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正确率60.0%下列函数中，对于任意$${{x}{∈}{R}{，}}$$同时满足条件$$f ( x )=f (-x )$$和$$f ( x-\pi)=f ( x )$$的函数是（）
D
A.$$f ( x )=\operatorname{s i n} \! x$$
B.$$f ( x )=\mathrm{s i n} 2 x$$
C.$$f ( x )=\operatorname{c o s} x$$
D.$$f ( x )=\operatorname{c o s} 2 x$$
2、['正切（型）函数的单调性'， '利用诱导公式化简'， '角α与-α的三角函数值之间的关系'， '正弦（型）函数的单调性'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '余弦（型）函数的单调性']正确率40.0%下列不等式中，正确的是（）
D
A.$$\operatorname{t a n} \frac{1 3 \pi} {4} < \operatorname{t a n} \frac{1 3 \pi} {5}$$
B.$$\operatorname{s i n} \frac{\pi} {5} > \operatorname{c o s} ~ ( \slash{-} \frac{\pi} {7} )$$
C.$$\operatorname{s i n} \ ( \pi-1 ) \ < \operatorname{s i n} 1^{\circ}$$
D.$$\operatorname{c o s} \frac{7 \pi} {5} < \operatorname{c o s} ~ ( \b~-\frac{2 \pi} {5} )$$
3、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '特殊角的三角函数值'， '分段函数求值'， '分段函数的定义']正确率40.0%设$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {\operatorname{s i n} \pi x， x \geq0} \\ {\operatorname{c o s} ( \frac{\pi x} {2}+\frac{\pi} {3} )， x < 0} \\ \end{array} \right.$$则$$f ( f ( \frac{1 5} {2} ) )=\Avarsigma$$）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
4、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系']正确率60.0%下列能与$$\operatorname{s i n} 4 0^{\circ}$$的值相等的是$${{(}{)}}$$．
A
A.$$\operatorname{c o s} 5 0^{\circ}$$
B.$$\operatorname{s i n} (-4 0^{\circ} )$$
C.$$\operatorname{s i n} 5 0^{\circ}$$
D.$$\operatorname{s i n} 1 6 0^{\circ}$$
5、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '利用诱导公式求值'， '角α与π/2±α的三角函数值之间的关系'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， \; \; \operatorname{s i n} \alpha)， \; \; \overrightarrow{b}=( 2， \; \; \operatorname{c o s} \alpha)，$$且$$\overrightarrow{a} / / \overrightarrow{b}，$$则$${\frac{\operatorname{c o s} ( \frac{\pi} {2}+\alpha)+\operatorname{c o s} \alpha} {2 \operatorname{c o s} (-\alpha)-\operatorname{s i n} \alpha}}$$的值是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
6、['函数奇偶性的应用'， '角α与-α的三角函数值之间的关系'， '导数与单调性'， '不等式比较大小'， '函数单调性的应用']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}-\mathrm{c o s} x，$$则$$f ( 0. 6 )， f ( 0 )， f (-0. 5 )$$的大小关系是（）
B
A.$$f ( 0 ) < ~ f ( 0. 6 ) < ~ f (-0. 5 )$$
B.$$f ( 0 ) < ~ f (-0. 5 ) < ~ f ( 0. 6 )$$
C.$$f ( 0. 6 ) < ~ f (-0. 5 ) < ~ f ( 0 )$$
D.$$f (-0. 5 ) < ~ f ( 0 ) < ~ f ( 0. 6 )$$
7、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '同角三角函数的平方关系']正确率60.0%已知$$\operatorname{s i n} 8 0^{\circ}=a，$$则$${{c}{o}{s}{{1}{0}{0}^{∘}}}$$的值等于（）
B
A.$${\sqrt {{1}{−}{{a}^{2}}}}$$
B.$${{−}{\sqrt {{1}{−}{{a}^{2}}}}}$$
C.$$- \frac{1} {\sqrt{1-a^{2}}}$$
D.$${{−}{a}}$$
8、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '角α与π±α的三角函数值之间的关系'， '正切函数的诱导公式']正确率60.0%下列等式成立的是（）
C
