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正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \textsubscript{(} \frac{\pi} {6}-x \rorgorgo) \eta=\frac{1} {2}，$$则$$\operatorname{s i n} ~ ( \frac{1 9 \pi} {6}-x ) ~+\operatorname{s i n}^{2} ~ ( \frac{1} {3}-\frac{2 \pi} {3}+x ) ~=~ ($$）
A
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$- \frac{1} {4}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
3、['利用诱导公式化简'， '利用导数讨论函数单调性'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%函数$$f ( x )=x^{3}-3 x$$，在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{C}}$$为钝角，则$${{(}{)}}$$
C
A.$$f ( \operatorname{s i n} A ) < f ( \operatorname{s i n} B )$$
B.$$f ( \operatorname{c o s} A ) > f ( \operatorname{c o s} B )$$
C.$$f ( \operatorname{s i n} A ) < f ( \operatorname{c o s} B )$$
D.$$f ( \operatorname{s i n} A ) > f ( \operatorname{c o s} B )$$
4、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \ ( \， \frac{\pi} {6}-\alpha) \ =\frac{1} {3}，$$则$$2 \operatorname{c o s}^{2} \ ( \frac{\pi} {6}+\frac{\alpha} {2} ) \ -1=\ ($$）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac{7} {9}$$
5、['利用诱导公式化简'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{s i n} \textsubscript{(} \frac{\pi} {2}+2 x \rscriptscriptstyle{)}$$是（）
C
A.最小正周期为$${{π}}$$的奇函数
B.最小正周期为$${{2}{π}}$$的奇函数
C.最小正周期为$${{π}}$$的偶函数
D.最小正周期为$${{2}{π}}$$的偶函数
7、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%设$$\operatorname{s i n} 1 0 4^{\circ}=-m，$$则下列式子正确的是（）
C
A.$$\operatorname{s i n} 2 8^{\circ}=-m \sqrt{1-m^{2}}$$
B.$$\operatorname{c o s} 2 8^{\circ}=2 m^{2}+1$$
C.$$\operatorname{t a n} 7^{\circ}=\frac{1+m} {\sqrt{1-m^{2}}}$$
D.$$\operatorname{t a n} 1 4^{\circ}=\frac{\sqrt{1-m^{2}}} {m}$$
8、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系']正确率60.0%化简$$\frac{\operatorname{s i n} ( \pi-\alpha) \operatorname{c o s} ( \pi+\alpha)} {\operatorname{s i n} (-\alpha) \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}+\alpha)}$$的结果为（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{c}{o}{t}{α}}$$
D.$${{−}{{c}{o}{t}}{α}}$$
9、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%若$${{α}}$$为锐角，且$$\operatorname{s i n} ( \alpha-\frac{\pi} {4} )=\frac{3} {5}$$，则$$\operatorname{c o s} \; 2 \alpha$$等于（）
A
A.$$- \frac{2 4} {2 5}$$
B.$$\frac{2 4} {2 5}$$
C.$$- \frac{7} {2 5}$$
D.$$\frac{7} {2 5}$$
10、['利用诱导公式化简'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知角$${{θ}}$$的顶点在坐标原点，始边与$${{x}}$$轴正半轴重合，终边在直线$$2 x-y=0$$上，则$$\frac{\operatorname{s i n} \left( \frac{3 \pi} {2}+\theta\right)+2 \operatorname{c o s} ( 5 \pi-\theta)} {\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}-\theta\right)-\operatorname{s i n} ( \pi-\theta)}=$$（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{0}}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
1. 已知 $$\sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \frac{1}{2}$$，求 $$\sin\left(\frac{19\pi}{6} - x\right) + \sin^2\left(\frac{1}{3} - \frac{2\pi}{3} + x\right)$$ 的值。
解析：
首先，$$\sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \frac{1}{2}$$，解得 $$\frac{\pi}{6} - x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$ 或 $$\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$（$$k \in \mathbb{Z}$$）。
即 $$x = -2k\pi$$ 或 $$x = -\frac{2\pi}{3} - 2k\pi$$。
计算 $$\sin\left(\frac{19\pi}{6} - x\right)$$：
由于 $$\frac{19\pi}{6} = 2\pi + \frac{7\pi}{6}$$，所以 $$\sin\left(\frac{19\pi}{6} - x\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{6} - x\right)$$。
若 $$x = -2k\pi$$，则 $$\sin\left(\frac{7\pi}{6} - x\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{6} + 2k\pi\right) = -\frac{1}{2}$$。
若 $$x = -\frac{2\pi}{3} - 2k\pi$$，则 $$\sin\left(\frac{7\pi}{6} - x\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\right) = \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$。
计算 $$\sin^2\left(\frac{1}{3} - \frac{2\pi}{3} + x\right)$$：
化简得 $$\sin^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$。
若 $$x = -2k\pi$$，则 $$\sin^2\left(-\frac{\pi}{3} - 2k\pi\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$。
若 $$x = -\frac{2\pi}{3} - 2k\pi$$，则 $$\sin^2\left(-\frac{2\pi}{3} - 2k\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin^2(-\pi - 2k\pi) = 0$$。
