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正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} \left( \alpha+\frac{\pi} {1 2} \right)=-\frac1 3，$$则$$\operatorname{c o s} \left( \alpha-\frac{5 \pi} {1 2} \right)$$的值为（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
2、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数']正确率60.0%在平面直角坐标系中，已知角$${{α}}$$的顶点与原点$${{O}}$$重合，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，将角$${{α}}$$的终边绕点$${{O}}$$按顺时针方向旋转$$\frac{\pi} {2}$$后经过点$$P \left( \frac{3} {5}， \ \frac{4} {5} \right)，$$则$${{c}{o}{s}{α}}$$等于（）
A
A.$$- \frac{4} {5}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$- \frac{3} {5}$$
D.$$\frac{3} {5}$$
3、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率80.0%已知$$\mathrm{c o s} \alpha=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\alpha\right)=$$（）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
D.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
4、['角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值'， '两角和与差的余弦公式'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} ( \pi+\theta)=-\frac{3} {5}， \ \theta$$是第二象限角，$$\operatorname{s i n} \left( \frac{\pi} {2}+\varphi\right)=-\frac{2 \sqrt{5}} {5}， \ \varphi$$是第三象限角，则$$\operatorname{c o s} ( \theta-\varphi)$$的值是（）
B
A.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{1 1 \sqrt{5}} {2 5}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
5、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '给值求值'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率60.0%若$$\operatorname{s i n} \alpha=\frac{1} {3}，$$则$$\operatorname{c o s}^{2} ( \frac{\alpha} {2}+\frac{\pi} {4} )=$$（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$${{0}}$$
6、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '特殊角的三角函数值'， '分段函数求值'， '分段函数的定义']正确率40.0%设$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {\operatorname{s i n} \pi x， x \geq0} \\ {\operatorname{c o s} ( \frac{\pi x} {2}+\frac{\pi} {3} )， x < 0} \\ \end{array} \right.$$则$$f ( f ( \frac{1 5} {2} ) )=\Avarsigma$$）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
7、['由y=sin x 的图像得到y=A sin(wx+φ)（A>0，w>0）的图象变换过程'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%svg异常，非svg图片
A
A.向左平移$$\frac{\pi} {4}$$个单位
B.向右平移$$( 2 \operatorname{s i n} 2，-2 \operatorname{c o s} 2 )$$，个单位
C.向左平移$$\frac{\pi} {1 2}$$个单位
D.向右平移$${{s}{i}{n}{2}}$$个单位
8、['扇形弧长公式'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '利用单位圆定义任意角的三角函数']正确率60.0%在平面直角坐标系中，动点$${{M}}$$在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每$${{1}{2}}$$分钟转动一周$${{.}}$$若点$${{M}}$$的初始位置坐标为$$\left( \frac{1} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} \right)$$，则运动到$${{3}}$$分钟时，动点$${{M}}$$所处位置的坐标是（）
C
A.$$\left( \frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{1} {2} \right)$$
B.$$\left(-\frac{1} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} \right)$$
C.$$\left(-\frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{1} {2} \right)$$
D.$$\left(-\frac{\sqrt{3}} {2}，-\frac{1} {2} \right)$$
9、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%已知$$\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {6}+\alpha) \cdot\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {3}-\alpha)=-\frac{1} {4}， \ \alpha\in( \frac{\pi} {3}， \ \frac{\pi} {2} )，$$则$${{α}{=}{（}}$$）
D
A.$$\frac{7} {6} \pi$$
B.$$- \frac{\pi} {6}$$
C.$$- \frac{\pi} {4}$$
D.$$\frac{5} {1 2} \pi$$
10、['角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '辅助角公式'， '同角三角函数的商数关系'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']正确率40.0%$$\frac{\operatorname{t a n} 1 2^{\circ}-\operatorname{t a n} 6 0^{\circ}} {\operatorname{c o s} 8 4^{\circ} \operatorname{c o s} 6^{\circ}}+1 6 \operatorname{c o s} 2 4^{\circ}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{−}{8}{9}}$$.$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， B， C$$对边分别为$$a， b， c$$，
1. 已知 $$\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{12} \right) = -\frac{1}{3}$$，求 $$\cos \left( \alpha - \frac{5\pi}{12} \right)$$。
设 $$\beta = \alpha + \frac{\pi}{12}$$，则 $$\alpha = \beta - \frac{\pi}{12}$$，代入得：
$$\cos \left( \alpha - \frac{5\pi}{12} \right) = \cos \left( \beta - \frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} \right) = \cos \left( \beta - \frac{\pi}{2} \right) = \sin \beta = \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{12} \right) = -\frac{1}{3}$$
答案：B. $$- \frac{1}{3}$$
2. 角 $$\alpha$$ 的终边顺时针旋转 $$\frac{\pi}{2}$$ 后经过点 $$P \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)$$，求 $$\cos \alpha$$。
旋转后角为 $$\alpha - \frac{\pi}{2}$$，其终边过点 $$P$$，故 $$\cos \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3}{5}$$，$$\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{4}{5}$$。
利用诱导公式：$$\cos \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = \sin \alpha = \frac{3}{5}$$，$$\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \alpha = \frac{4}{5}$$，得 $$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$$。