A.$$\operatorname{c o s} \left(-\frac{\pi} {6} \right)=-\operatorname{c o s} \， \frac{\pi} {6}$$
B.$$\operatorname{s i n} \left(-\frac{5 \pi} {3} \right)=-\mathrm{s i n} \ \frac\pi3$$
C.$$\operatorname{c o s} \left(-\frac{1 1 \pi} {9} \right)=-\operatorname{c o s} \， \frac{2 \pi} {9}$$
D.$$\operatorname{t a n} \frac{1 1 \pi} {6}=\operatorname{t a n} \frac{\pi} {6}$$
9、['角α与-α的三角函数值之间的关系']正确率80.0%要得到函数$$y=\sqrt{2} \mathrm{s i n} x$$的图象，只需将函数$$y=\sqrt{2} \operatorname{c o s} ( 2 x-\frac{\pi} {4} )$$的图象上所有的点$${{(}}$$$${{)}}$$
B
A.横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍$${{(}}$$纵坐标不变$${{)}}$$，再向左平行移动$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$个单位长度
B.横坐标伸长到原来的$${{2}}$$倍$${{(}}$$纵坐标不变$${{)}}$$，再向右平行移动$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度
C.横坐标缩短到原来的$$\frac{1} {2} ($$纵坐标不变$${{)}}$$，再向右平行移动$$\frac{\pi} {4}$$个单位长度
D.横坐标缩短到原来的$$\frac{1} {2} ($$纵坐标不变$${{)}}$$，再向左平行移动$$\begin{array} {c c} {\pi} \\ {\frac{\pi} {8}} \\ \end{array}$$个单位长度
10、['角α与-α的三角函数值之间的关系'， '辅助角公式']正确率60.0%设当$${{x}{=}{θ}}$$时，函数$$f ( x )=2 \operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x$$取得最大值，则$$\operatorname{c o s} \theta=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
D
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
1. 解析：
题目要求函数满足两个条件：偶函数性质 $$f(x) = f(-x)$$ 和周期性 $$f(x-\pi) = f(x)$$。
分析选项：
- A. $$f(x) = \sin x$$ 是奇函数，不满足偶函数条件。
- B. $$f(x) = \sin 2x$$ 是奇函数，不满足偶函数条件。
- C. $$f(x) = \cos x$$ 是偶函数，但周期为 $$2\pi$$，不满足 $$f(x-\pi) = f(x)$$。
- D. $$f(x) = \cos 2x$$ 是偶函数，且周期为 $$\pi$$，满足 $$f(x-\pi) = f(x)$$。
正确答案：D
2. 解析：
逐一分析选项：
- A. $$\tan \frac{13\pi}{4} = \tan \frac{\pi}{4} = 1$$，$$\tan \frac{13\pi}{5} = \tan \frac{3\pi}{5} < 0$$，故 $$\tan \frac{13\pi}{4} > \tan \frac{13\pi}{5}$$，A错误。
- B. $$\sin \frac{\pi}{5} \approx 0.5878$$，$$\cos \left(-\frac{\pi}{7}\right) = \cos \frac{\pi}{7} \approx 0.9009$$，故 $$\sin \frac{\pi}{5} < \cos \left(-\frac{\pi}{7}\right)$$，B错误。
- C. $$\sin (\pi - 1) = \sin 1 \approx 0.8415$$，$$\sin 1^\circ \approx 0.0175$$，故 $$\sin (\pi - 1) > \sin 1^\circ$$，C错误。
- D. $$\cos \frac{7\pi}{5} = \cos \left(2\pi - \frac{3\pi}{5}\right) = \cos \frac{3\pi}{5} < 0$$，$$\cos \left(-\frac{2\pi}{5}\right) = \cos \frac{2\pi}{5} > 0$$，故 $$\cos \frac{7\pi}{5} < \cos \left(-\frac{2\pi}{5}\right)$$，D正确。
正确答案：D
3. 解析：
计算 $$f\left(\frac{15}{2}\right)$$：
$$\frac{15}{2} \geq 0$$，故 $$f\left(\frac{15}{2}\right) = \sin \left(\pi \cdot \frac{15}{2}\right) = \sin \left(7\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$。
再计算 $$f(f\left(\frac{15}{2}\right)) = f(1) = \sin \pi \cdot 1 = 0$$。
但题目选项中没有 $$0$$，可能是题目描述有误或选项不全。
重新检查题目描述，发现可能为 $$f(f\left(\frac{15}{2}\right))$$ 的另一种计算方式。
若 $$f\left(\frac{15}{2}\right) = \sin \left(\frac{15\pi}{2}\right) = \sin \left(7\pi + \frac{\pi}{2}\right) = -1$$，则 $$f(-1) = \cos \left(\frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。
