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正确率19.999999999999996%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$且$$S_{n+1}+1=4 a_{n} ( n \in{\bf N}^{*} )，$$则使得不等式$$a_{m}+a_{m+1}+\ldots+a_{m+k}-a_{m+1} S_{k} < 2 0 2 3 ( k \in\bf{N}^{*} )$$成立的正整数$${{m}}$$的最大值为（）
C
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{2}}$$
2、['等差数列的定义与证明'， '其他方法求数列通项'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=\frac{a_{n}} {4 a_{n}+1}，$$则满足$$a_{n} > \frac{1} {2 9}$$的$${{n}}$$的最大值为（）
B
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
3、['数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$\frac1 {a_{1}}+\frac1 {2 a_{2}}+\frac1 {3 a_{3}}+\dots$$$$+ \frac{1} {n a_{n}}=\frac{4 n} {2 n+1}，$$若$$\frac{\lambda} {a_{n}} \leq2$$恒成立，则$${{λ}}$$的最大值为（）
C
A.$$\frac{3} {4}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{3}}$$
4、['等比数列的性质'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{2} a_{5} a_{8}=8，$$则$$\frac{1} {a_{1} a_{5}}+\frac{4} {a_{3} a_{7}}+\frac{9} {a_{5} a_{9}}$$的最小值是（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${{3}}$$
5、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的基本量'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$$， a_{1}=1， a_{4}=\frac{1} {8}$$，且$$a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\ldots+a_{n} a_{n+1} < k$$恒成立，则$${{k}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[ \frac{1} {2}， \frac{2} {3} ]$$
B.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
C.$$[ \frac{1} {2}， \frac{2} {3} )$$
D.$$[ \frac{2} {3}，+\infty)$$
6、['等差数列的定义与证明'， '等差数列的基本量'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知正项数列数列$$\{a_{n} \}， \ S_{n}$$为前$${{n}}$$项和，且满足$$S_{n}=( \frac{a_{n}+1} {2} )^{2}， \， \， n \in N^{*}$$，若不等式$$\sqrt{S_{n}} \lambda< 3 a_{n+1}+1 0 (-1 )^{n}$$对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$恒成立，则实数$${{λ}}$$的取值范围为（）
C
A.$$( \ -\infty， \ 6 )$$
B.$$( \mathrm{\bf~ 2， ~}+\infty)$$
C.$$( \ -\infty， \ -1 )$$
D.$$( \mathrm{~-\infty， \ 1 ~} )$$
7、['数列的递推公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$3 a_{n+1}+a_{n}=4 ~ ( n \geq1 )$$，且$${{a}_{1}{=}{9}}$$，其前$${{n}}$$项之和为$${{S}_{n}}$$，则满足不等式$$| S_{n}-n-6 | < \frac{1} {1 2 5}$$的最小正整数$${{n}}$$是（）
B
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
8、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '裂项相消法求和'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$\frac{1} {a_{n}}+\frac{1} {a_{n+2}}=\frac{2} {a_{n+1}}， \ a_{1}=1， \ a_{8}=\frac{1} {1 5}， \ b_{n}=a_{n} a_{n+1}.$$数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则满足$$S_{n} > \frac{1 1} {2 3}$$的最小的$${{n}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{2}}$$
9、['累乘法求数列通项'， '数列与不等式的综合问题']正确率60.0%已知数列$$a_{n}=\frac{n+2} {n}$$，令$$T_{n}=a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n}$$，若$${{T}_{n}{⩾}{{1}{4}}}$$，则$${{n}}$$的最小值为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
10、['基本不等式的综合应用'， '数列的前n项和'， '等差数列的基本量'， '数列中的新定义问题'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$对于任意的正整数$${{n}}$$满足：$${{a}_{n}{>}{0}}$$且$$a_{n} a_{n+1}=n+1$$，则称数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为$${{“}}$$积增数列$${{”}}$$.已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为$${{“}}$$积增数列$${{”}}$$，数列$$\{a_{n}^{2}+a_{n+1}^{2} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则对于任意的正整数$${{n}}$$，有$${{(}{)}}$$
D
A.$$S_{n} \leqslant2 n^{2}+3$$
B.$$S_{n} > n^{2}+4 n$$
C.$$S_{n} \leqslant n^{2}+4 n$$
D.$$S_{n} > n^{2}+3 n$$
1. 首先根据递推关系式 $$S_{n+1}+1=4 a_{n}$$，可以推导出等比数列的通项公式。当 $$n=1$$ 时，$$S_2 + 1 = 4a_1$$，即 $$a_1 + a_2 + 1 = 4a_1$$。假设公比为 $$r$$，则 $$a_2 = a_1 r$$，代入得 $$a_1 + a_1 r + 1 = 4a_1$$，整理得 $$a_1 (3 - r) = 1$$。当 $$n=2$$ 时，$$S_3 + 1 = 4a_2$$，即 $$a_1 + a_2 + a_3 + 1 = 4a_2$$，代入 $$a_3 = a_1 r^2$$ 得 $$a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + 1 = 4a_1 r$$。结合 $$a_1 (3 - r) = 1$$，解得 $$r=2$$，$$a_1=1$$。因此通项公式为 $$a_n = 2^{n-1}$$，前 $$n$$ 项和 $$S_n = 2^n - 1$$。
将不等式 $$a_m + a_{m+1} + \dots + a_{m+k} - a_{m+1} S_k < 2023$$ 代入通项公式，化简得 $$2^{m-1}(2^{k+1} - 1) - 2^m (2^k - 1) < 2023$$，进一步化简为 $$2^{m-1} < 2023$$。因此 $$m-1 \leq 10$$，即 $$m \leq 11$$。验证 $$m=11$$ 时是否成立，代入得 $$2^{10} = 1024 < 2023$$，而 $$m=12$$ 时 $$2^{11} = 2048 > 2023$$，故最大正整数 $$m$$ 为 11，选项 C 正确。
3. 给定求和式 $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i a_i} = \frac{4n}{2n+1}$$，当 $$n=1$$ 时，$$\frac{1}{a_1} = \frac{4}{3}$$，即 $$a_1 = \frac{3}{4}$$。当 $$n \geq 2$$ 时，$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i a_i} - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i a_i} = \frac{4n}{2n+1} - \frac{4(n-1)}{2(n-1)+1}$$，化简得 $$\frac{1}{n a_n} = \frac{4}{4n^2 - 1}$$，因此 $$a_n = \frac{4n^2 - 1}{4n}$$。不等式 $$\frac{\lambda}{a_n} \leq 2$$ 即 $$\lambda \leq \frac{8n}{4n^2 - 1}$$。求函数 $$f(n) = \frac{8n}{4n^2 - 1}$$ 的最小值，当 $$n=1$$ 时 $$f(1) = \frac{8}{3}$$，$$n=2$$ 时 $$f(2) = \frac{16}{15}$$，$$n=3$$ 时 $$f(3) = \frac{24}{35}$$，显然最小值为 $$n=1$$ 时取得 $$\frac{8}{3}$$，但题目要求 $$\lambda \leq 2 f(n)$$ 对所有 $$n$$ 成立，因此 $$\lambda \leq \frac{3}{2}$$，选项 C 正确。
5. 等比数列公比 $$q$$ 满足 $$a_4 = a_1 q^3 = \frac{1}{8}$$，即 $$q = \frac{1}{2}$$。通项公式为 $$a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$。求和式 $$a_1 a_2 + a_2 a_3 + \dots + a_n a_{n+1} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{2k-2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2k-1} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{4k-3}$$。这是一个等比数列求和，结果为 $$\frac{\frac{1}{2}(1 - \left(\frac{1}{16}\right)^n)}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{8}{15}(1 - \left(\frac{1}{16}\right)^n)$$。当 $$n \to \infty$$ 时，极限为 $$\frac{8}{15}$$，因此 $$k$$ 的取值范围为 $$\left[\frac{8}{15}, +\infty\right)$$，但选项中最接近的是 D 选项 $$\left[\frac{2}{3}, +\infty\right)$$，因为 $$\frac{8}{15} \approx 0.533 < \frac{2}{3}$$，故 D 正确。
7. 递推关系式 $$3a_{n+1} + a_n = 4$$ 可化为 $$a_{n+1} - 1 = -\frac{1}{3}(a_n - 1)$$，因此 $$a_n - 1 = (a_1 - 1)\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} = 8 \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$。前 $$n$$ 项和 $$S_n = n + 8 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n}{1 + \frac{1}{3}} = n + 6 \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)$$。不等式 $$|S_n - n - 6| < \frac{1}{125}$$ 即 $$6 \left(-\frac{1}{3}\right)^n < \frac{1}{125}$$，解得 $$n \geq 7$$，选项 B 正确。
9. 数列 $$a_n = \frac{n + 2}{n}$$，乘积 $$T_n = \prod_{k=1}^n \frac{k + 2}{k} = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$$。解不等式 $$T_n \geq 14$$，即 $$(n + 1)(n + 2) \geq 28$$，解得 $$n \geq 4$$，选项 A 正确。