等比数列的定义与证明-4.3 等比数列知识点课后进阶单选题自测题解析-北京市等高二数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['等差中项'， '等差数列的定义与证明'， '等比中项'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%关于实数$$a， ~ b， ~ c，$$下列说法正确的是（）

A.如果$$a+c=2 b，$$则$$\frac{1} {a}， ~ \frac{1} {b}， ~ \frac{1} {c}$$成等差数列

B.如果$$a+c=2 b，$$则$$2^{a} \，， \， \， 2^{b} \，， \， \， 2^{c}$$成等比数列

C.如果$$a c=b^{2}，$$则$$2^{a} \，， \， \， 2^{b} \，， \， \， 2^{c}$$成等差数列

D.如果$$a c=b^{2}，$$则 $\text{[math]}$ 成等差数列

2、['等比数列的性质'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%在等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝中，若$$a_{1}=1，$$公比为$${{q}{，}}$$前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$则$$\frac1 {a_{1}}+\frac1 {a_{2}}+\frac1 {a_{3}}+\ldots+\frac1 {a_{n}}$$等于（）

A.$$\frac1 {S_{n}}$$

B.$$\frac{1} {q^{n} \， S_{n}}$$

C.$$\frac{S_{n}} {q^{n-1}}$$

D.$$\frac{q^{n}} {S_{n}}$$

3、['等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$3 a_{n+1}+a_{n}=0， \ a_{3}=\frac{4} {9}$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{8}}$$项和等于（）

A.$$- 6 ~ ( 1-3^{-8} )$$

B.$$\frac{1} {9} ( 1-3^{-8} )$$

C.$$3 \， ( \， 1-3^{-8} \， )$$

D.$$3 \， ( 1+3^{-8} )$$

4、['等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项为$${{7}}$$，且$$a_{n}=\frac{1} {2} a_{n-1}+3 ( n \geqslant2 )$$，则$$a_{6}=( \eta)$$

A.$$\frac{1 9 3} {3 2}$$

B.$$\frac{3 8 5} {6 4}$$

C.$$\frac{1 6 1} {3 2}$$

D.$$\frac{9 7} {1 6}$$

5、['等差数列的定义与证明'， '等比数列的定义与证明'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率40.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公差$$d \neq0， \， \， a_{n} \in R$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则对正整数$${{m}}$$，下列四个结论中：
$\text{[math]}$ 成等差数列，也可能成等比数列；
$$( 2 ) \， \， S_{m}， \， \， S_{2 m}-S_{m}， \， \， S_{3 m}-S_{2 m}$$成等差数列，但不可能成等比数列；
$$( 3 ) ~ S_{m}， ~ S_{2 m}， ~ S_{3 m}$$可能成等比数列，但不可能成等差数列；
$$( 4 ) \， \， S_{m}， \， \， S_{2 m}， \， \， S_{3 m}$$不可能成等比数列，也不可能成等差数列；
正确的是（）

A.$$( {\bf1} ) \setminus( {\bf3} )$$

B.$$( 1 ) \setminus( 4 )$$

C.$$( 2 ) \setminus( 3 )$$

D.$$( 2 ) \setminus( 4 )$$

6、['等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量']

正确率60.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}+3 a_{n}=0$$，则$${{a}_{5}{=}{（}}$$）

A.$${{−}{{2}{7}}}$$

B.$${{2}{7}}$$

C.$${{−}{{8}{1}}}$$

D.$${{8}{1}}$$

7、['等差数列的定义与证明'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n}=q^{n}， ( q > 0， n \in N^{*} )$$，则以下命题正确的是
$$\oplus\， \， \{a_{2 n} \}$$是等比数列；$$\textcircled{2} \left\{\frac{1} {a_{n}} \right\}$$是等比数列；$${③{{\{}{{l}{g}}{{a}_{n}}{\}}}}$$是等差数列；$${④{{\{}{{l}{g}}{{a}^{2}_{n}}{\}}}}$$是等差数列；

A.$${①{③}}$$

B.$${③{④}}$$

C.$${①{②}{③}{④}}$$

D.$${②{③}{④}}$$

8、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$S_{n}=2 a_{n}-2$$，则$$a_{2 0 1 8}$$等于（）

A.$$2^{2 0 2 1}$$

B.$$2^{2 0 2 0}$$

C.$$2^{2 0 1 9}$$

D.$$2^{2 0 1 8}$$

9、['等比数列的通项公式'， '等比中项'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}+a_{2}=2， \， \， a_{4}+a_{5}=4$$，则$$a_{1 0}+a_{1 1}=\alpha$$）

A.$${{8}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{3}{2}}$$

D.$${{6}{4}}$$

10、['数列的递推公式'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%设$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$$2 S_{n}=3 a_{n}-3$$，则$$a_{4}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$${{2}{7}}$$

B.$${{8}{1}}$$

C.$${{9}{3}}$$

D.$${{2}{4}{3}}$$

1. 解析：

选项A：若$$a+c=2b$$，则$$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$$成等差数列的条件是$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$$，但这不一定成立。例如，取$$a=1, b=2, c=3$$，则$$\frac{1}{1} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{2}$$，故A错误。

