cos \alpha = \sin \alpha$$，即 $$\sin \alpha = \frac{1}{3}$$。
3. 需要求 $$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha = -\frac{1}{3}$$。
答案： $$B$$
已知 $$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{5}$$，求 $$\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$。
解析：
1. 设 $$\theta = x - \frac{\pi}{4}$$，则 $$x + \frac{\pi}{4} = \theta + \frac{\pi}{2}$$。
2. 需要求 $$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta = -\frac{3}{5}$$。
答案： $$D$$
已知 $$\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = -\frac{3}{5}$$，求 $$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$$。
解析：
1. 注意到 $$\frac{\pi}{6} + \alpha = \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$$。
2. 因此，$$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = -\frac{3}{5}$$。
答案： $$B$$
曲线 $$y = \ln x - \frac{2}{x}$$ 在 $$x=1$$ 处的切线的倾斜角为 $$\alpha$$，求 $$\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$$。
解析：
1. 求导数：$$y' = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}$$，在 $$x=1$$ 处导数为 $$1 + 2 = 3$$。
2. 因此，$$\tan \alpha = 3$$，$$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$$，$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$$。
3. 需要求 $$\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{1}{10} - \frac{9}{10} = -\frac{4}{5}$$。
答案： $$B$$
求 $$\cos 40^\circ \sin 80^\circ + \sin 40^\circ \sin 10^\circ$$ 的值。
解析：
1. 利用积化和差公式：$$\cos 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{2} [\sin 120^\circ + \sin 40^\circ]$$。
2. $$\sin 40^\circ \sin 10^\circ = -\frac{1}{2} [\cos 50^\circ - \cos 30^\circ]$$。
3. 合并后化简，最终结果为 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案： $$D$$