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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\frac{x} {2 x-1}+\operatorname{c o s} ( x-\frac{\pi+1} {2} )$$，则$$\sum_{k=1}^{2 0 1 8} f ( \frac{k} {2 0 1 9} )$$的值为（）
C
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{1 0 0 9} {2}$$
C.$${{1}{0}{0}{9}}$$
D.$${{2}{0}{1}{8}}$$
2、['三角恒等变换综合应用'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给角求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ( 1 3^{\circ}+\alpha)=-\frac3 4$$，则$$\operatorname{s i n} (-6 4^{\circ}+2 \alpha)$$的值为（）
A
A.$$- \frac{1} {8}$$
B.$$\frac{1} {8}$$
C.$$- \frac{3} {1 6}$$
D.$$\frac{1 5} {3 2}$$
3、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {6}-\alpha)==( \begin{array} {c} {\} \\ {\} \\ \end{array} )$$
B
A.$$- \frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
4、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '函数求解析式'， '函数单调性的判断'， '特殊角的三角函数值'， '函数零点个数的判定']正确率60.0%已知$$\alpha\in\left[ \frac{\pi} {2}， \frac{3 \pi} {2} \right]， \， \， \， \beta\in\left[-\frac{\pi} {2}， 0 \right]，$$且$$\left( \alpha-\frac{\pi} {2} \right)^{3}-\operatorname{s i n} \alpha-2=0， \ 8 \beta^{3}+2 \mathrm{c o s}^{2} \beta+1=0$$，则$$\operatorname{s i n} \Bigl( \frac{\alpha} {2}+\beta\Bigr)$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{1}}$$
5、['函数图象的平移变换'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '余弦曲线的对称中心']正确率60.0%若将函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\operatorname{s i n} \left( \begin{matrix} {2 x+\frac{\pi} {6}} \\ \end{matrix} \right)$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度，再向下平移$${{1}}$$个单位长度，得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，则$${{g}{（}{x}{）}}$$的一个对称中心为（）
A
A.$$( \frac{\pi} {6}， \ \ -1 )$$
B.$$( \frac{\pi} {3}， \ \ -1 )$$
C.$$( \， \frac{\pi} {6}， \， \， 0 )$$
D.$$( \， \frac{\pi} {3}， \， \， 0 )$$
6、['余弦定理及其应用'， '共线向量基本定理'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '三角形的“四心”'， '三角函数的图象变换'， '余弦（型）函数的单调性']正确率40.0%下列结论中，正确的个数是$${{(}{)}}$$．
$${①}$$若向量$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$是不共线的向量，且$$\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}$$与$${{3}{{a}^{→}}{−}{{b}^{→}}}$$共线，则$$\lambda=-\frac{1} {3} ;$$
$${②}$$若锐角$${{α}{，}{β}}$$满足$$\operatorname{c o s} \， \alpha> \operatorname{s i n} \， \beta，$$则$$\alpha+\beta< \frac{\pi} {2} ;$$
$${③}$$要得到函数$$y=\operatorname{s i n} ( \frac{x} {2}-\frac{\pi} {4} )$$的图象，只需将$$y=\operatorname{s i n} {\frac{x} {2}}$$的图象向右平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位；
$${④}$$若$${{G}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的重心，$$a， b， c$$分别是角$$A， ~ B， ~ C$$的对边，若$$a \overrightarrow{G A}+b \overrightarrow{G B}+\frac{\sqrt{3}} {3} c \cdot\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$$，则角$${{A}{=}{{3}{0}^{∘}}}$$；
B
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
7、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '余弦（型）函数的奇偶性']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{c o s} \left( x+\frac{\pi} {2} \right) ( x \in R )$$（）
A
A.是奇函数．
B.是偶函数．
C.非奇非偶函数．
D.既是奇函数又是偶函数．
8、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {8}+\alpha)=\frac{3} {4}$$，则$$\operatorname{c o s} ( \frac{3 \pi} {8}-\alpha)=\alpha$$）
B
A.$$- \frac{3} {4}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$- \frac{\sqrt{7}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$
9、['利用诱导公式化简'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '三角函数的图象变换']正确率40.0%已知曲线$$C_{1} \colon~ y=\operatorname{s i n} ( \omega x+\varphi) ( \omega> 0， 0 < \varphi< \pi)$$与$${{x}}$$轴的两个相邻的交点分别为$$\left(-\frac{\pi} {3}， 0 \right)， \left( \frac{\pi} {6}， 0 \right)，$$曲线$$C_{2} \colon~ y=\operatorname{c o s} x$$，则下列结论正确的是（）
C
A.把$${{C}_{2}}$$上各点的横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度，得到$${{C}_{1}}$$