选项B：若$$a+c=2b$$，则$$2^a, 2^b, 2^c$$成等比数列的条件是$$(2^b)^2 = 2^a \cdot 2^c$$，即$$2^{2b} = 2^{a+c}$$，由$$a+c=2b$$可知成立，故B正确。

选项C：若$$ac=b^2$$，则$$2^a, 2^b, 2^c$$成等差数列的条件是$$2 \cdot 2^b = 2^a + 2^c$$，这不成立，故C错误。

选项D：若$$ac=b^2$$，则$$\log_2 a, \log_2 b, \log_2 c$$成等差数列的条件是$$2\log_2 b = \log_2 a + \log_2 c$$，即$$b^2 = ac$$，与条件一致，故D正确。

综上，正确答案为B、D。

2. 解析：

等比数列$${a_n}$$的通项为$$a_n = q^{n-1}$$，其倒数为$$\frac{1}{a_n} = q^{1-n}$$。求和得：

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^n q^{1-k} = q^0 + q^{-1} + \cdots + q^{1-n} = \frac{1 - q^{-n}}{1 - q^{-1}} = \frac{q^n - 1}{q^n - q^{n-1}} = \frac{S_n}{q^{n-1}}$$，其中$$S_n = \frac{1 - q^n}{1 - q}$$。

故正确答案为C。

3. 解析：

由递推式$$3a_{n+1} + a_n = 0$$可得$$a_{n+1} = -\frac{1}{3}a_n$$，故数列为等比数列，公比$$q = -\frac{1}{3}$$。

已知$$a_3 = \frac{4}{9}$$，则$$a_1 = \frac{a_3}{q^2} = \frac{\frac{4}{9}}{\left(-\frac{1}{3}\right)^2} = 4$$。

前8项和为$$S_8 = a_1 \frac{1 - q^8}{1 - q} = 4 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = 3 \left(1 - 3^{-8}\right)$$。

故正确答案为C。

4. 解析：

递推式为$$a_n = \frac{1}{2}a_{n-1} + 3$$，可设其特解为常数$$C$$，代入得$$C = \frac{1}{2}C + 3$$，解得$$C = 6$$。

齐次方程为$$a_n - 6 = \frac{1}{2}(a_{n-1} - 6)$$，通解为$$a_n - 6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(a_1 - 6) = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$。

故$$a_n = 6 + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$，$$a_6 = 6 + \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{193}{32}$$。

故正确答案为A。

5. 解析：

对于等差数列，$$S_m, S_{2m} - S_m, S_{3m} - S_{2m}$$成等差数列，因为$$S_{2m} - S_m = S_m + m^2 d$$，$$S_{3m} - S_{2m} = S_m + 2m^2 d$$，差值恒定。但除非$$d=0$$（与题意矛盾），否则不可能成等比数列，故(2)正确。

$$S_m, S_{2m}, S_{3m}$$可能成等差数列（如$$a_n = 0$$），但不可能成等比数列，故(3)错误，(4)错误。

综上，正确答案为D。

6. 解析：

递推式为$$a_{n+1} = -3a_n$$，故数列为等比数列，公比$$q = -3$$。

$$a_5 = a_1 \cdot q^4 = 1 \cdot (-3)^4 = 81$$。

故正确答案为D。

7. 解析：

$$a_n = q^n$$，则：

①$$a_{2n} = q^{2n} = (q^2)^n$$，是等比数列；

②$$\frac{1}{a_n} = q^{-n}$$，是等比数列；

③$$\lg a_n = n \lg q$$，是等差数列；

④$$\lg a_n^2 = 2n \lg q$$，是等差数列。

故正确答案为C。

8. 解析：

由$$S_n = 2a_n - 2$$，得$$S_{n-1} = 2a_{n-1} - 2$$，两式相减得$$a_n = 2a_n - 2a_{n-1}$$，即$$a_n = 2a_{n-1}$$。

又$$S_1 = 2a_1 - 2$$，得$$a_1 = 2$$，故$$a_n = 2^n$$。

$$a_{2018} = 2^{2018}$$。

故正确答案为D。

9. 解析：

设公比为$$r$$，则$$a_4 + a_5 = r^3(a_1 + a_2) = 4$$，代入$$a_1 + a_2 = 2$$得$$r^3 = 2$$。

$$a_{10} + a_{11} = r^9(a_1 + a_2) = (r^3)^3 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$$。

故正确答案为B。

10. 解析：

由$$2S_n = 3a_n - 3$$，得$$2S_{n-1} = 3a_{n-1} - 3$$，两式相减得$$2a_n = 3a_n - 3a_{n-1}$$，即$$a_n = 3a_{n-1}$$。

又$$2S_1 = 3a_1 - 3$$，得$$a_1 = 3$$，故$$a_n = 3^n$$。

$$a_4 = 3^4 = 81$$。

故正确答案为B。

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