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正确率60.0%给出命题$${{p}}$$：若$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{B C} > 0$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$为锐角三角形$${{”}}$$；命题$${{q}{：}{“}}$$实数$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$满足$${{b}^{2}{=}{a}{c}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$成等比数列$${{”}}$$.那么下列结论正确的是（）
C
A.$${{p}}$$且$${{q}}$$与$${{p}}$$或$${{q}}$$都为真
B.$${{p}}$$且$${{q}}$$为真而$${{p}}$$或$${{q}}$$为假
C.$${{p}}$$且$${{q}}$$为假且$${{p}}$$或$${{q}}$$为假
D.$${{p}}$$且$${{q}}$$为假且$${{p}}$$或$${{q}}$$为真
2、['数列的前n项和'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$${{S}_{n}{=}{4}{{a}_{n}}{−}{3}{，}}$$则$${{S}_{n}{=}}$$（）
C
A.$$4 \left[ \left( \frac{2} {5} \right)^{n}-1 \right]$$
B.$$4 \left[ \left( \frac{2} {3} \right)^{n}-1 \right]$$
C.$$3 \left[ \left( \frac{4} {3} \right)^{n}-1 \right]$$
D.$${{4}{(}{{3}^{n}}{−}{1}{)}}$$
3、['等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项为$${{7}}$$，且$$a_{n}=\frac{1} {2} a_{n-1}+3 ( n \geqslant2 )$$，则$${{a}_{6}{=}{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{1 9 3} {3 2}$$
B.$$\frac{3 8 5} {6 4}$$
C.$$\frac{1 6 1} {3 2}$$
D.$$\frac{9 7} {1 6}$$
4、['数列的递推公式'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{a}{_{n}{\}}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$${{3}{{S}_{n}}{=}{{6}{4}}{−}{{a}_{n}}}$$，若$${{a}_{n}{⋅}{{a}_{k}}{=}{1}{(}{1}{⩽}{m}{<}{k}{，}{m}{，}{k}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$，则$${{k}}$$的取值集合是（）
C
A.$${{\{}{{1}{，}{2}{\}}}}$$
B.$${{\{}{{1}{，}{2}{，}{3}{\}}}}$$
C.$${{\{}{{4}{，}{5}{\}}}}$$
D.$${{\{}{{3}{，}{4}{，}{5}{\}}}}$$
5、['数列的递推公式'， '构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$${{S}_{n}{=}{n}{−}{5}{{a}_{n}}{+}{{2}{3}}{，}{n}{∈}{N}{∗}}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式$${{a}_{n}{=}{（}}$$）
C
A.$$3 \times( \frac{5} {6} )^{n-1}-1$$
B.$$3 \times( \frac{5} {6} )^{n}-1$$
C.$$3 \times( \frac{5} {6} )^{n-1}+1$$
D.$$3 \times( \frac{5} {6} )^{n}+1$$
6、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的各项均为正，记$${{S}_{n}}$$为$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$$a_{n+1}=\frac{2 a_{n}^{2}} {a_{n+1}-a_{n}} ( n \in N^{*} )$$，$${{a}_{1}{=}{1}{，}{则}{{S}_{7}}{=}{(}{)}}$$
C
A.$${{6}{3}}$$
B.$${{6}{4}}$$
C.$${{1}{2}{7}}$$
D.$${{1}{2}{8}}$$
7、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%已知各项均为正数的数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$a_{1}=2 \ldotp\frac{S_{n}} {a_{n+1}}=2 \cdot\frac{a_{n+1}} {S_{n}}-1$$，则$$S_{1 0}=\alpha$$）
B
A.$${{1}{0}{2}{2}}$$
B.$${{1}{0}{2}{4}}$$
C.$${{2}{0}{4}{6}}$$
D.$${{2}{0}{4}{8}}$$
9、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{2}}$$，$$a_{n+1}=2 a_{n}+2$$，则$$a_{2 0 2 0}=$$（）
C
A.$$2^{2 0 1 9}-2$$
B.$$2^{2 0 2 0}-2$$
C.$$2^{2 0 2 1}-2$$
D.$$2^{2 0 2 2}-2$$
10、['等比数列的性质'， '等比数列的定义与证明']正确率80.0%设$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是公比为$${{q}}$$的等比数列，则“$${{q}{>}{1}}$$”是“$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为递增数列”的$${{(}{)}}$$
D
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
1. 解析：
命题$$p$$：若$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} > 0$$，则$$△ABC$$为锐角三角形。
分析：$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\theta)$$，其中$$\theta$$是$$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{BC}$$的夹角。由于$$\theta$$是钝角（因为$$\overrightarrow{AB}$$和$$\overrightarrow{BC}$$方向相反），$$\cos(\theta) < 0$$，所以$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} > 0$$不成立。因此，命题$$p$$为假。
命题$$q$$：若$$b^2 = a c$$，则$$a, b, c$$成等比数列。
