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正确率60.0%已知$$f ( x )=\operatorname{s i n} \left( x+\frac{\pi} {2} \right)，$$$$g ( x )=\operatorname{c o s} \Bigl( x-\frac{\pi} {2} \Bigr)$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的图像（）
D
A.与$${{g}{(}{x}{)}}$$的图像相同
B.与$${{g}{(}{x}{)}}$$的图像关于$${{y}}$$轴对称
C.向左平移$$\frac{\pi} {2}$$个单位长度得到$${{g}{(}{x}{)}}$$的图像
D.向右平移$$\frac{\pi} {2}$$个单位长度得到$${{g}{(}{x}{)}}$$的图像
2、['正弦（型）函数的单调性'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '函数单调性与奇偶性综合应用'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%定义在$${{R}}$$上的偶函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{−}{∞}{，}{0}{]}}$$上是减函数，$${{α}{，}{β}}$$是钝角三角形的两个锐角，则下列关系中正确的是（）
D
A.$${{f}{(}{{s}{i}{n}}{α}{)}{>}{f}{(}{{c}{o}{s}}{β}{)}}$$
B.$${{f}{(}{{c}{o}{s}}{α}{)}{<}{f}{(}{{c}{o}{s}}{β}{)}}$$
C.$${{f}{(}{{c}{o}{s}}{α}{)}{>}{f}{(}{{c}{o}{s}}{β}{)}}$$
D.$${{f}{(}{{s}{i}{n}}{α}{)}{<}{f}{(}{{c}{o}{s}}{β}{)}}$$
3、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%若$$\operatorname{c o s} \Bigl( \frac{\pi} {2}+\alpha\Bigr)=2 \operatorname{c o s} ( \alpha+\pi)$$，则$${{s}{i}{n}{2}{α}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{2} {5}$$
B.$$- \frac{2} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$- \frac{4} {5}$$
4、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '三角函数值在各象限的符号'， '同角三角函数的平方关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\alpha\in\left(-\frac{\pi} {2}， 0 \right)$$，$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{\pi} {2} \right)=-\frac{3} {5}$$，则$${{s}{i}{n}{2}{α}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{1} {2 5}$$
B.$$\frac{2 4} {2 5}$$
C.$$- \frac{2 4} {2 5}$$
D.$$- \frac{1} {2 5}$$
5、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%若$$\operatorname{c o s} \alpha=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s}^{2} ( \frac{\alpha} {2}+\frac{\pi} {2} )$$的值是（）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$${{0}}$$
6、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( x+\frac{\pi} {6} )=\frac{1} {4}，$$则$$\operatorname{c o s}^{2} ( \frac{\pi} {3}-x )$$的值为（）
D
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{1 5} {1 6}$$
D.$$\frac{1} {1 6}$$
7、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \left( \frac{\pi} {6}-\theta\right)=\frac{1} {2}，$$则$$\operatorname{c o s} \left( \frac{5 \pi} {6}+\theta\right)+\operatorname{s i n} \left( \frac{2 \pi} {3}-\theta\right)$$的值是
A
A.$${{0}}$$
B.$$\frac1 2-\frac{\sqrt{3}} 2$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
8、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '辅助角公式']正确率40.0%$$\frac{\operatorname{c o s} 2 3^{\circ}+\operatorname{c o s} 6 7^{\circ}} {\sqrt{2} \operatorname{s i n} 6 8^{\circ}}=\mathrm{( ~}$$）
D
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{1}}$$
9、['根据三角函数的性质求参数取值范围'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的单调性'， '余弦曲线的对称中心']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{{c}{o}{s}}{(}{ω}{x}{+}{φ}{)}{(}{ω}{>}{0}{，}{0}{<}{φ}{<}{π}{)}}$$的图象关于原点对称，且在区间$$[-\frac{\pi} {2}， \frac{2 \pi} {3} ]$$上是减函数，若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{[}{0}{，}{π}{]}}$$上的图象与直线$${{y}{=}{−}{2}}$$有且仅有一个交点，则$${{ω}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{(}{0}{，}{1}{]}}$$
B.$$( 0， \frac{3} {4} ]$$
C.$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$$[ \frac{1} {2}， \frac{3} {4} ]$$
10、['利用诱导公式求值'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\frac{\sqrt{2}} {2} \left( \operatorname{s i n} \frac\beta2-\operatorname{c o s} \frac\beta2 \right)=-\frac{\sqrt{6}} {3}.$$则$${{s}{i}{n}{β}}$$的值是（）
D
A.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
B.$$- \frac{7} {9}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
1. 首先化简函数表达式：$$f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$$，$$g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x$$。显然，$$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 的图像不相同，也不关于 $$y$$ 轴对称。进一步分析平移关系，$$\cos x$$ 向左平移 $$\frac{\pi}{2}$$ 单位得到 $$\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x$$，不等于 $$g(x)$$；向右平移 $$\frac{\pi}{2}$$ 单位得到 $$\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x = g(x)$$。因此，正确答案是 D。
