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正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {3} \right)=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \alpha-\frac{2 \pi} {3} \right)=$$（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
2、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与α+k*2π（k∈Z）的三角函数值之间的关系']正确率80.0%$$\operatorname{s i n} \frac{2 0 2 1 \pi} {3}=$$（）
C
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
3、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '角α与α+k*2π（k∈Z）的三角函数值之间的关系']正确率60.0%已知$$\alpha\in\left( \frac{3 \pi} {2}， \ 2 \pi\right)， \ \operatorname{s i n} ( \pi+\alpha)=\frac{1} {2}，$$则$${{t}{a}{n}{(}{3}{π}{+}{α}{)}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
C.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
4、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \pi-\alpha)=-\frac{4} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {2} \right)=$$（）
B
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$- \frac{3} {5}$$
D.$$- \frac{4} {5}$$
5、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与(3π)/2±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \pi+\theta)=3 \operatorname{s i n} ( \frac{3 \pi} {2}-\theta)，$$则$$\operatorname{t a n} ( \theta+\frac{\pi} {4} )$$的值为（）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
6、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$${{c}{o}{s}{{2}{0}{1}{0}^{∘}}}$$的值为 （）
A
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
7、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( \pi-\alpha)=\frac{1} {3}，$$且$$\frac{\pi} {2} < \alpha< \pi，$$则$${{s}{i}{n}{2}{α}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$- \frac{4 \sqrt2} 9$$
B.$$- \frac{2 \sqrt2} 9$$
C.$$\frac{2 \sqrt2} {9}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{2}} {9}$$
8、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的对边分别是$$a， b， c， \ \operatorname{c o s}^{2} \frac{A} {2}=\frac{c+b} {2 c}$$，则$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的形状是
B
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
9、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%设$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$${{A}{、}{B}{、}{C}}$$，满足$${{2}{{s}{i}{n}^{2}}{A}{{s}{i}{n}^{2}}{B}{+}{{s}{i}{n}}{A}{{s}{i}{n}}{B}}$$$$= \frac1 2 \operatorname{s i n} 2 A \operatorname{s i n} 2 B$$，则$${{c}{o}{s}{C}{=}}$$（）
B
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
10、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '三角函数值在各象限的符号'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%下列关系式一定正确的是（）
D
A.$${{s}{i}{n}{2}{<}{0}}$$
B.$${{c}{o}{s}{3}{>}{0}}$$
C.$${{s}{i}{n}{（}{π}{−}{3}{）}{=}{−}{{s}{i}{n}}{3}}$$
D.$${{|}{{s}{i}{n}}{2}{α}{|}{⩽}{2}{|}{{s}{i}{n}}{α}{|}}$$
1. 已知 $$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{3}$$，要求 $$\sin\left(\alpha-\frac{2\pi}{3}\right)$$。
解析：利用角度关系 $$\alpha-\frac{2\pi}{3} = \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) - \pi$$，因此： $$\sin\left(\alpha-\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) - \pi\right) = -\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{3}$$
答案：B
2. 计算 $$\sin\frac{2021\pi}{3}$$。
解析：利用周期性，$$\frac{2021\pi}{3} = 673\pi + \frac{2\pi}{3}$$，因为 $$673\pi$$ 是奇数倍的 $$\pi$$，所以： $$\sin\frac{2021\pi}{3} = -\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
答案：C
3. 已知 $$\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$$，且 $$\sin(\pi+\alpha)=\frac{1}{2}$$，求 $$\tan(3\pi+\alpha)$$。
解析：$$\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha = \frac{1}{2}$$，所以 $$\sin\alpha = -\frac{1}{2}$$。由于 $$\alpha$$ 在第四象限，$$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，因此： $$\tan(3\pi+\alpha) = \tan(\pi+\alpha) = \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
答案：B
4. 已知 $$\cos(\pi-\alpha)=-\frac{4}{5}$$，求 $$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)$$。
解析：$$\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha = -\frac{4}{5}$$，所以 $$\cos\alpha = \frac{4}{5}$$。因此： $$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right) = \cos\alpha = \frac{4}{5}$$
答案：B
5. 已知 $$\sin(\pi+\theta) = 3\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)$$，求 $$\tan\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$$。
解析：化简得 $$-\sin\theta = -3\cos\theta$$，即 $$\tan\theta = 3$$。因此： $$\tan\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\theta + 1}{1 - \tan\theta} = \frac{3 + 1}{1 - 3} = -2$$
答案：A
6. 计算 $$\cos2010^\circ$$。
解析：$$2010^\circ = 5 \times 360^\circ + 210^\circ$$，因此： $$\cos2010^\circ = \cos210^\circ = -\cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
答案：A
7. 已知 $$\sin(\pi-\alpha)=\frac{1}{3}$$，且 $$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$$，求 $$\sin2\alpha$$。
解析：$$\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha = \frac{1}{3}$$，因为 $$\alpha$$ 在第二象限，$$\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$，因此： $$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \times \frac{1}{3} \times \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$$
答案：A
8. 在 $$\triangle ABC$$ 中，$$\cos^2\frac{A}{2} = \frac{c + b}{2c}$$，判断其形状。
解析：利用半角公式 $$\cos^2\frac{A}{2} = \frac{1 + \cos A}{2}$$，代入得： $$\frac{1 + \cos A}{2} = \frac{c + b}{2c}$$ 化简得 $$\cos A = \frac{b}{c}$$，结合余弦定理 $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$，解得 $$a^2 + b^2 = c^2$$，因此是直角三角形。
答案：B
9. 在 $$\triangle ABC$$ 中，满足 $$2\sin^2 A \sin^2 B + \sin A \sin B = \frac{1}{2} \sin 2A \sin 2B$$，求 $$\cos C$$。
解析：化简得 $$2\sin^2 A \sin^2 B + \sin A \sin B = 2\sin A \sin B \cos A \cos B$$，两边除以 $$\sin A \sin B$$（不为零）得： $$2\sin A \sin B + 1 = 2\cos A \cos B$$ 整理得 $$\cos(A + B) = -\frac{1}{2}$$，因为 $$A + B + C = \pi$$，所以 $$\cos C = \cos(\pi - (A + B)) = -\cos(A + B) = \frac{1}{2}$$。
答案：D
10. 判断下列关系式是否正确。
选项 D：$$|\sin 2\alpha| \leq 2|\sin \alpha|$$ 是正确的，因为 $$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$$，且 $$|\cos \alpha| \leq 1$$。
答案：D