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正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {3} \right)=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \alpha-\frac{2 \pi} {3} \right)=$$（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
2、['利用诱导公式化简'， '角α与-α的三角函数值之间的关系'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%$$\operatorname{s i n} 2 0^{\circ} \operatorname{c o s} 1 1 0^{\circ}+\operatorname{c o s} 1 6 0^{\circ} \operatorname{s i n} 7 0^{\circ}=$$（）
C
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
3、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%$$\operatorname{c o s} \frac{\pi} {1 1} \operatorname{c o s} \frac{2 \pi} {1 1} \operatorname{c o s} \frac{3 \pi} {1 1} \operatorname{c o s} \frac{4 \pi} {1 1} \operatorname{c o s} \frac{5 \pi} {1 1}=$$（）
A
A.$$\frac{1} {2^{5}}$$
B.$$\frac{1} {2^{4}}$$
C.$$- \frac{1} {2^{5}}$$
D.$$- \frac{1} {2^{4}}$$
4、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值']正确率60.0%已知$$\mathrm{s i n} \alpha=\frac{5} {1 3}$$，那么$$\operatorname{s i n} ( \pi-\alpha)$$等于（）
C
A.$$- \frac{1 2} {1 3}$$
B.$$- \frac{5} {1 3}$$
C.$$\frac{5} {1 3}$$
D.$$\frac{1 2} {1 3}$$
5、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \frac2 3 \pi-2 \theta)=-\frac{7} {9}，$$则$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {6}+\theta)$$的值等于（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\pm\frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {9}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
6、['利用诱导公式求值'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ~ ( \alpha-\frac{2 \pi} {9} ) ~ ) ~=-\frac{\sqrt{7}} {4}，$$且$$\alpha\in\textsubscript{(} \frac{\pi} {2}， \textmsubscript{\pi} \pi\atvert\mathrm{，}$$则$$\operatorname{s i n} {\vphantom{\frac{1} {9}} ( \alpha+\frac{7 \pi} {9} )}$$等于（）
A
A.$$- \frac{3} {4}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$
D.$$- \frac{1} {4}$$
7、['利用诱导公式求值'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系']正确率80.0%已知，$$\alpha\in( 0， \frac{\pi} {2} )$$，则$$\operatorname{s i n} ( \pi+\alpha)=\mathrm{~ ( ~}$$）
D
A.$$\frac{3} {5}$$
B.$$- \frac{3} {5}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$- \frac{4} {5}$$
8、['利用诱导公式化简'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系']正确率80.0%$$\operatorname{c o s} \ ( \pi+x ) \ =\ ($$）
B
A.$${{c}{o}{s}{x}}$$
B.$${{−}{{c}{o}{s}}{x}}$$
C.$${{s}{i}{n}{x}}$$
D.$${{−}{{s}{i}{n}}{x}}$$
9、['象限角'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知$$\operatorname{t a n} \theta=-\sqrt{3}， \， \， \， \frac{\pi} {2} < \theta< \pi，$$那么$$\operatorname{c o s} \theta-\operatorname{s i n} \theta$$的值是（）
A
A.$$- \frac{1+\sqrt{3}} {2}$$
B.$$\frac{-1+\sqrt{3}} {2}$$
C.$$\frac{1-\sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac{1+\sqrt{3}} {2}$$
10、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%$$\operatorname{c o s} \frac{7 \pi} {6}$$的值为（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
1. 已知 $$ \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} $$，求 $$ \sin \left( \alpha - \frac{2\pi}{3} \right) $$。
解析：
设 $$ \beta = \alpha + \frac{\pi}{3} $$，则 $$ \alpha = \beta - \frac{\pi}{3} $$。
代入所求表达式：
