利用诱导公式化简-5.3 诱导公式知识点考前进阶选择题自测题解析-北京市等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{1} {4}，$$则$$\operatorname{c o s} \， \left( \alpha+\frac{\pi} {2} \right)=$$（）

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$- \frac{1} {4}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$

D.$$- \frac{\sqrt{1 5}} {4}$$

2、['利用诱导公式化简'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {4} \!-\! x ) \!=\! \frac{1} {4}，$$则$$\operatorname{s i n} 2 x$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{5} {8}$$

B.$$\begin{array} {l l} {6} \\ {\frac{8} {}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{7} {8}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$

3、['利用诱导公式化简'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系']

正确率80.0%$$\operatorname{c o s} \ ( \pi+x ) \ =\ ($$）

A.$${{c}{o}{s}{x}}$$

B.$${{−}{{c}{o}{s}}{x}}$$

C.$${{s}{i}{n}{x}}$$

D.$${{−}{{s}{i}{n}}{x}}$$

4、['利用诱导公式化简'， '对数（型）函数的定义域'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '半角公式'， '函数零点的概念'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%函数$$f ( x )=4 \operatorname{c o s}^{2} \frac{x} {2} \mathrm{c o s} \Big( \frac{\pi} {2}-x \Big)-2 \operatorname{s i n} \， x-| \operatorname{l n} ( x+1 ) |$$的零点个数（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{6}}$$

5、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数基本关系的综合应用']

正确率60.0%已知$$\frac{1-\operatorname{s i n} ( x+\eta)-\operatorname{s i n} ( x+\frac{3} {2} )} {1-\operatorname{s i n} ( x-\eta)-\operatorname{s i n} ( x-\frac{3} {2} \eta)}=\frac{4} {3}，$$则$$\operatorname{t a n} x=\langle$$）

A.$$\frac{2 4} {7}$$

B.$$- \frac{2 4} {7}$$

C.$$\frac{7} {2 4}$$

D.$$- \frac{7} {2 4}$$

6、['利用诱导公式化简'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '三角函数的图象变换']

正确率60.0%将函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\operatorname{s i n} 2 x$$的图象向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度后得到函数$${{g}{（}{x}{）}}$$的图象，则$${{g}{（}{x}{）}}$$具有的性质是（）

A.图象关于直线$$x=\frac{\pi} {2}$$对称且最大值为$${{1}}$$

B.图象关于点$$( \mathrm{\Pi-\frac{3 \pi} {8}， \ 0 )}$$对称且周期为$${{π}}$$

C.在区间$$( \mathit{\Pi}-\frac{3 \pi} {8}， \ \frac{\pi} {8} )$$上单调递增且为偶函数

D.在区间$$( 0， \; \; \frac{\pi} {4} )$$上单调递增且为奇函数

7、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '特殊角的三角函数值']

正确率60.0%
$$\operatorname{c o s} (-3 3 0^{\circ} ) ( \slash{} )$$

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

8、['函数奇偶性的应用'， '利用诱导公式化简'， '正弦（型）函数的单调性'， '函数奇、偶性的定义'， '函数的周期性'， '利用函数单调性比较大小'， '函数单调性的应用']

正确率19.999999999999996%定义在实数集上的偶函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$满足$$f \left( x+2 \right)=f \left( x \right)$$，且$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$[-3，-2 ]$$上单调递减，又$${{α}{、}{β}}$$是锐角三角形的两内角，则$${{(}{)}}$$

A.$$f \， ( \operatorname{s i n} \alpha) \geqslant f \， ( \operatorname{c o s} \beta)$$

B.$$f \left( \operatorname{s i n} \alpha\right) > f \left( \operatorname{c o s} \beta\right)$$

C.$$f \， ( \operatorname{s i n} \alpha) \leq f \， ( \operatorname{c o s} \beta)$$

D.$$f \， ( \operatorname{s i n} \alpha) < f \， ( \operatorname{c o s} \beta)$$

9、['三角恒等变换综合应用'， '正弦定理及其应用'， '利用诱导公式化简'， '三角形的面积（公式）'， '同角三角函数的平方关系']

正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a=2， \， \， \angle C=\frac{\pi} {4}， \operatorname{t a n} \frac{B} {2}=\frac{1} {2}$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积等于（）

A. $\text{[math]}$

B.$$\frac{5 \sqrt{2}} {7}$$

C.$$\frac{8 \sqrt{2}} {7}$$

D.$$\begin{array} {c} {\frac{8} {7}} \\ \end{array}$$

10、['利用诱导公式化简'， '同角三角函数的商数关系']

正确率40.0%若$$\operatorname{s i n} \theta+\operatorname{c o s} \theta=2 \ ( \operatorname{s i n} \theta-\operatorname{c o s} \theta)$$，则$$\operatorname{s i n} ( \theta-\pi) \operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2}-\theta)=\alpha$$）

A.$$\frac{3} {4}$$

B.$$\pm\frac{3} {1 0}$$

C.$$- \frac{3} {1 0}$$

D.$$\frac{3} {1 0}$$

1. 已知 $$\sin \alpha = \frac{1}{4}$$，则 $$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$$ 可以通过余弦的加法公式展开：

$$ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{2} - \sin \alpha \sin \frac{\pi}{2} = -\sin \alpha = -\frac{1}{4} $$

因此，答案为 B。

2. 已知 $$\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{1}{4}$$，要求 $$\sin 2x$$。利用正弦差公式和倍角公式：

$$ \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{1}{4} $$ $$ \Rightarrow \cos x - \sin x = \frac{\sqrt{2}}{4} $$ 两边平方得： $$ \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = \frac{2}{16} $$ $$ 1 - \sin 2x = \frac{1}{8} $$ $$ \sin 2x = \frac{7}{8} $$

因此，答案为 C。

3. 利用余弦的周期性：

$$ \cos(\pi + x) = -\cos x $$

因此，答案为 B。

4. 函数 $$f(x) = 4 \cos^2 \frac{x}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 2 \sin x - |\ln(x+1)|$$ 的零点个数需要分段分析：

化简第一部分： $$ 4 \cos^2 \frac{x}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 4 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} \cdot \sin x = 2(1 + \cos x)\sin x $$ 因此： $$ f(x) = 2(1 + \cos x)\sin x - 2 \sin x - |\ln(x+1)| = 2 \sin x \cos x - |\ln(x+1)| = \sin 2x - |\ln(x+1)| $$ 分析 $$x \in (-1, 0)$$ 和 $$x \in (0, \pi)$$ 的交点，可得零点个数为 2。

因此，答案为 B。

5. 设 $$\eta = \pi$$，代入化简：

$$ \frac{1 - \sin(x + \pi) - \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right)}{1 - \sin(x - \pi) - \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)} = \frac{4}{3} $$ 利用周期性化简后解得 $$\tan x = -\frac{24}{7}$$。

因此，答案为 B。

6. 函数 $$g(x) = \sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x$$。分析性质：

- 周期为 $$\pi$$。 - 关于点 $$\left(\frac{3\pi}{8}, 0\right)$$ 对称。 - 在区间 $$\left(-\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right)$$ 上单调递增。

因此，答案为 B。

7. $$\cos(-330^\circ) = \cos(330^\circ) = \cos(360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。

因此，答案为 C。

8. 偶函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(x+2) = f(x)$$，且在 $$[-3, -2]$$ 上单调递减。由于 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$ 是锐角三角形的内角，有 $$\sin \alpha > \cos \beta$$。由单调性可得 $$f(\sin \alpha) < f(\cos \beta)$$。

因此，答案为 D。

9. 在 $$\triangle ABC$$ 中，$$a = 2$$，$$\angle C = \frac{\pi}{4}$$，$$\tan \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$$。利用半角公式和正弦定理：

$$ \tan \frac{B}{2} = \frac{1 - \cos B}{\sin B} = \frac{1}{2} $$ 解得 $$\sin B = \frac{4}{5}$$，$$\cos B = \frac{3}{5}$$。利用正弦定理： $$ \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} $$ 面积公式： $$ S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{8\sqrt{2}}{7} $$

因此，答案为 C。

10. 已知 $$\sin \theta + \cos \theta = 2(\sin \theta - \cos \theta)$$，解得 $$\tan \theta = 3$$。计算：

$$ \sin(\theta - \pi) \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = (-\sin \theta)(\cos \theta) = -\sin \theta \cos \theta $$ 利用 $$\tan \theta = 3$$，解得 $$\sin \theta \cos \theta = \frac{3}{10}$$，因此结果为 $$-\frac{3}{10}$$。

因此，答案为 C。

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