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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=a^{x-2}+2 ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象过定点$${{P}{，}}$$且角$${{α}}$$的始边与$${{x}}$$轴的正半轴重合，终边过点$${{P}{，}}$$则$$\frac{\operatorname{c o s} ( \frac{1 1 \pi} {2}-\alpha) \mathrm{s i n} ( \frac{9 \pi} {2}+\alpha)} {\operatorname{s i n}^{2} (-\pi-\alpha)}$$等于（）
A
A.$$- \frac2 3$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac{3} {2}$$
2、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '已知某个三角函数值，求其余三角函数值']正确率60.0%已知$${{θ}}$$为第二象限角，且$$\mathrm{t a n} \theta=-2，$$则$$\operatorname{c o s} ( \pi-\theta)=$$（）
A
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
3、['利用诱导公式化简'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%若$$f ( \mathrm{s i n} x )=3-\mathrm{c o s} 2 x$$，则$$f ( \operatorname{c o s} x )=$$（）
C
A.$$3-\operatorname{c o s} 2 x$$
B.$$3-\mathrm{s i n} 2 x$$
C.$$3+\operatorname{c o s} 2 x$$
D.$$3+\mathrm{s i n} 2 x$$
4、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '判断三角形的形状'， '两角和与差的余弦公式']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，若
则$${{△}{A}{B}{C}}$$一定为（）
A
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
5、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的余弦公式']正确率40.0%
）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
6、['利用诱导公式化简'， '角α与-α的三角函数值之间的关系'， '利用诱导公式求值'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的商数关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2}+\theta)+3 \operatorname{c o s} ( \theta-\pi)=\operatorname{s i n} (-\theta)，$$则
）
C
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
7、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%下列能与$$\operatorname{s i n} 4 0^{\circ}$$的值相等的是$${{(}{)}}$$．
A
A.$$\operatorname{c o s} 5 0^{\circ}$$
B.$$\operatorname{s i n} (-4 0^{\circ} )$$
C.$$\operatorname{s i n} 5 0^{\circ}$$
D.$$\operatorname{s i n} 1 6 0^{\circ}$$
8、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%设$$\alpha\in( \pi， 2 \pi)，$$则$$\sqrt{\frac{1-\operatorname{c o s} ( \pi+\alpha)} {2}}$$等于$${{(}{)}}$$
$${}$$
D
A.$$\operatorname{s i n} \frac{\alpha} {2}$$
B.$$\operatorname{c o s} \frac\alpha2$$
C.$$- \operatorname{s i n} {\frac{\alpha} {2}}$$
D.$$- \operatorname{c o s} \frac\alpha2$$
9、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '两角和与差的正弦公式']正确率60.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，角$${{α}}$$的顶点为$${{O}}$$，始边与$${{x}}$$轴正半轴重合，终边过点$$(-\sqrt{2}，-\sqrt{1 4} )$$，则$$\operatorname{s i n} ( \alpha+\frac{5 \pi} {4} )=$$
D
A.$$\frac{1-\sqrt{7}} {4}$$
B.$$- \frac{1+\sqrt{7}} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}-1} {4}$$
D.$$\frac{1+\sqrt{7}} {4}$$
10、['余弦定理及其应用'， '三角恒等变换综合应用'， '正弦定理及其应用'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '两角和与差的正弦公式'， '同角三角函数基本关系的综合应用']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{s i n} A+2 \operatorname{s i n} B \operatorname{c o s} C=0， ~ \sqrt{3} b=c$$，则$${{t}{a}{n}{A}}$$的值是（）
A
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
1. 首先确定函数 $$f(x) = a^{x-2} + 2$$ 的定点 $$P$$。当 $$x = 2$$ 时，$$f(2) = a^0 + 2 = 3$$，所以 $$P(2, 3)$$。角 $$\alpha$$ 的终边过点 $$P$$，因此 $$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$$，$$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$$。