$$ \sin \left( \alpha - \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \left( \beta - \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \left( \beta - \pi \right) = -\sin \beta = -\frac{1}{3} $$。
答案为 B。
2. 计算 $$ \sin 20^\circ \cos 110^\circ + \cos 160^\circ \sin 70^\circ $$。
解析：
注意到 $$ \cos 110^\circ = -\cos 70^\circ $$ 和 $$ \cos 160^\circ = -\cos 20^\circ $$，代入得：
$$ \sin 20^\circ (-\cos 70^\circ) + (-\cos 20^\circ) \sin 70^\circ = -(\sin 20^\circ \cos 70^\circ + \cos 20^\circ \sin 70^\circ) $$。
利用正弦加法公式：
$$ \sin(20^\circ + 70^\circ) = \sin 90^\circ = 1 $$，所以原式为 $$ -1 $$。
答案为 C。
3. 计算 $$ \cos \frac{\pi}{11} \cos \frac{2\pi}{11} \cos \frac{3\pi}{11} \cos \frac{4\pi}{11} \cos \frac{5\pi}{11} $$。
解析：
利用余弦乘积公式：
$$ \prod_{k=1}^{5} \cos \frac{k\pi}{11} = -\frac{1}{2^5} $$，因为 $$ \cos \frac{6\pi}{11} = -\cos \frac{5\pi}{11} $$ 等对称性。
答案为 C。
4. 已知 $$ \sin \alpha = \frac{5}{13} $$，求 $$ \sin(\pi - \alpha) $$。
解析：
利用正弦函数的性质：
$$ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha = \frac{5}{13} $$。
答案为 C。
5. 已知 $$ \cos \left( \frac{2\pi}{3} - 2\theta \right) = -\frac{7}{9} $$，求 $$ \sin \left( \frac{\pi}{6} + \theta \right) $$。
解析：
设 $$ \phi = \frac{\pi}{6} + \theta $$，则 $$ \theta = \phi - \frac{\pi}{6} $$。
代入已知条件：
$$ \cos \left( \frac{2\pi}{3} - 2\phi + \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( \pi - 2\phi \right) = -\cos 2\phi = -\frac{7}{9} $$。
因此 $$ \cos 2\phi = \frac{7}{9} $$，利用半角公式：
$$ \sin \phi = \sqrt{\frac{1 - \cos 2\phi}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{7}{9}}{2}} = \frac{1}{3} $$。
答案为 A。
6. 已知 $$ \cos \left( \alpha - \frac{2\pi}{9} \right) = -\frac{\sqrt{7}}{4} $$，且 $$ \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) $$，求 $$ \sin \left( \alpha + \frac{7\pi}{9} \right) $$。
解析：
设 $$ \beta = \alpha - \frac{2\pi}{9} $$，则 $$ \alpha = \beta + \frac{2\pi}{9} $$。
代入所求表达式：
$$ \sin \left( \alpha + \frac{7\pi}{9} \right) = \sin \left( \beta + \frac{2\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} \right) = \sin \left( \beta + \pi \right) = -\sin \beta $$。
已知 $$ \cos \beta = -\frac{\sqrt{7}}{4} $$，且 $$ \beta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) $$，所以 $$ \sin \beta = \sqrt{1 - \left( -\frac{\sqrt{7}}{4} \right)^2} = \frac{3}{4} $$。
因此 $$ \sin \left( \alpha + \frac{7\pi}{9} \right) = -\frac{3}{4} $$。
答案为 A。
7. 已知 $$ \alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) $$，求 $$ \sin(\pi + \alpha) $$。
解析：
利用正弦函数的性质：
$$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha $$。
题目未给出 $$ \sin \alpha $$ 的具体值，但选项中只有 B 和 D 为负值，可能是题目描述不完整。
假设题目要求 $$ \sin \alpha = \frac{3}{5} $$，则 $$ \sin(\pi + \alpha) = -\frac{3}{5} $$。
答案为 B。
8. 计算 $$ \cos(\pi + x) $$。
解析：
利用余弦函数的性质：
$$ \cos(\pi + x) = -\cos x $$。
答案为 B。
9. 已知 $$ \tan \theta = -\sqrt{3} $$，且 $$ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi $$，求 $$ \cos \theta - \sin \theta $$。
解析：
由 $$ \tan \theta = -\sqrt{3} $$，得 $$ \theta = \frac{2\pi}{3} $$。
计算：
$$ \cos \theta = -\frac{1}{2} $$，$$ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $$。
因此 $$ \cos \theta - \sin \theta = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$。
答案为 A。
10. 计算 $$ \cos \frac{7\pi}{6} $$。
解析：
利用余弦函数的性质：
$$ \cos \frac{7\pi}{6} = \cos \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$。
答案为 D。