利用诱导公式化简-5.3 诱导公式知识点月考进阶单选题自测题解析-山东省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '同角三角函数的平方关系']

正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( \pi-\alpha)=\frac{1} {3}，$$且$$\frac{\pi} {2} \leqslant\alpha\leqslant\pi，$$则$$\operatorname{s i n} 2 \alpha$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{4 \sqrt2} 9$$

B.$$- \frac{2 \sqrt2} 9$$

C.$$\frac{2 \sqrt2} {9}$$

D.$$\frac{4 \sqrt{2}} {9}$$

2、['利用诱导公式化简'， '两角和与差的余弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '直线的斜率'， '直线的倾斜角']

正确率40.0%已知直线$$y=-\frac{4} {3} x+1$$的倾斜角为$${{α}{，}}$$则$$\frac{\operatorname{c o s} 2 \alpha} {\operatorname{c o s} ( \frac{5 \pi} {4}+\alpha) \operatorname{s i n} ( \pi+\alpha)}$$的值为（）

A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {4}$$

C.$$\frac{\sqrt{2}} {8}$$

D.$$\frac{7 \sqrt{2}} {4}$$

3、['利用诱导公式化简'， '三角函数值在各象限的符号']

正确率60.0%下列各值中，符号为负的是（）

A.$$\operatorname{s i n} 1 1 0 0^{\circ}$$

B.$$\operatorname{c o s} ~ ( \mathrm{~-~ 2 2 0 0^{\circ} ~} )$$

C.$$\operatorname{t a n} ~ ( \mathrm{~-~ 1 0 ~} )$$

D.$$\operatorname{s i n} \frac{7 \pi} {1 0} \operatorname{c o s} \pi\operatorname{t a n} \frac{1 7 \pi} {9}$$

4、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} ~ ( ~ \frac{5} {2 6} \pi-\frac{\alpha} {2} ) ~=\frac{2} {3}.$$则$$\operatorname{s i n} ~ ( \frac{3} {2 6} \pi+\alpha) ~=~ ($$）

A.$$- \frac{1} {3}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$

5、['利用诱导公式化简'， '三角函数的图象变换']

正确率60.0%已知$$f \left( x \right)=\operatorname{s i n} \left( 2 x+\frac{\pi} {3} \right)$$，为得到函数$$g \left( x \right)=\operatorname{c o s} \left( 2 x+\frac{\pi} {6} \right)$$的图象，可以将$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象（）

A.向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度

B.向左平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度

C.向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度

D.向右平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度

6、['正弦定理及其应用'， '利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，已知$$\frac{a} {\operatorname{c o s} C}=\frac{c} {\operatorname{c o s} A}，$$则$${{△}{A}{B}{C}}$$是$${{(}{)}}$$

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

7、['正弦定理及其应用'， '利用诱导公式化简'， '两角和与差的正弦公式']

正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A， ~ B， ~ C$$角的对边分别是$$a， ~ b， ~ c$$，且满足$${\frac{2 c \operatorname{c o s} C} {a}}-{\frac{\operatorname{s i n} ( B-C )} {\operatorname{s i n} ( B+C )}}=1，$$则三角形的形状为（）

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.等腰三角形

D.等腰或直角三角形

8、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数基本关系的综合应用']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \alpha+3 \pi)=-\frac{1} {4}，$$且$${{α}}$$为第二象限角，则$$\operatorname{c o s} \alpha=$$（）

A.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$

B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$

C.$$- \frac{\sqrt{2}} {4}$$

D.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {4}$$

9、['利用诱导公式化简'， '三角函数的图象变换']

正确率40.0%已知曲线$$\mathbf{C_{1}} \colon\mathbf{y=} \operatorname{c o s x.} \mathbf{C_{2}} \colon\mathbf{y=} \operatorname{s i n} ( \mathbf{2 x+} \frac{\mathbf{2 \pi}} {\mathbf{3}} )，$$则下面结论正确的是$${{(}{)}}$$

A.把$${{C}_{1}}$$上各点的横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度，得到曲线$${{C}_{2}}$$

B.把$${{C}_{1}}$$上各点的横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度，得到曲线$${{C}_{2}}$$

C.把$${{C}_{1}}$$上各点的横坐标缩短到原来的$$\frac{1} {2}$$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度，得到曲线$${{C}_{2}}$$

D.把$${{C}_{1}}$$上各点的横坐标缩短到原来的$$\frac{1} {2}$$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度，得到曲线$${{C}_{2}}$$

10、['利用诱导公式化简'， '函数图象的平移变换'， '正弦曲线的对称中心'， '正弦曲线的对称轴']

正确率60.0%将函数$$y=\operatorname{c o s} ~ ( \frac{\pi} {3} )$$的图象向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位后，得到$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象，则（）

A.$$f ~ ( \textbf{x} ) ~=-\operatorname{s i n} 2 x$$

B.$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于$$x=-\frac{\pi} {3}$$对称

C.$$f ~ ( \frac{7 \pi} {3} ) ~=\frac{1} {2}$$

D.$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于$$( \frac{\pi} {1 2}， \ 0 )$$对称

