角α与‌π/2 ± α的三角函数值之间的关系-诱导公式知识点课后进阶自测题解析-吉林省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']

正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \pi-\alpha)=-\frac{4} {5}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {2} \right)=$$（）

A.$$\frac{3} {5}$$

B.$$\frac{4} {5}$$

C.$$- \frac{3} {5}$$

D.$$- \frac{4} {5}$$

2、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式']

正确率60.0%$${{c}{o}{s}^{2}{{7}{5}^{∘}}{−}{{c}{o}{s}^{2}}{{1}{6}{5}^{∘}}{=}}$$（）

A.$$\frac{1-\sqrt{3}} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

3、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式']

正确率40.0%$${{c}{o}{s}{{2}{4}^{o}}{{c}{o}{s}}{{3}{6}^{o}}{−}{{c}{o}{s}}{{6}{6}^{o}}{{c}{o}{s}}{{5}{4}^{o}}}$$的值等于

A.$${{0}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

4、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '余弦（型）函数的定义域和值域']

正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$所对的边分别是$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，且满足$${{c}{o}{s}{（}{{s}{i}{n}}{A}{）}{=}{{s}{i}{n}}{（}{{c}{o}{s}}{B}{）}{=}{{s}{i}{n}}{（}{{s}{i}{n}}{C}{）}{，}}$$则下列结论中$${①{a}{>}{c}{>}{b}{；}{②}{a}{>}{b}{>}{c}{；}{③}{c}{>}{b}{>}{a}{；}{④}{c}{>}{a}{>}{b}}$$，有可能成立的是（）

A.$${①{②}}$$

B.$${②{④}}$$

C.$${①{③}}$$

D.$${③{④}}$$

5、['利用诱导公式化简'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']

正确率60.0%若角$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）

A.$${{c}{o}{s}{（}{A}{+}{B}{）}{=}{{c}{o}{s}}{C}}$$

B.$${{s}{i}{n}{（}{A}{+}{B}{）}{=}{−}{{s}{i}{n}}{C}}$$

C.$${{t}{a}{n}{（}{A}{+}{C}{）}{=}{{t}{a}{n}}{B}}$$

D.$$\operatorname{s i n} \frac{B+C} {2}=\operatorname{c o s} \frac{A} {2}$$

6、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '齐次式的求值问题']

正确率40.0%已知$${{t}{a}{n}{θ}{=}{2}{，}}$$则$$\operatorname{c o s}^{2} \， ( \theta+\frac{\pi} {4} )=$$（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{2} {5}$$

C.$$\frac{1} {5}$$

D.$$\frac{1} {1 0}$$

7、['类比推理'， '正弦（型）函数的单调性'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '导数与单调性'， '复数的有关概念'， '归纳推理']

正确率60.0%下列推理合理的是（）

A.若函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是增函数，则$${{f}^{′}{（}{x}{）}{>}{0}}$$

B.因为$${{a}{>}{b}{（}{a}{，}{b}{∈}{R}{）}}$$，则$${{a}{+}{2}{i}{>}{b}{+}{2}{i}{（}{i}}$$是虚数单位）

C.$${{A}}$$是三角形$${{A}{B}{C}}$$的内角，若$${{c}{o}{s}{A}{>}{0}{，}}$$则此三角形为锐角三角形

D.$${{α}{，}{β}}$$是锐角$${{△}{A}{B}{C}}$$的两个内角，则$${{s}{i}{n}{α}{>}{{c}{o}{s}}{β}}$$

8、['利用诱导公式化简'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的商数关系'， '两角和与差的正弦公式'， '三角函数的性质综合']

正确率60.0%计算：$${{4}{{c}{o}{s}}{{5}{0}^{∘}}{−}{{t}{a}{n}}{{4}{0}^{∘}}}$$等于（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$$\frac{\sqrt2+\sqrt3} {2}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$

9、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']

正确率40.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {6}+\alpha) \cdot\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {3}-\alpha)=-\frac{1} {4}， \ \alpha\in( \frac{\pi} {3}， \ \frac{\pi} {2} )，$$则$${{α}{=}{（}}$$）

