正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中,已知$${{A}_{n}{,}{{B}_{n}}}$$是圆$$x^{2}+y^{2}=n^{2}$$上两个动点,且满足$$\overrightarrow{O A_{n}} \cdot\overrightarrow{O B_{n}}=-\frac{n^{2}} {2} \, \, ( n \in{\bf N}^{*} )$$,设$${{A}_{n}{,}{{B}_{n}}}$$到直线$$x+\sqrt{3} y+n ( n+1 )=0$$的距离之和的最大值为$${{a}_{n}}$$,若数列$$\{\frac{1} {a_{n}} \}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}{<}{m}}$$恒成立,则实数$${{m}}$$的取值范围是()
B
A.$$( \frac{3} {4}, ~+\infty)$$
B.$$[ \frac{3} {4}, ~+\infty)$$
C.$$( \frac{3} {2}, ~+\infty)$$
D.$$[ \frac{3} {2}, ~+\infty)$$
2、['等比数列的通项公式', '等比数列前n项和的应用', '数列与不等式的综合问题']正确率19.999999999999996%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{,}}$$且$$S_{n+1}+1=4 a_{n} ( n \in{\bf N}^{*} ),$$则使得不等式$$a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{m+k}-a_{m+1} S_{k} < 2 0 2 3 ( k \in\bf{N}^{*} )$$成立的正整数$${{m}}$$的最大值为()
C
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{2}}$$
3、['数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=\frac{1} {2}$$,$$\frac{n+1} {n} a_{n+1}$$$$= \frac{a_{n}} {n a_{n}+1} ( n \in{\bf N}^{*} ),$$若不等式$$\frac{9} {n^{2}}+\frac{1} {n}+\lambda a_{n} \ge0$$对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$都成立,则实数$${{λ}}$$的取值范围是()
A
A.$$[-1 6, ~+\infty)$$
B.$$[-2 0, ~+\infty)$$
C.$$[-1 0, ~+\infty)$$
D.$$[-1 8, ~+\infty)$$
4、['数列的前n项和', '利用基本不等式求最值', '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=2^{n+1}-2,$$若对任意$$n \in{\bf N}^{*}, ~ \lambda a_{n} \leqslant4+S_{2 n}$$恒成立,则实数$${{λ}}$$的最大值是()
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
5、['数列的递推公式', '数列与不等式的综合问题', '不等式的性质']正确率60.0%嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$:$$b_{1}=1+\frac{1} {\alpha_{1}}$$,$$b_{2}=1+\frac{1} {\alpha_{1}+\frac{1} {\alpha_{2}}}$$,$$b_{3}=1+\frac{1} {\alpha_{1}+\frac{1} {\alpha_{2}+\frac{1} {\alpha_{3}}}}$$,$${{…}}$$,依此类推,其中$$\alpha_{k} \in\mathbf{N}^{*} ( k=1, 2, \cdots)$$.则()
D
A.$${{b}_{1}{<}{{b}_{5}}}$$
B.$${{b}_{3}{<}{{b}_{8}}}$$
C.$${{b}_{6}{<}{{b}_{2}}}$$
D.$${{b}_{4}{<}{{b}_{7}}}$$
6、['数列与不等式的综合问题']正确率19.999999999999996%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{2}-\frac1 2 a_{1} < a_{3}-\frac1 2 a_{2} < \cdots$$$$< a_{n}-\frac1 2 a_{n-1} < \dots.$$,则称数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为$${{“}}$$半差递增$${{”}}$$数列$${{.}}$$已知$${{“}}$$半差递增$${{”}}$$数列$${{\{}{{c}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$满足$$S_{n}+2 c_{n}=2 t-1 \, ( n \in{\bf N}^{*} )$$,则实数$${{t}}$$的取值范围是()
A
A.$$\left(-\infty, \frac{1} {2} \right)$$
B.$$(-\infty, 1 )$$
C.$$\left( \frac1 2,+\infty\right)$$
D.$$( 1,+\infty)$$
7、['数列的递推公式', '数列的函数特征', '其他方法求数列通项', '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和,$${{S}_{n}{=}{{n}^{2}}}$$,若存在唯一的正整数$${{n}}$$使得不等式$$a_{n}^{2}-\frac t 2 a_{n}-t^{2}-\frac t 2-1 \leqslant0$$成立,则实数$${{t}}$$的取值范围为()
D
A.$$[-1, ~ 0 ]$$
B.$$(-4, \ 0 ]$$
C.$$( \mathrm{\it~-4, \mathrm{\bf~ 2}} )$$
D.$$( ~-4, ~-1 ] \cup[ 0, ~ 2 )$$
8、['等差数列的通项公式', '裂项相消法求和', '导数中不等式恒成立与存在性问题', '利用基本不等式求最值', '数列与不等式的综合问题', '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$,且$$S_{3}=1 5, \; a_{7}+a_{9}=3 4$$,数列$$\{\frac{1} {a_{n} a_{n+1}} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$,且对于任意的$$n \in N^{*}, \ T_{n} < \frac{a_{n}+1 1} {t}$$,则实数$${{t}}$$的取值范围为()
B
A.$$( 0, 1 6 2 ]$$
B.$$( 0, 1 6 2 )$$
C.$$(-\infty, 1 6 2 ]$$
D.$$(-\infty, 1 6 2 )$$
9、['数列的前n项和', '数列的递推公式', '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1, \, \, a_{n+1} a_{n}=a_{n}^{2}+2 a_{n}+1$$,则使得$$| \sqrt{a_{2 0 2 0}}-m |$$最小的整数$${{m}}$$是()
B
A.$${{6}{5}}$$
B.$${{6}{4}}$$
C.$${{6}{3}}$$
D.$${{6}{2}}$$
10、['数列的递推公式', '等比数列的通项公式', '分组求和法', '数列与不等式的综合问题']正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}, ~ a_{1}=1,$$$$a_{n}=\left\{\begin{array} {l l} {a_{n-1}+1, n=2 k,} & {} \\ {2 a_{n-1}+1, n=2 k+1,} & {( k \in{\bf N}^{*} )} \\ \end{array} \right.$$.则下列选项不正确的为()
C
A.$${{a}_{6}{=}{{1}{4}}}$$
B.数列$$\{a_{2 k-1}+3 \} ( k \in{\bf N}^{*} )$$是以$${{2}}$$为公比的等比数列
C.对于任意的$$k \in\mathbf{N}^{*}, \, \, a_{2 k}=2^{k+1}-3$$
D.$${{S}_{n}{>}{{1}{0}{0}{0}}}$$的最小正整数$${{n}}$$的值为$${{1}{5}}$$
1. 解析:
2. 解析:
3. 解析:
4. 解析:
5. 解析:
6. 解析:
7. 解析:
8. 解析:
9. 解析:
10. 解析: