角α与‌π ± α的三角函数值之间的关系-5.3 诱导公式知识点月考进阶自测题答案-青海省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '利用单位圆定义任意角的三角函数']

正确率60.0%已知角$${{α}}$$的顶点与原点$${{O}}$$重合，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为$$P \left( \frac{4} {5}， \ \frac{3} {5} \right)，$$则$$\operatorname{c o s} ( \pi-\alpha)=$$（）

A.$$- \frac{4} {5}$$

B.$$- \frac{3} {5}$$

C.$$\frac{3} {5}$$

D.$$\frac{4} {5}$$

2、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '特殊角的三角函数值']

正确率80.0%$$\frac{\mathrm{c o s} 5 8 5^{\circ}} {\operatorname{t a n} (-5 8 5^{\circ} )+\operatorname{s i n} (-5 7 0^{\circ} )}=$$（）

A.$$\frac{\sqrt2} 3$$

B.$$- \frac{\sqrt2} 3$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

3、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '三角函数值在各象限的符号'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%若$$- 2 \pi< \alpha<-\frac{3 \pi} {2}，$$则$$\sqrt{\frac{1-\operatorname{c o s} ( \alpha-\pi)} {2}}=$$（）

A.$$\operatorname{s i n} \frac{\alpha} {2}$$

B.$$\operatorname{c o s} {\frac{\alpha} {2}}$$

C.$$- \mathrm{s i n} \frac{\alpha} {2}$$

D.$$- \operatorname{c o s} \frac\alpha2$$

4、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \frac{5 \pi} {6}-2 x \right)=\operatorname{c o s} \left( x-\frac{\pi} {6} \right)，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \frac{2 \pi} {3}-x \right)=$$（）

A.$$- \frac{1} {2}$$或$${{1}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$或$${{−}{1}}$$

C.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$或$${{1}}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$或$${{−}{1}}$$

5、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正弦公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%$$2 \mathrm{s i n} 1 0^{\circ} \mathrm{c o s}^{2} 1 0^{\circ}-\mathrm{c o s} 1 6 0^{\circ} \mathrm{s i n} 1 0^{\circ}=$$（）

A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

6、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%若$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{\pi} {3} )=\frac{4} {5}，$$则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {3}-2 \alpha)=~ ($$）

A.$$\frac{2 3} {2 5}$$

B.$$- \frac{2 3} {2 5}$$

C.$$\frac{7} {2 5}$$

D.$$- \frac{7} {2 5}$$

7、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '对数的运算性质'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%svg异常

A.$${{4}}$$

B.$${{1}}$$

C.svg异常

D.svg异常

8、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正切公式'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%在锐角三角形$${{A}{B}{C}}$$中，若$$a=2 b \operatorname{s i n} C$$，则$$\operatorname{t a n} A+\operatorname{t a n} B+\operatorname{t a n} C$$最小值为（）

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{8}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{8}}$$

9、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式']

正确率60.0%式子$$\operatorname{c o s} \frac{2 \pi} {3} \operatorname{c o s} \frac\pi6-\operatorname{s i n} \frac{2 \pi} {3} \operatorname{s i n} \frac\pi6$$的值为（）

A.$$- \frac{1} {2}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{1}}$$

D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

10、['正弦定理及其应用'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正弦公式']

正确率40.0%svg异常

A.锐角三角形

B.等腰三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

1. 已知角$$α$$的终边与单位圆的交点为$$P \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)$$，则$$\cos α = \frac{4}{5}$$。利用余弦的差角公式： $$ \cos(\pi - α) = -\cos α = -\frac{4}{5} $$。故选A。

2. 化简角度： $$ \cos 585^\circ = \cos (585^\circ - 360^\circ) = \cos 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$， $$ \tan (-585^\circ) = -\tan 585^\circ = -\tan (585^\circ - 360^\circ) = -\tan 225^\circ = -1 $$， $$ \sin (-570^\circ) = -\sin 570^\circ = -\sin (570^\circ - 360^\circ) = -\sin 210^\circ = \frac{1}{2} $$。代入原式： $$ \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-1 + \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $$。故选C。

3. 由半角公式： $$ \sqrt{\frac{1 - \cos(α - \pi)}{2}} = \left|\sin\left(\frac{α - \pi}{2}\right)\right| $$。由于$$-2\pi < α < -\frac{3\pi}{2}$$，则$$-\pi < \frac{α}{2} < -\frac{3\pi}{4}$$，故$$\sin\left(\frac{α}{2}\right)$$为负值。因此： $$ \sqrt{\frac{1 - \cos(α - \pi)}{2}} = -\sin\left(\frac{α}{2}\right) $$。故选C。

4. 利用正弦与余弦的关系： $$ \sin\left(\frac{5\pi}{6} - 2x\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) $$，可以转化为： $$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{5\pi}{6} - 2x\right)\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) $$，即： $$ \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) $$。解得： $$ 2x - \frac{\pi}{3} = \pm\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi $$。情况1： $$ 2x - \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi $$，此时： $$ \sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $$。情况2： $$ 2x - \frac{\pi}{3} = -x + \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} $$，当$$k = 0$$时： $$ \sin\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = 1 $$；当$$k = 1$$时： $$ \sin\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $$。综上，结果为$$-\frac{1}{2}$$或$$1$$，故选A。

5. 利用三角恒等式化简： $$ 2\sin 10^\circ \cos^2 10^\circ - \cos 160^\circ \sin 10^\circ $$，其中$$\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ$$，原式变为： $$ 2\sin 10^\circ \cos^2 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ $$。利用$$\cos 20^\circ = 2\cos^2 10^\circ - 1$$，代入得： $$ 2\sin 10^\circ \cos^2 10^\circ + (2\cos^2 10^\circ - 1)\sin 10^\circ = \sin 10^\circ (4\cos^2 10^\circ - 1) $$。进一步化简： $$ 4\cos^2 10^\circ - 1 = 2(1 + \cos 20^\circ) - 1 = 1 + 2\cos 20^\circ $$，但更简单的方法是直接利用二倍角公式： $$ 2\sin 10^\circ \cos^2 10^\circ = \sin 20^\circ \cos 10^\circ $$，原式变为： $$ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ = \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $$。故选D。

6. 设$$β = α + \frac{\pi}{3}$$，则$$\cos β = \frac{4}{5}$$，要求$$\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2α\right) = \cos\left(2β - \pi\right) = -\cos 2β $$。利用倍角公式： $$ \cos 2β = 2\cos^2 β - 1 = 2 \times \left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25} $$，因此： $$ -\cos 2β = -\frac{7}{25} $$。故选D。

7. 题目不完整，无法解析。

8. 在锐角三角形$$ABC$$中，由正弦定理： $$ a = 2b \sin C $$，代入正弦定理$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $$，得： $$ 2b \sin C = 2 \cdot \frac{a \sin B}{\sin A} \sin C $$，化简得： $$ \sin A = 2 \sin B \sin C $$。利用三角恒等式： $$ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C $$，由$$\sin A = 2 \sin B \sin C$$及余弦定理，可推导出最小值为$$8$$。故选D。

9. 利用余弦加法公式： $$ \cos \frac{2\pi}{3} \cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{2\pi}{3} \sin \frac{\pi}{6} = \cos\left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$。故选D。

10. 题目不完整，无法解析。

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