A.$$\frac{7} {6} \pi$$

B.$$- \frac{\pi} {6}$$

C.$$- \frac{\pi} {4}$$

D.$$\frac{5} {1 2} \pi$$

10、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']

正确率60.0%对于$${{△}{A}{B}{C}{，}}$$若存在$${{△}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{，}}$$满足$$\frac{\operatorname{c o s} A} {\operatorname{s i n} A_{1}}=\frac{\operatorname{c o s} B} {\operatorname{s i n} B_{1}}=\frac{\operatorname{c o s} C} {\operatorname{s i n} C_{1}}=1.$$则称$${{△}{A}{B}{C}}$$为$${{“}{V}}$$类三角形$${{”}{。}{“}{V}}$$类三角形$${{”}}$$一定满足（）

A.有一个内角为$${{3}{0}^{∘}}$$

B.有一个内角为$${{4}{5}^{∘}}$$

C.有一个内角为$${{6}{0}^{∘}}$$

D.有一个内角为$${{7}{5}^{∘}}$$

1. 解析：已知$$ \cos(\pi - \alpha) = -\frac{4}{5} $$，由余弦函数的性质，$$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $$，因此$$ \cos \alpha = \frac{4}{5} $$。题目要求$$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) $$，利用正弦的相位变换公式，$$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \alpha = \frac{4}{5} $$。故选B。

2. 解析：题目要求计算$$ \cos^2 75^\circ - \cos^2 165^\circ $$。注意到$$ 165^\circ = 180^\circ - 15^\circ $$，因此$$ \cos 165^\circ = -\cos 15^\circ $$。代入得： $$ \cos^2 75^\circ - \cos^2 165^\circ = \cos^2 75^\circ - \cos^2 15^\circ $$。利用平方差公式和余弦差公式： $$ \cos^2 75^\circ - \cos^2 15^\circ = (\cos 75^\circ + \cos 15^\circ)(\cos 75^\circ - \cos 15^\circ) $$。进一步化简： $$ \cos 75^\circ + \cos 15^\circ = 2 \cos 45^\circ \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} $$， $$ \cos 75^\circ - \cos 15^\circ = -2 \sin 45^\circ \sin 30^\circ = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$。因此结果为： $$ \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{12}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$。故选D。

3. 解析：题目要求计算$$ \cos 24^\circ \cos 36^\circ - \cos 66^\circ \cos 54^\circ $$。注意到$$ 66^\circ = 90^\circ - 24^\circ $$和$$ 54^\circ = 90^\circ - 36^\circ $$，因此： $$ \cos 66^\circ = \sin 24^\circ $$， $$ \cos 54^\circ = \sin 36^\circ $$。代入原式得： $$ \cos 24^\circ \cos 36^\circ - \sin 24^\circ \sin 36^\circ = \cos(24^\circ + 36^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$。故选B。

4. 解析：题目给出$$ \cos(\sin A) = \sin(\cos B) = \sin(\sin C) $$。由于$$ A, B, C $$是三角形的内角，范围在$$ (0, \pi) $$内。通过分析函数单调性和范围： - $$ \sin A \in (0, 1] $$，$$ \cos(\sin A) $$递减，因此$$ \sin A $$越大，$$ \cos(\sin A) $$越小。 - $$ \cos B \in (-1, 1) $$，$$ \sin(\cos B) $$递增，因此$$ \cos B $$越大，$$ \sin(\cos B) $$越大。 - $$ \sin C \in (0, 1] $$，$$ \sin(\sin C) $$递增，因此$$ \sin C $$越大，$$ \sin(\sin C) $$越大。由于$$ \cos(\sin A) = \sin(\sin C) $$，且$$ \cos(\sin A) $$递减，$$ \sin(\sin C) $$递增，因此$$ A $$和$$ C $$的关系需要进一步分析。通过数值模拟或函数图像可知，可能成立的情况是$$ c > a > b $$或$$ a > c > b $$。因此选项②④（B）可能成立。

5. 解析：在三角形$$ ABC $$中，$$ A + B + C = \pi $$，因此： - $$ A + B = \pi - C $$， - $$ \cos(A + B) = \cos(\pi - C) = -\cos C $$（A错误）， - $$ \sin(A + B) = \sin(\pi - C) = \sin C $$（B错误）， - $$ \tan(A + C) = \tan(\pi - B) = -\tan B $$（C错误）， - $$ \sin\left(\frac{B + C}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi - A}{2}\right) = \cos\left(\frac{A}{2}\right) $$（D正确）。故选D。

6. 解析：已知$$ \tan \theta = 2 $$，要求$$ \cos^2\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) $$。利用余弦平方公式： $$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $$，因此： $$ \cos^2\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \cos\left(2\theta + \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \frac{1 - \sin 2\theta}{2} $$。由$$ \tan \theta = 2 $$，可得： $$ \sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{4}{5} $$。因此结果为： $$ \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1}{10} $$。故选D。

7. 解析：逐项分析： - A：增函数的导数不一定大于0（如$$ f(x) = x^3 $$在$$ x=0 $$处导数为0），错误。 - B：复数无法比较大小，错误。 - C：$$ \cos A > 0 $$仅说明$$ A $$为锐角，不能推出整个三角形为锐角三角形，错误。 - D：在锐角三角形中，$$ \alpha + \beta > \frac{\pi}{2} $$，因此$$ \alpha > \frac{\pi}{2} - \beta $$，由于$$ \sin $$在$$ (0, \frac{\pi}{2}) $$递增，故$$ \sin \alpha > \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \cos \beta $$，正确。故选D。

8. 解析：计算$$ 4 \cos 50^\circ - \tan 40^\circ $$。利用三角恒等变换： $$ \tan 40^\circ = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} $$，因此： $$ 4 \cos 50^\circ - \tan 40^\circ = 4 \sin 40^\circ - \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \sin 40^\circ \left(4 - \frac{1}{\cos 40^\circ}\right) $$。进一步化简： $$ 4 \cos 50^\circ - \tan 40^\circ = \frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ - \sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\sin 40^\circ (4 \cos 40^\circ - 1)}{\cos 40^\circ} $$。通过数值计算或近似估算，结果为$$ \sqrt{3} $$。故选B。

9. 解析：已知$$ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = -\frac{1}{4} $$，且$$ \alpha \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right) $$。利用积化和差公式： $$ \cos x \cos y = \frac{1}{2} [\cos(x + y) + \cos(x - y)] $$，因此： $$ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2} \left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\right] = \frac{1}{2} \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{4} $$，解得： $$ \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $$。由于$$ \alpha \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right) $$，$$ 2\alpha - \frac{\pi}{6} \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\right) $$，因此： $$ 2\alpha - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $$，解得： $$ \alpha = \frac{5\pi}{12} $$。故选D。

10. 解析：题目定义“V类三角形”满足$$ \frac{\cos A}{\sin A_1} = \frac{\cos B}{\sin B_1} = \frac{\cos C}{\sin C_1} = 1 $$，即$$ \cos A = \sin A_1 $$，$$ \cos B = \sin B_1 $$，$$ \cos C = \sin C_1 $$。由于$$ A_1, B_1, C_1 $$也是三角形的内角，$$ \sin A_1, \sin B_1, \sin C_1 \in (0, 1] $$，因此$$ \cos A, \cos B, \cos C \in (0, 1] $$，即$$ A, B, C \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $$。进一步分析： $$ \cos A = \sin A_1 = \cos\left(\frac{\pi}{2} - A_1\right) $$，因此$$ A = \frac{\pi}{2} - A_1 $$或$$ A = A_1 - \frac{\pi}{2} $$（舍去）。同理： $$ A + A_1 = \frac{\pi}{2} $$， $$ B + B_1 = \frac{\pi}{2} $$， $$ C + C_1 = \frac{\pi}{2} $$。由于$$ A_1 + B_1 + C_1 = \pi $$，因此： $$ A + B + C = \frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2} $$。在锐角三角形中，三个角的和为$$ \pi $$，因此“V类三角形”必须有一个角为$$ \frac{\pi}{4} $$（即$$ 45^\circ $$）。故选B。

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