答案：A. $$- \frac{4}{5}$$
3. 已知 $$\cos \alpha = \frac{1}{3}$$，求 $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right)$$。
利用诱导公式：$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha = \frac{1}{3}$$。
答案：A. $$\frac{1}{3}$$
4. 已知 $$\sin (\pi + \theta) = -\frac{3}{5}$$，$$\theta$$ 在第二象限；$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \varphi \right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，$$\varphi$$ 在第三象限，求 $$\cos (\theta - \varphi)$$。
由 $$\sin (\pi + \theta) = -\sin \theta = -\frac{3}{5}$$，得 $$\sin \theta = \frac{3}{5}$$，$$\theta$$ 在第二象限，故 $$\cos \theta = -\frac{4}{5}$$。
由 $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \varphi \right) = \cos \varphi = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，$$\varphi$$ 在第三象限，故 $$\sin \varphi = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$。
$$\cos (\theta - \varphi) = \cos \theta \cos \varphi + \sin \theta \sin \varphi = \left( -\frac{4}{5} \right) \left( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right) + \left( \frac{3}{5} \right) \left( -\frac{\sqrt{5}}{5} \right) = \frac{8\sqrt{5}}{25} - \frac{3\sqrt{5}}{25} = \frac{5\sqrt{5}}{25} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
答案：B. $$\frac{\sqrt{5}}{5}$$
5. 已知 $$\sin \alpha = \frac{1}{3}$$，求 $$\cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$。
利用半角公式和余弦平方公式：$$\cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1 + \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{2} \right)}{2} = \frac{1 - \sin \alpha}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$$。
答案：C. $$\frac{1}{3}$$
6. 设 $$f(x) = \begin{cases} \sin \pi x, & x \geq 0 \\ \cos \left( \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi}{3} \right), & x < 0 \end{cases}$$，求 $$f \left( f \left( \frac{15}{2} \right) \right)$$。
先计算 $$f \left( \frac{15}{2} \right)$$，由于 $$\frac{15}{2} \geq 0$$，使用第一段：$$f \left( \frac{15}{2} \right) = \sin \left( \pi \cdot \frac{15}{2} \right) = \sin \left( \frac{15\pi}{2} \right) = \sin \left( 7\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$$。
再计算 $$f(1)$$，由于 $$1 \geq 0$$，使用第一段：$$f(1) = \sin (\pi \cdot 1) = \sin \pi = 0$$。
答案：$$0$$，但选项未列出，可能为 D. $$- \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 错误，实际应为 $$0$$。
7. 题目异常，无法解析。
8. 动点 $$M$$ 在单位圆上逆时针匀速圆周运动，初始位置 $$\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$，每 12 分钟一周，求 3 分钟时的坐标。
初始角为 $$\frac{\pi}{3}$$（因为 $$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$，$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$）。
角速度 $$\omega = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$ 弧度/分钟。
3 分钟转过的角度：$$\theta = \omega t = \frac{\pi}{6} \times 3 = \frac{\pi}{2}$$。
总角度：$$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$$。
坐标：$$\left( \cos \frac{5\pi}{6}, \sin \frac{5\pi}{6} \right) = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$$。
答案：C. $$\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$$
9. 已知 $$\cos \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) = -\frac{1}{4}$$，$$\alpha \in \left( \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right)$$，求 $$\alpha$$。
利用积化和差公式：$$\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)]$$。
这里 $$A = \frac{\pi}{6} + \alpha$$，$$B = \frac{\pi}{3} - \alpha$$，则 $$A+B = \frac{\pi}{2}$$，$$A-B = 2\alpha - \frac{\pi}{6}$$。
代入得：$$\frac{1}{2} \left[ \cos \frac{\pi}{2} + \cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{6} \right) \right] = \frac{1}{2} \cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{4}$$。
所以 $$\cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$$。
解得 $$2\alpha - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$ 或 $$\frac{4\pi}{3}$$，但 $$\alpha \in \left( \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right)$$，取 $$2\alpha - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$，得 $$2\alpha = \frac{5\pi}{6}$$，$$\alpha = \frac{5\pi}{12}$$。
答案：D. $$\frac{5\pi}{12}$$
10. 求 $$\frac{\tan 12^{\circ} - \tan 60^{\circ}}{\cos 84^{\circ} \cos 6^{\circ}} + 16 \cos 24^{\circ}$$ 的值。
首先，$$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$$。
注意 $$\cos 84^{\circ} = \sin 6^{\circ}$$，因为 $$\cos 84^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 84^{\circ}) = \sin 6^{\circ}$$。
所以分母为 $$\sin 6^{\circ} \cos 6^{\circ} = \frac{1}{2} \sin 12^{\circ}$$。
分子为 $$\tan 12^{\circ} - \sqrt{3} = \frac{\sin 12^{\circ}}{\cos 12^{\circ}} - \sqrt{3}$$。
因此第一项为：$$\frac{\frac{\sin 12^{\circ}}{\cos 12^{\circ}} - \sqrt{3}}{\frac{1}{2} \sin 12^{\circ}} = 2 \left( \frac{1}{\cos 12^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\sin 12^{\circ}} \right)$$。
整体表达式为：$$2 \left( \frac{1}{\cos 12^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\sin 12^{\circ}} \right) + 16 \cos 24^{\circ}$$。
经过计算（或数值验证），该式等于 0。
答案：C. $$0$$