1、['利用诱导公式求值'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {1 2} \right)=-\frac1 3，$$则$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{5 \pi} {1 2} \right)$$的值为（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
2、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '两角和与差的余弦公式'， '两角和与差的正弦公式']正确率40.0%$$\operatorname{s i n} \frac5 4 \pi\operatorname{s i n} \frac7 {1 2} \pi+\operatorname{c o s} \frac{1 1} 4 \pi\operatorname{s i n} \frac{2 5} {1 2} \pi=~ ($$）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
3、['利用诱导公式化简'， '利用诱导公式求值'， '正切函数的诱导公式']正确率60.0%$$\operatorname{t a n} \frac{8 \pi} {3}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
4、['利用诱导公式求值'， '利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，角$${{θ}}$$以$${{O}{x}}$$为始边，终边与单位圆交于点$$( \ \frac{3} {5}， \ \frac{4} {5} )$$，则$$\operatorname{t a n} \， ( \pi+\theta)$$的值为（）
A
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$- \frac{4} {3}$$
D.$$- \frac{3} {4}$$
5、['利用诱导公式求值']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{2} {3}，$$则$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}+\alpha)=~ ($$）
B
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {3}$$
B.$$- \frac2 3$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
6、['利用诱导公式求值'， '两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$\operatorname{c o s} A=\frac{3} {5}$$，且$$\operatorname{s i n} B={\frac{1 2} {1 3}}，$$则$$\operatorname{c o s} C=\alpha$$）
D
A.$$- \frac{3 3} {6 5}$$
B.$$\frac{3 3} {6 5}$$
C.$$\frac{6 3} {6 5}$$
D.$$\frac{6 3} {6 5}$$或$$\frac{3 3} {6 5}$$
7、['利用诱导公式求值'， '辅助角公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\alpha\in( 0， ~ \frac{\pi} {2} )， ~ \operatorname{s i n} \! \alpha-\mathrm{c o s} \alpha=\frac{\sqrt{2}} {2}，$$则$$\operatorname{c o s} ( \alpha+\frac{3 \pi} {4} )=\alpha$$）
A
A.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
8、['利用诱导公式求值'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知角$${{θ}}$$是第二象限角，且满足$$\operatorname{s i n} ( \frac{3 \pi} {2}-\theta)=\frac{1} {2}，$$则$$\operatorname{t a n} {( \pi+\theta)}=$$（）
A
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
9、['利用诱导公式求值'， '特殊角的三角函数值']正确率80.0%$$\operatorname{t a n} \frac{1 3 \pi} {4}$$的值是$${{(}{)}}$$
C
A.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
10、['利用诱导公式求值'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '特殊角的三角函数值']正确率80.0%若点$$P \left( \begin{matrix} {x， \ y} \\ \end{matrix} \right)$$是$${{3}{3}{0}^{∘}}$$角终边上异于原点的一点，则$$\frac{y} {x}$$的值为（）
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
1. 解析：
已知 $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{3} $$，要求 $$ \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{12}\right) $$。
注意到 $$ \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} $$，因此：
$$ \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\alpha - \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\right) = \cos\left(\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) - \frac{\pi}{2}\right) $$
利用余弦的相位差公式 $$ \cos\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\theta $$，得：
$$ \cos\left(\alpha - \frac{5\pi}{12}\right) = \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{3} $$
故选 B。
2. 解析：
计算 $$ \sin\frac{5\pi}{4}\sin\frac{7\pi}{12} + \cos\frac{11\pi}{4}\sin\frac{25\pi}{12} $$。
化简角度：
$$ \sin\frac{5\pi}{4} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \cos\frac{11\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \sin\frac{7\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{12} $$
$$ \sin\frac{25\pi}{12} = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{12}\right) = \sin\frac{\pi}{12} $$
代入原式：
$$ -\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\frac{\pi}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}\right) $$
利用和角公式：
$$ \cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12} = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
因此：
$$ -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$
故选 D。
3. 解析：
计算 $$ \tan\frac{8\pi}{3} $$。
化简角度：
$$ \frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} $$
因此：
$$ \tan\frac{8\pi}{3} = \tan\frac{2\pi}{3} = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\tan\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} $$
故选 D。
4. 解析：
已知角 $$ \theta $$ 终边与单位圆交于点 $$ \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $$，则 $$ \tan(\pi + \theta) $$ 的值为：
$$ \tan(\pi + \theta) = \tan\theta $$
$$ \tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} $$
故选 A。
5. 解析：
已知 $$ \sin\alpha = \frac{2}{3} $$，求 $$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $$。
利用余弦的相位差公式：
$$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha = -\frac{2}{3} $$
故选 B。
6. 解析：
在 $$ \triangle ABC $$ 中，已知 $$ \cos A = \frac{3}{5} $$ 和 $$ \sin B = \frac{12}{13} $$，求 $$ \cos C $$。
由 $$ \cos A = \frac{3}{5} $$，得 $$ \sin A = \frac{4}{5} $$。
由 $$ \sin B = \frac{12}{13} $$，得 $$ \cos B = \pm \frac{5}{13} $$。
由于 $$ A + B + C = \pi $$，$$ \cos C = -\cos(A + B) $$。
若 $$ \cos B = \frac{5}{13} $$：
$$ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} - \frac{48}{65} = -\frac{33}{65} $$
因此 $$ \cos C = \frac{33}{65} $$。
若 $$ \cos B = -\frac{5}{13} $$（舍去，因为 $$ \sin B = \frac{12}{13} $$ 为锐角）：
故选 B。
7. 解析：
已知 $$ \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $$，且 $$ \sin\alpha - \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $$，求 $$ \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{4}\right) $$。
平方两边：
$$ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \frac{1}{2} $$
$$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2} $$
$$ 1 - \sin 2\alpha = \frac{1}{2} $$，得 $$ \sin 2\alpha = \frac{1}{2} $$。
利用余弦和角公式：
$$ \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\alpha \cos\frac{3\pi}{4} - \sin\alpha \sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $$
由 $$ \sin\alpha - \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 和 $$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $$，解得 $$ \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{\sqrt{6}}{2} $$。
因此：
$$ \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = -\frac{\sqrt{12}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$
故选 A。
8. 解析：
已知角 $$ \theta $$ 是第二象限角，且 $$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \frac{1}{2} $$，求 $$ \tan(\pi + \theta) $$。
利用正弦的相位差公式：
$$ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta = \frac{1}{2} $$，因此 $$ \cos\theta = -\frac{1}{2} $$。
由于 $$ \theta $$ 在第二象限，$$ \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $$。
$$ \tan(\pi + \theta) = \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} $$
故选 A。
9. 解析：
计算 $$ \tan\frac{13\pi}{4} $$。
化简角度：
$$ \frac{13\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4} $$
因此：
$$ \tan\frac{13\pi}{4} = \tan\frac{5\pi}{4} = \tan\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \tan\frac{\pi}{4} = 1 $$
故选 C。
10. 解析：
点 $$ P(x, y) $$ 是 $$ 330^\circ $$ 角终边上的一点，求 $$ \frac{y}{x} $$。
$$ 330^\circ $$ 在第四象限，$$ \tan 330^\circ = \tan(360^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$。
因此 $$ \frac{y}{x} = \tan 330^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$。
故选 D。
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