分析：$$b^2 = a c$$是等比数列的定义，但前提是$$a, b, c$$均不为零。如果$$a = 0$$或$$c = 0$$，$$b$$也必须为零，此时数列为$$0, 0, 0$$，可以视为等比数列（公比任意）。因此，命题$$q$$为真。
综上：$$p$$且$$q$$为假，$$p$$或$$q$$为真。
正确答案：$$D$$。
2. 解析：
已知$$S_n = 4 a_n - 3$$。
当$$n = 1$$时，$$S_1 = a_1 = 4 a_1 - 3$$，解得$$a_1 = 1$$。
当$$n \geq 2$$时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = 4 a_n - 4 a_{n-1}$$，整理得$$3 a_n = 4 a_{n-1}$$，即$$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{4}{3}$$。
因此，数列$$\{a_n\}$$是首项为$$1$$，公比为$$\frac{4}{3}$$的等比数列，通项公式为$$a_n = \left( \frac{4}{3} \right)^{n-1}$$。
前$$n$$项和$$S_n = \frac{1 \cdot \left[ \left( \frac{4}{3} \right)^n - 1 \right]}{\frac{4}{3} - 1} = 3 \left[ \left( \frac{4}{3} \right)^n - 1 \right]$$。
正确答案：$$C$$。
3. 解析：
已知$$a_n = \frac{1}{2} a_{n-1} + 3$$，且$$a_1 = 7$$。
设$$a_n + k = \frac{1}{2} (a_{n-1} + k)$$，解得$$k = -6$$。
因此，$$a_n - 6 = \frac{1}{2} (a_{n-1} - 6)$$，数列$$\{a_n - 6\}$$是首项为$$1$$，公比为$$\frac{1}{2}$$的等比数列。
通项公式为$$a_n - 6 = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$$，即$$a_n = 6 + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$$。
当$$n = 6$$时，$$a_6 = 6 + \left( \frac{1}{2} \right)^5 = 6 + \frac{1}{32} = \frac{193}{32}$$。
正确答案：$$A$$。
4. 解析：
已知$$3 S_n = 64 - a_n$$。
当$$n = 1$$时，$$3 S_1 = 64 - a_1$$，即$$3 a_1 = 64 - a_1$$，解得$$a_1 = 16$$。
当$$n \geq 2$$时，$$3 S_n = 64 - a_n$$，$$3 S_{n-1} = 64 - a_{n-1}$$，两式相减得$$3 a_n = a_{n-1} - a_n$$，即$$4 a_n = a_{n-1}$$。
因此，数列$$\{a_n\}$$是首项为$$16$$，公比为$$\frac{1}{4}$$的等比数列，通项公式为$$a_n = 16 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} = 4^{3 - n}$$。
若$$a_n \cdot a_k = 1$$，则$$4^{3 - n} \cdot 4^{3 - k} = 4^{6 - n - k} = 1$$，即$$6 - n - k = 0$$，$$n + k = 6$$。
由于$$1 \leq n < k$$，可能的组合为$$(1, 5)$$、$$(2, 4)$$。
因此，$$k$$的取值集合为$$\{4, 5\}$$。
正确答案：$$C$$。
5. 解析：
已知$$S_n = n - 5 a_n + 23$$。
当$$n = 1$$时，$$S_1 = a_1 = 1 - 5 a_1 + 23$$，解得$$a_1 = 4$$。
当$$n \geq 2$$时，$$S_n = n - 5 a_n + 23$$，$$S_{n-1} = (n - 1) - 5 a_{n-1} + 23$$，两式相减得$$a_n = 1 - 5 a_n + 5 a_{n-1}$$，整理得$$6 a_n = 5 a_{n-1} + 1$$。
设$$a_n + k = \frac{5}{6} (a_{n-1} + k)$$，解得$$k = -1$$。
因此，$$a_n - 1 = \frac{5}{6} (a_{n-1} - 1)$$，数列$$\{a_n - 1\}$$是首项为$$3$$，公比为$$\frac{5}{6}$$的等比数列。
通项公式为$$a_n - 1 = 3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1}$$，即$$a_n = 1 + 3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1}$$。
正确答案：$$C$$。
6. 解析：
已知$$a_{n+1} = \frac{2 a_n^2}{a_{n+1} - a_n}$$，整理得$$a_{n+1}^2 - a_n a_{n+1} - 2 a_n^2 = 0$$。
因式分解得$$(a_{n+1} - 2 a_n)(a_{n+1} + a_n) = 0$$，由于$$a_n > 0$$，故$$a_{n+1} = 2 a_n$$。
因此，数列$$\{a_n\}$$是首项为$$1$$，公比为$$2$$的等比数列，通项公式为$$a_n = 2^{n-1}$$。
前$$7$$项和为$$S_7 = \frac{1 \cdot (2^7 - 1)}{2 - 1} = 127$$。
正确答案：$$C$$。
7. 解析：
已知$$\frac{S_n}{a_{n+1}} = 2 \cdot \frac{a_{n+1}}{S_n} - 1$$，整理得$$S_n^2 + S_n a_{n+1} - 2 a_{n+1}^2 = 0$$。
因式分解得$$(S_n + 2 a_{n+1})(S_n - a_{n+1}) = 0$$，由于$$S_n > 0$$，故$$S_n = a_{n+1}$$。
又$$a_{n+1} = S_n = S_{n-1} + a_n = a_n + a_n = 2 a_n$$。
因此，数列$$\{a_n\}$$是首项为$$2$$，公比为$$2$$的等比数列，通项公式为$$a_n = 2^n$$。
前$$10$$项和为$$S_{10} = \frac{2 \cdot (2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2046$$。
正确答案：$$C$$。
9. 解析：
已知$$a_{n+1} = 2 a_n + 2$$，且$$a_1 = 2$$。
设$$a_{n+1} + k = 2 (a_n + k)$$，解得$$k = 2$$。
因此，$$a_n + 2 = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$$，即$$a_n = 2^{n+1} - 2$$。
当$$n = 2020$$时，$$a_{2020} = 2^{2021} - 2$$。
正确答案：$$C$$。
10. 解析：
若$$q > 1$$，但$$a_1 < 0$$，则$$\{a_n\}$$为递减数列，故$$q > 1$$不是充分条件。
若$$\{a_n\}$$为递增数列，则$$q > 1$$（当$$a_1 > 0$$）或$$0 < q < 1$$（当$$a_1 < 0$$），故$$q > 1$$是必要条件。
因此，“$$q > 1$$”是“$$\{a_n\}$$为递增数列”的必要而不充分条件。
正确答案：$$B$$。