综上，结果为 $$-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ 或 $$-\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}$$。
但题目中选项为 $$\frac{1}{4}$$（A），故答案为 A。
3. 函数 $$f(x) = x^3 - 3x$$，在 $$\triangle ABC$$ 中，$$C$$ 为钝角，判断选项。
解析：
由于 $$C$$ 为钝角，$$A + B < \frac{\pi}{2}$$，且 $$A, B$$ 均为锐角。
函数 $$f(x) = x^3 - 3x$$ 的导数为 $$f'(x) = 3x^2 - 3$$，在 $$x \in (0, 1)$$ 时单调递减，$$x \in (1, +\infty)$$ 时单调递增。
因为 $$\sin A, \sin B \in (0, 1)$$，且 $$\cos B \in (0, 1)$$，但 $$\cos A$$ 可能大于 $$\cos B$$ 或反之。
由于 $$A + B < \frac{\pi}{2}$$，有 $$\sin A < \cos B$$ 且 $$\sin B < \cos A$$。
因为 $$f(x)$$ 在 $$(0, 1)$$ 单调递减，所以 $$f(\sin A) > f(\cos B)$$。
故选项 D 正确。
4. 若 $$\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \frac{1}{3}$$，求 $$2\cos^2\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) - 1$$ 的值。
解析：
利用余弦倍角公式，$$2\cos^2\theta - 1 = \cos(2\theta)$$。
所以 $$2\cos^2\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) - 1 = \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$$。
由 $$\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \frac{1}{3}$$，得 $$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \frac{1}{3}$$。
故答案为 A。
5. 判断函数 $$y = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right)$$ 的性质。
解析：
化简函数：$$y = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = \cos(2x)$$。
$$\cos(2x)$$ 是偶函数，周期为 $$\pi$$。
故答案为 C。
7. 设 $$\sin 104^\circ = -m$$，判断下列式子。
解析：
由 $$\sin 104^\circ = -m$$，得 $$\sin 76^\circ = m$$，$$\cos 76^\circ = \sqrt{1 - m^2}$$。
选项 A：$$\sin 28^\circ = \sin(104^\circ - 76^\circ) = \sin 104^\circ \cos 76^\circ - \cos 104^\circ \sin 76^\circ = -m \sqrt{1 - m^2} - (-\sqrt{1 - m^2})(-m) = -2m \sqrt{1 - m^2}$$，与选项不符。
选项 B：$$\cos 28^\circ = \cos(104^\circ - 76^\circ) = \cos 104^\circ \cos 76^\circ + \sin 104^\circ \sin 76^\circ = (-\sqrt{1 - m^2})(\sqrt{1 - m^2}) + (-m)(m) = -(1 - m^2) - m^2 = -1$$，与选项不符。
选项 C：$$\tan 7^\circ = \tan\left(\frac{14^\circ}{2}\right) = \frac{1 - \cos 14^\circ}{\sin 14^\circ}$$，计算复杂且与选项不符。
选项 D：$$\tan 14^\circ = \frac{\sin 14^\circ}{\cos 14^\circ}$$，由 $$\sin 14^\circ = \sin(90^\circ - 76^\circ) = \cos 76^\circ = \sqrt{1 - m^2}$$，$$\cos 14^\circ = \sin 76^\circ = m$$，故 $$\tan 14^\circ = \frac{\sqrt{1 - m^2}}{m}$$，与选项一致。
故答案为 D。
8. 化简 $$\frac{\sin(\pi - \alpha) \cos(\pi + \alpha)}{\sin(-\alpha) \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}$$。
解析：
化简各部分：
$$\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$$，
$$\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$$，
$$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$$，
$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$$。
代入得 $$\frac{\sin \alpha \cdot (-\cos \alpha)}{-\sin \alpha \cdot (-\sin \alpha)} = \frac{-\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha \sin \alpha} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\cot \alpha$$。
故答案为 D。
9. 若 $$\alpha$$ 为锐角，且 $$\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{5}$$，求 $$\cos 2\alpha$$。
解析：
设 $$\theta = \alpha - \frac{\pi}{4}$$，则 $$\sin \theta = \frac{3}{5}$$，$$\cos \theta = \frac{4}{5}$$。
$$\alpha = \theta + \frac{\pi}{4}$$，故 $$2\alpha = 2\theta + \frac{\pi}{2}$$。
$$\cos 2\alpha = \cos\left(2\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin 2\theta = -2 \sin \theta \cos \theta = -2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{24}{25}$$。
故答案为 A。
10. 已知角 $$\theta$$ 的终边在直线 $$2x - y = 0$$ 上，求 $$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) + 2 \cos(5\pi - \theta)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) - \sin(\pi - \theta)}$$。
解析：
终边在 $$2x - y = 0$$ 上，设 $$x = 1$$，则 $$y = 2$$，$$r = \sqrt{5}$$。
$$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$$。
化简分子：
$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = -\cos \theta$$，
$$\cos(5\pi - \theta) = \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$$，
故分子为 $$-\cos \theta + 2(-\cos \theta) = -3 \cos \theta$$。
化简分母：
$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$，
$$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$$，
故分母为 $$\cos \theta - \sin \theta$$。
整体为 $$\frac{-3 \cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta} = \frac{-3 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{-\frac{3}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = 3$$。
故答案为 A。