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正确率80.0%已知$$\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2}+\alpha)=\frac{1} {2}$$，$$\alpha\in(-\frac{\pi} {2}， 0 )$$，则$${{t}{a}{n}{α}}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
2、['利用诱导公式化简'， '角α与-α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%在$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，给出下列$${{4}}$$个式子，其中为常数的是（）
①$$\operatorname{s i n} ( A+B )+\operatorname{s i n} \， C$$；
②$$\operatorname{c o s} ( A+B )+\operatorname{c o s} \， C$$；
③$$\operatorname{s i n} ( 2 A+2 B )+\operatorname{s i n} 2 C$$；
④$$\operatorname{c o s} ( 2 A+2 B )+\operatorname{c o s} 2 C$$.
B
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
3、['三角恒等变换综合应用'， '函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '角α与-α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '三角函数的图象变换']正确率60.0%为得到函数$$y=\operatorname{c o s} ( x-\frac{\pi} {3} )$$的图象，可以将函数$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}}$$的图象$${{(}{)}}$$
C
A.向左平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位
B.向右平移$$\frac{\pi} {3}$$个单位
C.向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位
D.向右平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$个单位
4、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '特殊角的三角函数值']正确率80.0%$$\operatorname{t a n} \frac{5 \pi} {4}=$$（）
D
A.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$
5、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '对数的运算性质'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知$$f ( x )=\operatorname{l n} ( e^{2 x}+1 )+x \mathrm{c o s} 2 x$$，则$$f ( \frac{\pi} {3} )-f (-\frac{\pi} {3} )=$$（）
B
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$${{π}}$$
D.$$\frac{4 \; \pi} {3}$$
7、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与α+k*2π（k∈Z）的三角函数值之间的关系']正确率60.0%$$\operatorname{s i n} (-5 8 5^{\circ} )=$$（）
B
A.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
8、['角α与-α的三角函数值之间的关系']正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} 2 x+6 \operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}-x )$$的最大值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
9、['角α与-α的三角函数值之间的关系']正确率80.0%将函数$$y=3 \operatorname{s i n} {( 2 x+\frac{\pi} {3} )}$$的图象变换为函数$$y=3 \operatorname{c o s} \， ( 2 x+\frac{\pi} {6} )$$的图象，则所作的变换可以是$${{(}{)}}$$
A
A.向左平移$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.向右平移$$\frac{\pi} {3}$$
C.向右平移$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.向右平移$$\frac{5 \pi} {6}$$
10、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '复数三角形式的除法运算及其几何意义'， '共轭复数']正确率80.0%复数$$z_{1}=\frac{\sqrt{3}} {2} ( \operatorname{c o s} ~ \frac{1 1 \pi} {6}+i \operatorname{s i n} ~ \frac{\pi} {6} )， z_{2}=\frac{1} {2} ( \operatorname{s i n} ~ \frac{2 0 2 1 \pi} {6}+i \operatorname{c o s} ~ \frac{\pi} {6} )$$，则复数$$\frac{z_{1}} {z_{2}}$$的共轭复数为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{3} {2}-\frac{\sqrt{3}} {2} i$$
B.$$\frac{3} {2}+\frac{\sqrt{3}} {2} i$$
C.$$\frac{3} {4}-\frac{\sqrt{3}} {4} i$$
D.$$\frac{3} {4}+\frac{\sqrt{3}} {4} i$$
1. 已知 $$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \frac{1}{2}$$，$$\alpha \in \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right)$$，求 $$\tan \alpha$$。
利用诱导公式：$$\sin \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha = \frac{1}{2}$$
由于 $$\alpha \in \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right)$$，$$\cos \alpha > 0$$，$$\sin \alpha < 0$$
计算 $$\sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
因此 $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{ -\frac{\sqrt{3}}{2} }{ \frac{1}{2} } = -\sqrt{3}$$
答案：A
2. 在 $$\triangle ABC$$ 中，判断下列式子是否为常数：
① $$\sin (A + B) + \sin C$$
利用 $$A + B + C = \pi$$，有 $$A + B = \pi - C$$，$$\sin (A + B) = \sin (\pi - C) = \sin C$$
所以 $$\sin (A + B) + \sin C = \sin C + \sin C = 2 \sin C$$，不是常数
② $$\cos (A + B) + \cos C$$
$$\cos (A + B) = \cos (\pi - C) = -\cos C$$
所以 $$\cos (A + B) + \cos C = -\cos C + \cos C = 0$$，是常数
③ $$\sin (2A + 2B) + \sin 2C$$
$$2A + 2B = 2\pi - 2C$$，$$\sin (2A + 2B) = \sin (2\pi - 2C) = -\sin 2C$$
所以 $$\sin (2A + 2B) + \sin 2C = -\sin 2C + \sin 2C = 0$$，是常数
④ $$\cos (2A + 2B) + \cos 2C$$
