等比数列的定义与证明-4.3 等比数列知识点考前进阶自测题解析-贵州省等高二数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比模型'， '等比数列的定义与证明'， '递推数列模型']

正确率40.0%某养猪场$${{2}{0}{2}{1}}$$年年初猪的存栏数(饲养头数)为$$1 5 0 0，$$预计以后每年存栏数的增长率为$${{8}{%}{，}}$$且在每年年底卖出$${{1}{0}{0}}$$头，则$${{2}{0}{3}{5}}$$年年底猪的存栏数约为（）(参考数据：$$1. 0 8^{1 4} \approx2. 9， ~ 1. 0 8^{1 5} \approx3. 2， ~ 1. 0 8^{1 6} \approx3. 4 )$$

A.$${{2}{0}{5}{0}}$$

B.$${{2}{1}{5}{0}}$$

C.$${{2}{2}{5}{0}}$$

D.$${{2}{3}{5}{0}}$$

2、['等比数列的定义与证明']

正确率60.0%已知在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是公比$${{q}{≠}{1}}$$的等比数列，则$$\{a_{n}+a_{n+1} \}， \， \， \{a_{n}-a_{n+1} \}， \， \， \{\frac{a_{n}} {a_{n+1}} \}， \， \， \{n a_{n} \}$$这四个数列中，是等比数列的个数有（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

3、['等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$3 a_{n+1}+a_{n}=0， \ a_{3}=\frac{4} {9}$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{8}}$$项和等于（）

A.$$- 6 ~ ( 1-3^{-8} )$$

B.$$\frac{1} {9} ( 1-3^{-8} )$$

C.$$3 \， ( \， 1-3^{-8} \， )$$

D.$$3 \， ( 1+3^{-8} )$$

4、['等比数列的性质'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']

正确率40.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，$$a_{2}=2， \， \， a_{5}=\frac{1} {4}$$，则$$a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\ldots+a_{n} a_{n+1} \， \， ( \， n \in N^{*} \， )$$的取值范围是（）

A.$$[ 1 2， ~ 1 6 ]$$

B.$$[ 8， ~ \frac{3 2} {3} ]$$

C.$$[ 8， ~ ~ \frac{3 2} {3} )$$

D.$$[ \frac{1 6} {3}， \ \frac{3 2} {3} ]$$

5、['构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '分组求和法']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=2 a_{n}+1 \， \， ( \， n \in N^{*} \， ) \， \，， \， \， S_{n}$$为其前$${{n}}$$项和，则$${{S}_{5}}$$的值为（）

A.$${{5}{7}}$$

B.$${{6}{1}}$$

C.$${{6}{2}}$$

D.$${{6}{3}}$$

7、['数列的递推公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1} {=} 1， \， \， a_{n} \cdot a_{n+1} {=} 2^{n} \left( n \in N^{*} \right)$$，则$$S_{2 0 1 9}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$$2^{2 0 1 9}-1$$

B.$$3 \times2^{1 0 1 0}-3$$

C.$$2^{1 0 1 1}-3$$

D.$$3 \times2^{1 0 1 0} \，-2$$

8、['等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明'， '分组求和法']

正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1， \ a_{n+1}=2 a_{n}， \ S_{2 n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\cdots+a_{2 n-1}-a_{2 n}=( \cdot)$$

A.$$\frac{4^{n}-1} {3}$$

B.$${{2}^{n}{−}{1}}$$

C.$${{1}{−}{{2}^{n}}}$$

D.$$\frac{1-4^{n}} {3}$$

9、['等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{2}}$$，且$$a_{n+1}=2 a_{n}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项是$${{(}{)}}$$

A.$$a_{n}=2^{n-1}$$

B.$${{a}_{n}{=}{{2}^{n}}}$$

C.$$a_{n}=2^{n}+1$$

D.$$a_{n}=2^{n+1}$$

10、['等比数列的性质'， '等比数列的定义与证明']

正确率80.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{n}{>}{0}}$$，$$a_{2}=1-a_{1}$$，$$a_{4}=9-a_{3}$$，则$$a_{4}+a_{5}=( \textit{} {} {} ~ {} )$$