计算表达式：$$\frac{\cos \left( \frac{11\pi}{2} - \alpha \right) \sin \left( \frac{9\pi}{2} + \alpha \right)}{\sin^2 (-\pi - \alpha)}$$。
化简分子：$$\cos \left( \frac{11\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \left( 6\pi - \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = -\sin \alpha$$。
$$\sin \left( \frac{9\pi}{2} + \alpha \right) = \sin \left( 4\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha$$。
化简分母：$$\sin^2 (-\pi - \alpha) = \sin^2 (\pi + \alpha) = \sin^2 \alpha$$。
所以原式等于 $$\frac{(-\sin \alpha)(\cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\cot \alpha = -\frac{2}{3}$$。
答案为：A。
2. 已知 $$\theta$$ 为第二象限角，且 $$\tan \theta = -2$$，设 $$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$$。
计算 $$\cos (\pi - \theta) = -\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
答案为：A。
3. 已知 $$f(\sin x) = 3 - \cos 2x$$，利用 $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$，得 $$f(\sin x) = 3 - (1 - 2\sin^2 x) = 2 + 2\sin^2 x$$。
所以 $$f(u) = 2 + 2u^2$$，因此 $$f(\cos x) = 2 + 2\cos^2 x = 3 + \cos 2x$$。
答案为：C。
4. 在 $$\triangle ABC$$ 中，若 $$\sin A = \frac{1}{2}$$，则 $$A = 30^\circ$$ 或 $$150^\circ$$。由于 $$150^\circ$$ 为钝角，$$\triangle ABC$$ 可能为钝角三角形。
答案为：A。
5. 计算 $$\sin 20^\circ \cos 10^\circ - \cos 160^\circ \sin 10^\circ$$。
利用 $$\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ$$，原式化为 $$\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ = \sin (20^\circ + 10^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$。
答案为：A。
6. 已知 $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) + 3\cos (\theta - \pi) = \sin (-\theta)$$。
化简得 $$\cos \theta - 3\cos \theta = -\sin \theta$$，即 $$-2\cos \theta = -\sin \theta$$，所以 $$\tan \theta = 2$$。
计算 $$\sin \theta \cos \theta = \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} = \frac{\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{2}{5}$$。
答案为：B。
7. $$\sin 40^\circ$$ 的值与 $$\sin 160^\circ = \sin (180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$$ 不相等；$$\cos 50^\circ = \sin 40^\circ$$。
答案为：A。
8. 化简 $$\sqrt{\frac{1 - \cos (\pi + \alpha)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \left| \cos \frac{\alpha}{2} \right|$$。
由于 $$\alpha \in (\pi, 2\pi)$$，$$\frac{\alpha}{2} \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$$，$$\cos \frac{\alpha}{2} < 0$$，所以结果为 $$-\cos \frac{\alpha}{2}$$。
答案为：D。
9. 角 $$\alpha$$ 的终边过点 $$(-\sqrt{2}, -\sqrt{14})$$，所以 $$\sin \alpha = \frac{-\sqrt{14}}{\sqrt{2 + 14}} = \frac{-\sqrt{14}}{4}$$，$$\cos \alpha = \frac{-\sqrt{2}}{4}$$。
计算 $$\sin \left( \alpha + \frac{5\pi}{4} \right) = \sin \alpha \cos \frac{5\pi}{4} + \cos \alpha \sin \frac{5\pi}{4} = \left( \frac{-\sqrt{14}}{4} \right) \left( \frac{-\sqrt{2}}{2} \right) + \left( \frac{-\sqrt{2}}{4} \right) \left( \frac{-\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{28}}{8} + \frac{2}{8} = \frac{2\sqrt{7} + 2}{8} = \frac{\sqrt{7} + 1}{4}$$。
答案为：D。
10. 在 $$\triangle ABC$$ 中，已知 $$\sin A + 2\sin B \cos C = 0$$ 且 $$\sqrt{3}b = c$$。
利用正弦定理和余弦定理，可以推导出 $$\tan A = \sqrt{3}$$。
答案为：C。