B.把$${{C}_{2}}$$上各点的横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度，得到曲线$${{C}_{1}}$$
C.把$${{C}_{2}}$$上各点的横坐标缩短到原来的$$\frac{1} {2}$$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位长度，得到曲线$${{C}_{1}}$$
D.把$${{C}_{2}}$$上各点的横坐标缩短到原来的$$\frac{1} {2}$$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位长度，得到曲线$${{C}_{1}}$$
10、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%$$\operatorname{c o s} 2 7^{\circ} \， \operatorname{c o s} 5 7^{\circ}-\operatorname{s i n} 2 7^{\circ} \， \operatorname{c o s} 1 4 7^{\circ}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
1. 首先分析函数 $$f(x) = \frac{x}{2x-1} + \cos\left(x - \frac{\pi+1}{2}\right)$$。注意到 $$\cos\left(x - \frac{\pi+1}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{1}{2}\right)$$。通过观察，可以找到对称性：$$f(x) + f(1-x) = \frac{x}{2x-1} + \frac{1-x}{2(1-x)-1} + \sin\left(x - \frac{1}{2}\right) + \sin\left(1-x - \frac{1}{2}\right) = 1$$。因此，$$\sum_{k=1}^{2018} f\left(\frac{k}{2019}\right) = 1009$$，答案为 $$C$$。
2. 已知 $$\cos(13^\circ + \alpha) = -\frac{3}{4}$$，求 $$\sin(-64^\circ + 2\alpha)$$。利用余弦值，$$\sin(2(13^\circ + \alpha)) = 2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = -\frac{3\sqrt{7}}{8}$$。注意到 $$-64^\circ + 2\alpha = 2(13^\circ + \alpha) - 90^\circ$$，因此 $$\sin(-64^\circ + 2\alpha) = -\cos(2(13^\circ + \alpha)) = -\left(2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - 1\right) = \frac{1}{8}$$，答案为 $$B$$。
3. 已知 $$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3}$$，求 $$\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$$。注意到 $$\frac{\pi}{6} - \alpha = \frac{\pi}{2} - \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)$$，因此 $$\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3}$$，答案为 $$B$$。
4. 解方程 $$\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)^3 - \sin \alpha - 2 = 0$$ 和 $$8\beta^3 + 2\cos^2 \beta + 1 = 0$$。令 $$x = \alpha - \frac{\pi}{2}$$，则 $$x^3 - \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 2 = 0$$，即 $$x^3 - \cos x - 2 = 0$$。显然 $$x = 1$$ 是一个解，验证唯一性后得 $$\alpha = \frac{\pi}{2} + 1$$。对于 $$\beta$$，令 $$y = 2\beta$$，则 $$y^3 + \cos^2\left(\frac{y}{2}\right) + 1 = 0$$，解得 $$y = -1$$，即 $$\beta = -\frac{1}{2}$$。因此 $$\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \beta\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，答案为 $$B$$。
5. 函数 $$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$$ 平移后得到 $$g(x) = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) - 1$$。对称中心满足 $$2x + \frac{2\pi}{3} = k\pi$$，即 $$x = \frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$$。当 $$k = 1$$ 时，$$x = \frac{\pi}{3}$$，$$g\left(\frac{\pi}{3}\right) = -1$$，答案为 $$B$$。
6. 分析各结论：① 共线条件 $$\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b} = k(3\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$$，解得 $$\lambda = -\frac{1}{3}$$，正确；② 锐角 $$\alpha, \beta$$ 满足 $$\cos \alpha > \sin \beta$$，即 $$\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$$，正确；③ 平移应为 $$\frac{\pi}{2}$$ 单位，错误；④ 重心性质推导得 $$A = 30^\circ$$，正确。综上，3 个正确，答案为 $$B$$。
7. 函数 $$y = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x$$ 是奇函数，答案为 $$A$$。
8. 已知 $$\sin\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) = \frac{3}{4}$$，则 $$\cos\left(\frac{3\pi}{8} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{8} + \alpha\right) = \frac{3}{4}$$，答案为 $$B$$。
9. 曲线 $$C_1$$ 的周期为 $$\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2}$$，$$\omega = 4$$，$$\varphi = \frac{\pi}{3}$$。将 $$C_2$$ 横坐标缩短为 $$\frac{1}{2}$$，再左移 $$\frac{\pi}{12}$$ 得到 $$C_1$$，答案为 $$C$$。
10. 化简 $$\cos 27^\circ \cos 57^\circ - \sin 27^\circ \cos 147^\circ = \cos 27^\circ \cos 57^\circ + \sin 27^\circ \sin 57^\circ = \cos(57^\circ - 27^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，答案为 $$A$$。