A.$${{1}{6}}$$

B.$${{2}{7}}$$

C.$${{3}{6}}$$

D.$${{8}{1}}$$

1. 解析：

初始存栏数为1500头，每年增长8%，年底卖出100头。设第n年的存栏数为$$a_n$$，递推关系为：$$a_{n+1} = 1.08a_n - 100$$。这是一个线性递推关系，其通解为：$$a_n = C \cdot 1.08^n + \frac{100}{0.08}$$。代入初始条件$$a_0 = 1500$$，解得$$C = 1500 - 1250 = 250$$。因此，$$a_n = 250 \cdot 1.08^n + 1250$$。2025年为第15年，代入得：$$a_{15} = 250 \cdot 1.08^{15} + 1250 \approx 250 \cdot 3.2 + 1250 = 2050$$。答案为A。

2. 解析：

设等比数列$${a_n}$$的公比为$$q$$。分析各数列：
1. $$\{a_n + a_{n+1}\}$$：公比为$$q$$，是等比数列。
2. $$\{a_n - a_{n+1}\}$$：公比为$$q$$，是等比数列。
3. $$\{\frac{a_n}{a_{n+1}}\}$$：公比为$$\frac{1}{q}$$，是等比数列。
4. $$\{n a_n\}$$：由于系数$$n$$变化，不是等比数列。
综上，有3个等比数列。答案为C。

3. 解析：

递推关系为$$3a_{n+1} + a_n = 0$$，即$$a_{n+1} = -\frac{1}{3}a_n$$。这是一个等比数列，公比为$$-\frac{1}{3}$$。已知$$a_3 = \frac{4}{9}$$，则$$a_1 = \frac{a_3}{(-\frac{1}{3})^2} = 4$$。前8项和为：$$S_8 = \frac{4(1 - (-\frac{1}{3})^8)}{1 - (-\frac{1}{3})} = 3(1 - 3^{-8})$$。答案为C。

4. 解析：

等比数列$${a_n}$$中，$$a_2 = 2$$，$$a_5 = \frac{1}{4}$$，公比$$q = \sqrt[3]{\frac{a_5}{a_2}} = \frac{1}{2}$$，首项$$a_1 = \frac{a_2}{q} = 4$$。所求和为：$$\sum_{k=1}^n a_k a_{k+1} = a_1^2 q \sum_{k=0}^{n-1} q^{2k} = 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{4})^n}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{32}{3}(1 - 4^{-n})$$。当$$n \to \infty$$时，和趋近于$$\frac{32}{3}$$，且单调递增，范围为$$[8, \frac{32}{3})$$。答案为C。

5. 解析：

递推关系为$$a_{n+1} = 2a_n + 1$$，解为$$a_n = 2^n - 1$$。前5项和为：$$S_5 = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + \cdots + (2^5 - 1) = (2 + 4 + 8 + 16 + 32) - 5 = 62 - 5 = 57$$。答案为A。

7. 解析：

递推关系为$$a_n a_{n+1} = 2^n$$。奇数项和偶数项分别构成等比数列：$$a_1 = 1$$，$$a_3 = 2$$，$$a_5 = 4$$，...；$$a_2 = 2$$，$$a_4 = 4$$，$$a_6 = 8$$，...。前2019项和为：$$S_{2019} = \sum_{k=1}^{1010} a_{2k-1} + \sum_{k=1}^{1009} a_{2k} = (2^{1010} - 1) + 2(2^{1009} - 1) = 3 \times 2^{1010} - 3$$。答案为B。

8. 解析：

递推关系为$$a_{n+1} = 2a_n$$，通项为$$a_n = 2^{n-1}$$。$$S_{2n}$$为交错和：$$S_{2n} = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots + a_{2n-1} - a_{2n} = 1 - 2 + 4 - 8 + \cdots + 2^{2n-2} - 2^{2n-1}$$。这是一个等比数列求和，公比为$$-2$$，和为：$$S_{2n} = \frac{1 - (-2)^{2n}}{1 - (-2)} = \frac{1 - 4^n}{3}$$。答案为D。

9. 解析：

递推关系为$$a_{n+1} = 2a_n$$，通项为$$a_n = 2^{n-1} \cdot a_1 = 2^n$$。答案为B。

10. 解析：

设等比数列$${a_n}$$的公比为$$q$$，首项为$$a_1$$。由条件得：$$a_1 + a_2 = 1$$，$$a_3 + a_4 = 9$$，即$$a_1(1 + q) = 1$$，$$a_1 q^2(1 + q) = 9$$。解得$$q^2 = 9$$，$$q = 3$$（$$a_n > 0$$）。$$a_1 = \frac{1}{4}$$，$$a_4 + a_5 = a_1 q^3 + a_1 q^4 = \frac{1}{4}(27 + 81) = 27$$。答案为B。

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