正确答案：B
4. 解析：
分析选项：
- A. $$\cos 50^\circ = \sin 40^\circ$$，与 $$\sin 40^\circ$$ 相等。
- B. $$\sin (-40^\circ) = -\sin 40^\circ$$，不相等。
- C. $$\sin 50^\circ \neq \sin 40^\circ$$。
- D. $$\sin 160^\circ = \sin 20^\circ \neq \sin 40^\circ$$。
正确答案：A
5. 解析：
由 $$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}$$，得 $$\frac{1}{2} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$，即 $$\tan \alpha = \frac{1}{2}$$。
化简表达式：
$$\frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) + \cos \alpha}{2 \cos (-\alpha) - \sin \alpha} = \frac{-\sin \alpha + \cos \alpha}{2 \cos \alpha - \sin \alpha}$$
将 $$\tan \alpha = \frac{1}{2}$$ 代入，设 $$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$，$$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$：
$$\frac{-\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}}}{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{3}$$
正确答案：C
6. 解析：
计算函数值：
- $$f(0) = 0^2 - \cos 0 = -1$$
- $$f(0.6) = (0.6)^2 - \cos 0.6 \approx 0.36 - 0.8253 \approx -0.4653$$
- $$f(-0.5) = (-0.5)^2 - \cos (-0.5) \approx 0.25 - 0.8776 \approx -0.6276$$
比较大小：$$f(-0.5) < f(0) < f(0.6)$$
正确答案：D
7. 解析：
已知 $$\sin 80^\circ = a$$，则 $$\cos 100^\circ = \cos (180^\circ - 80^\circ) = -\cos 80^\circ$$。
由 $$\sin^2 80^\circ + \cos^2 80^\circ = 1$$，得 $$\cos 80^\circ = \sqrt{1 - a^2}$$。
因此，$$\cos 100^\circ = -\sqrt{1 - a^2}$$。
正确答案：B
8. 解析：
逐一分析选项：
- A. $$\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6}$$，不等于 $$-\cos \frac{\pi}{6}$$，错误。
- B. $$\sin \left(-\frac{5\pi}{3}\right) = -\sin \frac{5\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3}$$，不等于 $$-\sin \frac{\pi}{3}$$，错误。
- C. $$\cos \left(-\frac{11\pi}{9}\right) = \cos \frac{11\pi}{9} = -\cos \frac{2\pi}{9}$$，正确。
- D. $$\tan \frac{11\pi}{6} = -\tan \frac{\pi}{6}$$，不等于 $$\tan \frac{\pi}{6}$$，错误。
正确答案：C
9. 解析：
目标函数为 $$y = \sqrt{2} \sin x$$，原函数为 $$y = \sqrt{2} \cos \left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$$。
通过变换步骤：
- 横坐标伸长到原来的 $$2$$ 倍，得到 $$y = \sqrt{2} \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$。
- 向左平移 $$\frac{\pi}{4}$$ 个单位，得到 $$y = \sqrt{2} \cos x$$。
- 利用 $$\cos x = \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$，再向左平移 $$\frac{\pi}{2}$$ 个单位，得到 $$y = \sqrt{2} \sin x$$。
但选项描述不完全匹配，最接近的是选项 A。
正确答案：A
10. 解析：
函数 $$f(x) = 2 \sin x - \cos x$$ 可表示为 $$f(x) = \sqrt{5} \sin (x - \alpha)$$，其中 $$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$$，$$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$。
当 $$x = \theta$$ 时取得最大值，故 $$\theta - \alpha = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$，即 $$\theta = \alpha + \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$。
因此，$$\cos \theta = \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$。
正确答案：D