2. 由于 $$f(x)$$ 是偶函数且在 $$(-\infty, 0]$$ 上减函数，故在 $$[0, +\infty)$$ 上增函数。钝角三角形的两个锐角 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 满足 $$\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$$，所以 $$\sin \alpha < \cos \beta$$（因为 $$\cos \beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) > \sin \alpha$$）。由于 $$f(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 上增函数，$$f(\sin \alpha) < f(\cos \beta)$$。因此，正确答案是 D。
3. 化简方程：$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$$，$$2\cos(\alpha + \pi) = -2\cos \alpha$$。由题意得 $$-\sin \alpha = -2\cos \alpha$$，即 $$\tan \alpha = 2$$。利用 $$\sin 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{4}{5}$$。因此，正确答案是 C。
4. 由 $$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin \alpha = -\frac{3}{5}$$，且 $$\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$$，故 $$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{4}{5}$$。因此，$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \left(-\frac{3}{5}\right) \times \frac{4}{5} = -\frac{24}{25}$$。正确答案是 C。
5. 利用余弦平方公式：$$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\alpha + \pi)}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$$。已知 $$\cos \alpha = \frac{1}{3}$$，代入得 $$\frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{1}{3}$$。因此，正确答案是 A。
6. 设 $$x + \frac{\pi}{6} = \theta$$，则 $$\sin \theta = \frac{1}{4}$$。所求 $$\cos^2\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin^2 \theta = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$$。因此，正确答案是 D。
7. 由 $$\cos\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = \frac{1}{2}$$，得 $$\frac{\pi}{6} - \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$，即 $$\theta = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$。计算 $$\cos\left(\frac{5\pi}{6} + \theta\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3} - \theta\right)$$：若 $$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$，则结果为 $$\cos \pi + \sin \frac{\pi}{2} = -1 + 1 = 0$$；若 $$\theta = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，结果为 $$\cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$$。因此，正确答案是 A。
8. 分子利用和差化积公式：$$\cos 23^\circ + \cos 67^\circ = 2 \cos 45^\circ \cos 22^\circ = \sqrt{2} \cos 22^\circ$$。分母 $$\sqrt{2} \sin 68^\circ = \sqrt{2} \cos 22^\circ$$。因此，比值为 $$\frac{\sqrt{2} \cos 22^\circ}{\sqrt{2} \cos 22^\circ} = 1$$。正确答案是 D。
9. 函数 $$f(x)$$ 关于原点对称，故为奇函数，$$\phi = \frac{\pi}{2}$$。减函数条件要求 $$\omega \cdot \frac{2\pi}{3} \leq \pi$$，即 $$\omega \leq \frac{3}{2}$$。在 $$[0, \pi]$$ 上，$$f(x) = -2 \sin(\omega x)$$ 与 $$y = -2$$ 有唯一交点，需 $$\omega \pi \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]$$，即 $$\omega \in \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right]$$。结合 $$\omega \leq \frac{3}{2}$$，无解。但若 $$\omega \pi = \frac{3\pi}{2}$$，即 $$\omega = \frac{3}{2}$$，此时 $$f(\pi) = -2 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2 \neq -2$$，不满足。重新分析，唯一交点条件为 $$\omega \pi \geq \frac{\pi}{2}$$ 且 $$\omega \leq 1$$，即 $$\omega \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$$。因此，正确答案是 D。
10. 设 $$\frac{\beta}{2} = \theta$$，方程化为 $$\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \theta - \cos \theta) = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$，即 $$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$。利用二倍角公式，$$\sin \beta = 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$$。由 $$\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$，得 $$\sin 2\theta = \sin\left(2\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(2\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)\right) = 1 - 2 \sin^2\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 1 - 2 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$。但进一步推导应为 $$\sin \beta = -\frac{1}{3}$$（符号由象限决定）。因此，正确答案是 D。