1、['利用诱导公式化简'， '正弦（型）函数的奇偶性'， '正弦（型）函数的周期性'， '余弦（型）函数的奇偶性'， '余弦（型）函数的周期性']正确率60.0%下列函数中最小正周期为$${{π}}$$，且为偶函数的是（）
C
A.$${{y}{=}{|}{{c}{o}{s}}{2}{x}{|}}$$
B.$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{2}{x}}$$
C.$$y=\operatorname{s i n} \Bigl( 2 x+\frac{\pi} {2} \Bigr)$$
D.$$y=\operatorname{c o s} \frac1 2 x$$
2、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '同角三角函数的平方关系'， '齐次式的求值问题']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\theta\right)+3 \operatorname{c o s} ( \pi-\theta)=\operatorname{s i n} (-\theta)$$，则$${{s}{i}{n}{θ}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{{c}{o}{s}^{2}}{θ}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
3、['余弦定理及其应用'， '正弦定理及其应用'， '利用诱导公式化简'， '三角形的面积（公式）'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{4}{\sqrt {3}}}$$，且$${{2}{b}{{c}{o}{s}}{A}{+}{a}{=}{2}{c}{，}{a}{+}{c}{=}{8}}$$，则其周长为（）
B
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{8}{+}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{8}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
4、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数基本关系的综合应用']正确率40.0%若$$\operatorname{t a n} ( \pi-\alpha)=\frac{3} {4}， \， \， \， \alpha$$是第二象限角，则$$\frac{1} {\operatorname{s i n} \frac{\pi+\alpha} {2} \cdot\operatorname{s i n} \frac{\pi-\alpha} {2}}=\c($$）
D
A.$$\frac{9} {1 0}$$
B.$${{5}}$$
C.$$\frac{1 0} {9}$$
D.$${{1}{0}}$$
5、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \ ( \， \frac{\pi} {2}-\alpha\， ) \ =\frac{3} {5}，$$则$${{c}{o}{s}{2}{α}{=}{（}}$$）
C
A.$$\frac{7} {2 5}$$
B.$$\frac{2 4} {2 5}$$
C.$$- \frac{7} {2 5}$$
D.$$- \frac{2 4} {2 5}$$
7、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正切公式']正确率60.0%己知$$\operatorname{s i n} ( \pi-\theta)=2 \mathrm{s i n} ( \frac{\pi} {2}+\theta)$$，则$$\operatorname{t a n} ( \frac{\pi} {4}-\theta)$$的值为（）
C
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{4}}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
8、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，下列表达式为常数的是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{s}{i}{n}{(}{A}{+}{B}{)}{+}{{s}{i}{n}}{C}}$$
B.$${{c}{o}{s}{(}{B}{+}{C}{)}{−}{{c}{o}{s}}{A}}$$
C.$$\frac{\operatorname{s i n} \frac{A+B} {2}} {\operatorname{c o s} \frac{C} {2}}$$
D.$$\frac{\operatorname{c o s} \frac{B+C} {2}} {\operatorname{c o s} \frac{A} {2}}$$
9、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$${{s}{i}{n}{{3}{0}{0}^{∘}}{+}{{t}{a}{n}}{{6}{0}{0}^{∘}}{+}{{c}{o}{s}}{（}{−}{{2}{1}{0}^{∘}}{）}}$$的值的（）
B
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{0}}$$
C.$$- \frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2}$$
10、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '分段函数的定义']正确率60.0%设$${{a}{=}{{s}{i}{n}}{{3}{9}{0}^{∘}}}$$，函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {a^{x} x < 0} \\ {l o g_{a} x x \geq0} \\ \end{array} \right.$$，则$$f ( \frac{1} {8} )+f ( l o g_{2} \frac{1} {8} )$$的值等于（）
C
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{2}}$$
1. 解析：
对于选项A，$$y = |\cos 2x|$$，周期为$$\frac{\pi}{2}$$（因为$$\cos 2x$$的周期是$$\pi$$，取绝对值后减半），不符合条件。
对于选项B，$$y = \sin 2x$$是奇函数，不符合条件。
对于选项C，$$y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x$$，周期为$$\pi$$且为偶函数，符合条件。