1. 解析：

根据题意，$$ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha = \frac{1}{3} $$。由于 $$ \frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi $$，$$\cos \alpha$$ 为负值。利用 $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$，得 $$ \cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $$。因此，$$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{1}{3} \times \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{2}}{9} $$。答案为 A。

2. 解析：

直线斜率为 $$ -\frac{4}{3} $$，故 $$ \tan \alpha = -\frac{4}{3} $$。利用三角恒等式，$$ \cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - \left(-\frac{4}{3}\right)^2}{1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = -\frac{7}{25} $$。分母化简为 $$ \cos\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) \sin(\pi + \alpha) = -\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \cdot (-\sin \alpha) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \sin \alpha $$。进一步化简得 $$ \frac{\cos 2\alpha}{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \sin \alpha} = \frac{-2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \sin \alpha} = -2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) / \sin \alpha $$。代入 $$ \sin \alpha = \frac{4}{5} $$ 和 $$ \cos \alpha = -\frac{3}{5} $$，最终结果为 $$ \frac{7\sqrt{2}}{4} $$。答案为 D。

3. 解析：

选项分析：
A. $$ \sin 1100^\circ = \sin(3 \times 360^\circ + 20^\circ) = \sin 20^\circ > 0 $$；
B. $$ \cos(-2200^\circ) = \cos(2200^\circ) = \cos(6 \times 360^\circ + 40^\circ) = \cos 40^\circ > 0 $$；
C. $$ \tan(-10) = -\tan 10 $$，由于 $$ 10 $$ 弧度在第三象限，$$ \tan 10 > 0 $$，故结果为负；
D. $$ \sin \frac{7\pi}{10} > 0 $$，$$ \cos \pi = -1 $$，$$ \tan \frac{17\pi}{9} = \tan\left(2\pi - \frac{\pi}{9}\right) = -\tan \frac{\pi}{9} < 0 $$，整体符号为正。
答案为 C。

4. 解析：

设 $$ \theta = \frac{5}{26}\pi - \frac{\alpha}{2} $$，则 $$ \sin \theta = \frac{2}{3} $$。目标为 $$ \sin\left(\frac{3}{26}\pi + \alpha\right) = \sin\left(\frac{3}{26}\pi + 2\left(\frac{5}{26}\pi - \theta\right)\right) = \sin\left(\frac{13}{26}\pi - 2\theta\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right) = \cos 2\theta $$。利用 $$ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta = 1 - 2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $$。答案为 B。

5. 解析：

将 $$ f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) $$ 转换为 $$ g(x) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) $$。注意到 $$ \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) $$。因此，需要将 $$ f(x) $$ 向左平移 $$ \frac{\pi}{12} $$ 个单位（因为 $$ \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x $$，但更精确推导需调整相位）。答案为 B。

6. 解析：

由题意，$$ \frac{a}{\cos C} = \frac{c}{\cos A} $$，根据正弦定理，$$ \frac{\sin A}{\cos C} = \frac{\sin C}{\cos A} $$，即 $$ \sin A \cos A = \sin C \cos C $$，化简为 $$ \sin 2A = \sin 2C $$。因此，$$ 2A = 2C $$ 或 $$ 2A = \pi - 2C $$，即 $$ A = C $$ 或 $$ A + C = \frac{\pi}{2} $$。故三角形为等腰或直角三角形。答案为 D。

7. 解析：

化简给定条件：$$ \frac{2c \cos C}{a} - \frac{\sin(B - C)}{\sin(B + C)} = 1 $$。利用正弦定理和 $$ \sin(B + C) = \sin A $$，得 $$ \frac{2 \sin C \cos C}{\sin A} - \frac{\sin(B - C)}{\sin A} = 1 $$，即 $$ \sin 2C - \sin(B - C) = \sin A $$。进一步化简并结合三角恒等式，可得 $$ B = C $$ 或 $$ A = \frac{\pi}{2} $$。因此，三角形为等腰或直角三角形。答案为 D。

8. 解析：

由 $$ \sin(\alpha + 3\pi) = -\sin \alpha = -\frac{1}{4} $$，得 $$ \sin \alpha = \frac{1}{4} $$。由于 $$ \alpha $$ 在第二象限，$$ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\frac{\sqrt{15}}{4} $$。答案为 D。

9. 解析：

将 $$ C_1: y = \cos x $$ 转换为 $$ C_2: y = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) $$。步骤如下：
1. 横坐标缩短为原来的 $$ \frac{1}{2} $$ 倍，得到 $$ y = \cos 2x $$；
2. 向左平移 $$ \frac{\pi}{12} $$ 个单位，得到 $$ y = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{12}\right)\right) = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) $$；
3. 利用 $$ \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) $$，即为 $$ C_2 $$。
答案为 D。

10. 解析：

函数 $$ y = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $$ 为常数函数，平移后仍为常数，题目描述可能有误。假设原题为 $$ y = \cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) $$，则向左平移 $$ \frac{\pi}{6} $$ 个单位后，$$ f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) $$。验证选项：
A. 不正确；
B. 对称性验证不成立；
C. 计算 $$ f\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} \times \frac{7\pi}{3} + \frac{\pi^2}{18}\right) $$ 不为 $$ \frac{1}{2} $$；
D. 对称中心验证不成立。
题目可能存在歧义，需进一步确认原题。

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