$$\cos (2A + 2B) = \cos (2\pi - 2C) = \cos 2C$$
所以 $$\cos (2A + 2B) + \cos 2C = \cos 2C + \cos 2C = 2 \cos 2C$$，不是常数
因此②和③是常数
答案：B
3. 为得到函数 $$y = \cos \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$$ 的图象，可以将函数 $$y = \sin x$$ 的图象如何平移
利用 $$\cos \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( x - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$$
所以将 $$y = \sin x$$ 向左平移 $$\frac{\pi}{6}$$ 个单位即可
答案：C
4. 计算 $$\tan \frac{5\pi}{4}$$
$$\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$$，$$\tan \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$$
答案：D
5. 已知 $$f(x) = \ln (e^{2x} + 1) + x \cos 2x$$，求 $$f \left( \frac{\pi}{3} \right) - f \left( -\frac{\pi}{3} \right)$$
观察函数：$$\ln (e^{2x} + 1)$$ 是偶函数，$$x \cos 2x$$ 是奇函数
所以 $$f(x) = \ln (e^{2x} + 1) + x \cos 2x$$，$$f(-x) = \ln (e^{-2x} + 1) - x \cos 2x$$
计算 $$f(x) - f(-x) = [\ln (e^{2x} + 1) - \ln (e^{-2x} + 1)] + 2x \cos 2x$$
化简对数部分：$$\ln \left( \frac{e^{2x} + 1}{e^{-2x} + 1} \right) = \ln \left( \frac{e^{2x} + 1}{\frac{1 + e^{2x}}{e^{2x}}} \right) = \ln (e^{2x}) = 2x$$
所以 $$f(x) - f(-x) = 2x + 2x \cos 2x = 2x (1 + \cos 2x)$$
代入 $$x = \frac{\pi}{3}$$：$$f \left( \frac{\pi}{3} \right) - f \left( -\frac{\pi}{3} \right) = 2 \times \frac{\pi}{3} \times \left( 1 + \cos \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{2\pi}{3} \times \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$
答案：B
7. 计算 $$\sin (-585^\circ)$$
先将角度化为正：$$-585^\circ + 2 \times 360^\circ = 135^\circ$$
所以 $$\sin (-585^\circ) = \sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
答案：B
8. 函数 $$f(x) = \cos 2x + 6 \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right)$$ 的最大值
利用 $$\cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x$$，所以 $$f(x) = \cos 2x + 6 \sin x$$
又 $$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$$，所以 $$f(x) = 1 - 2 \sin^2 x + 6 \sin x$$
令 $$t = \sin x$$，$$t \in [-1, 1]$$，则 $$f(t) = -2t^2 + 6t + 1$$
这是开口向下的二次函数，对称轴 $$t = \frac{6}{4} = 1.5$$，但 $$t \in [-1, 1]$$，所以在 $$t = 1$$ 处取最大值
$$f(1) = -2 + 6 + 1 = 5$$
答案：B
9. 将函数 $$y = 3 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$$ 变换为 $$y = 3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$$
利用 $$\cos \theta = \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right)$$，所以 $$y = 3 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = 3 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} \right) = 3 \sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$$
原函数 $$y = 3 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$$，目标 $$y = 3 \sin \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$$
相位差：$$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$$，所以需向左平移 $$\frac{\pi}{3} / 2 = \frac{\pi}{6}$$ 个单位（因为系数为2）
答案：A
10. 复数 $$z_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$$，$$z_2 = \frac{1}{2} \left( \sin \frac{2021\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6} \right)$$，求 $$\frac{z_1}{z_2}$$ 的共轭复数
先化简 $$z_1$$：$$\cos \frac{11\pi}{6} = \cos \left( 2\pi - \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$
所以 $$z_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} (\sqrt{3} + i) = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{3} + i) = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$$
化简 $$z_2$$：$$\sin \frac{2021\pi}{6} = \sin \left( 336\pi + \frac{5\pi}{6} \right) = \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$$，$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
所以 $$z_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} (1 + i\sqrt{3}) = \frac{1}{4} (1 + i\sqrt{3})$$
计算 $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{ \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i }{ \frac{1}{4} (1 + i\sqrt{3}) } = \frac{3 + \sqrt{3}i}{1 + i\sqrt{3}}$$
分子分母同乘 $$1 - i\sqrt{3}$$：
分子：$$(3 + \sqrt{3}i)(1 - i\sqrt{3}) = 3 - 3i\sqrt{3} + \sqrt{3}i - \sqrt{3}i \cdot i\sqrt{3} = 3 - 2i\sqrt{3} + 3 = 6 - 2i\sqrt{3}$$
分母：$$(1 + i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3}) = 1 + 3 = 4$$
所以 $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{6 - 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$$
共轭复数为 $$\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$$
答案：B