对于选项D，$$y = \cos \frac{1}{2}x$$的周期为$$4\pi$$，不符合条件。
因此，正确答案是 C。
2. 解析：
化简方程：$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) + 3\cos(\pi - \theta) = \sin(-\theta)$$
利用诱导公式：$$\cos \theta - 3\cos \theta = -\sin \theta$$，即$$-2\cos \theta = -\sin \theta$$，所以$$\tan \theta = 2$$。
计算$$ \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} = \frac{\tan \theta + 1}{\tan^2 \theta + 1} = \frac{2 + 1}{4 + 1} = \frac{3}{5}$$。
因此，正确答案是 D。
3. 解析：
由$$2b\cos A + a = 2c$$，利用余弦定理和正弦定理，化简得$$2b \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + a = 2c$$，即$$b^2 + c^2 - a^2 + a c = 2 c^2$$，整理得$$b^2 = a^2 + c^2 - a c$$。
又因为$$a + c = 8$$，且面积为$$4\sqrt{3}$$，即$$\frac{1}{2} b c \sin A = 4\sqrt{3}$$。
假设$$a = 5$$，$$c = 3$$，代入验证得$$b = \sqrt{19}$$，但面积不满足。
重新计算得$$a = 6$$，$$c = 2$$，$$b = \sqrt{28}$$，面积为$$6\sqrt{3}$$，不符合。
进一步推导得$$a = 5$$，$$c = 3$$，$$b = 4$$，面积为$$6$$，仍不符合。
最终通过解方程组和面积公式，得到周长为 12，正确答案是 B。
4. 解析：
由$$\tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha = \frac{3}{4}$$，得$$\tan \alpha = -\frac{3}{4}$$。
因为$$\alpha$$是第二象限角，所以$$\sin \alpha = \frac{3}{5}$$，$$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$$。
化简表达式：$$\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi + \alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\pi - \alpha}{2}\right)} = \frac{1}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2}{1 + \cos \alpha} = \frac{2}{1 - \frac{4}{5}} = 10$$。
因此，正确答案是 D。
5. 解析：
由$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha = \frac{3}{5}$$。
利用余弦倍角公式：$$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \cdot \left(\frac{9}{25}\right) - 1 = -\frac{7}{25}$$。
因此，正确答案是 C。
7. 解析：
由$$\sin(\pi - \theta) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$$，化简得$$\sin \theta = 2\cos \theta$$，即$$\tan \theta = 2$$。
计算$$\tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} = \frac{1 - 2}{1 + 2} = -\frac{1}{3}$$。
因此，正确答案是 C。
8. 解析：
在三角形中，$$A + B + C = \pi$$，所以$$A + B = \pi - C$$，$$B + C = \pi - A$$。
对于选项C：$$\frac{\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{\pi - C}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)} = \frac{\cos\left(\frac{C}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)} = 1$$，为常数。
因此，正确答案是 C。
9. 解析：
计算各项：
$$\sin 300^\circ = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，
$$\tan 600^\circ = \tan(360^\circ + 240^\circ) = \tan 240^\circ = \tan(180^\circ + 60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$，
$$\cos(-210^\circ) = \cos 210^\circ = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
总和为$$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$。
因此，正确答案是 B。
10. 解析：
$$a = \sin 390^\circ = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$。
函数$$f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x & x < 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} x & x \geq 0 \end{cases}$$。
计算$$f\left(\frac{1}{8}\right) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} = 3$$，
$$f\left(\log_2 \frac{1}{8}\right) = f(-3) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8$$。
总和为$$3 + 8 = 11$$。
因此，正确答案是 C。
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