等比中项-4.3 等比数列知识点回顾进阶自测题解析-上海市等高二数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用'， '等比中项']

正确率40.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}}$$和$${{F}_{2}}$$，左$${、}$$右顶点分别为$${{A}_{1}}$$和$${{A}_{2}}$$，过焦点$${{F}_{2}}$$与$${{x}}$$轴垂直的直线和双曲线的一个交点为$${{P}}$$，若$${{|}{P}{{A}_{1}}{|}}$$是$${{|}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{|}}$$和$${{|}{{A}_{1}}{{F}_{2}}{|}}$$的等比中项，则该双曲线的离心率为（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${\sqrt {5}}$$

2、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '等比中项'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率60.0%已知实数$$1， ~ m， ~ 9$$依次构成一个等比数列，则圆锥曲线$$\frac{x^{2}} {m}+y^{2}=1$$的离心率为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$

B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt6} 3 \nleftrightarrow2$$

D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$或$${{2}}$$

3、['等比中项']

正确率60.0%等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若$$a_{1}=2， \， \， a_{3}=2 \sqrt{3}$$，则$${{a}_{5}{=}{（}}$$）

A.$${{6}}$$

B.$${{6}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{8}}$$

4、['等比中项']

正确率60.0%$${{1}}$$和$${{4}}$$的等比中项为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$$${}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{±}{2}}$$

D.$$\frac{5} {2}$$

5、['等差数列的通项公式'， '等比中项'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公差为$${{2}}$$，若$$a_{1} \，， \; a_{3} \，， \; a_{4}$$成等比数列，$${{S}_{n}}$$是$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$${{S}_{9}}$$等于（）

A.$${{−}{8}}$$

B.$${{−}{6}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{0}}$$

6、['等比中项'， '二项展开式的通项']

正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$为常数，满足$$b > a > 0$$且$$a，-\frac{\sqrt{3}} {2}， b$$成等比数列，若$$( a+b x )^{6}$$的展开中所有项的系数和为$${{6}{4}}$$，则实数$${{a}}$$的值等于（）

A.$$- \frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

7、['等比中项'， '等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公差不为$$0， ~ a_{1}=1$$，且$$a_{2} \，， \， \， a_{4} \，， \， \， a_{8}$$成等比数列，设$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$${{S}_{n}{=}{（}}$$）

A.$$\frac{n ( n+1 )} {2}$$

B.$$\frac{( n+1 )^{2}} {2}$$

C.$$\frac{n^{2}+1} {2}$$

D.$$\frac{n ( n+3 )} {4}$$

8、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '等比中项'， '等差数列的基本量']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}-a_{n}=5$$，且$$a_{1} \，， \， \， a_{2} \，， \， \， a_{5}$$成等比数列，则该数列的前六项和$${{S}_{6}{=}}$$（）

A.$${{6}{0}}$$

B.$${{7}{5}}$$

C.$${{9}{0}}$$

D.$${{1}{0}{5}}$$

10、['等差中项'， '充分、必要条件的判定'， '等比中项']

正确率40.0%已知$$x， y， z \in R$$，则$${{“}{{l}{g}}{y}}$$为$$\operatorname{l g} x， \operatorname{l g} z$$的等差中项$${{”}}$$是$${{“}{y}}$$是$${{x}{，}{z}}$$的等比中项$${{”}}$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

1. 双曲线的离心率解析：

设双曲线的标准方程为$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，其焦点为$$F_{1}(-c,0)$$和$$F_{2}(c,0)$$，顶点为$$A_{1}(-a,0)$$和$$A_{2}(a,0)$$，其中$$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$。过$$F_{2}$$垂直于$$x$$轴的直线与双曲线的交点为$$P(c, \frac{b^{2}}{a})$$。根据题意，$$|PA_{1}|$$是$$|F_{1}F_{2}|$$和$$|A_{1}F_{2}|$$的等比中项，即： $$|PA_{1}|^{2}=|F_{1}F_{2}| \cdot |A_{1}F_{2}|$$ 计算各项距离： $$|PA_{1}|=\sqrt{(c+a)^{2}+\left(\frac{b^{2}}{a}\right)^{2}}$$ $$|F_{1}F_{2}|=2c$$ $$|A_{1}F_{2}|=c+a$$ 代入条件并化简： $$(c+a)^{2}+\left(\frac{b^{2}}{a}\right)^{2}=2c(c+a)$$ 利用$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$，最终解得离心率$$e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$$。答案为A。

2. 圆锥曲线的离心率解析：

由等比数列性质，$$m^{2}=1 \times 9$$，故$$m=3$$或$$m=-3$$（舍去负值）。圆锥曲线方程为$$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$$，表示椭圆。其离心率$$e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$。若$$m=-3$$，曲线为双曲线，但题目要求实数$$m$$，故答案为A。

3. 等比数列的第五项解析：

设公比为$$r$$，则$$a_{3}=a_{1}r^{2}=2\sqrt{3}$$，解得$$r^{2}=\sqrt{3}$$。因此$$a_{5}=a_{3}r^{2}=2\sqrt{3} \times \sqrt{3}=6$$。答案为A。

4. 等比中项解析：

1和4的等比中项为$$x$$，满足$$x^{2}=1 \times 4=4$$，故$$x=\pm 2$$。答案为C。

5. 等差数列求和解析：

等差数列公差$$d=2$$，$$a_{3}=a_{1}+4$$，$$a_{4}=a_{1}+6$$。由$$a_{1},a_{3},a_{4}$$成等比数列，得$$(a_{1}+4)^{2}=a_{1}(a_{1}+6)$$，解得$$a_{1}=-8$$。前9项和$$S_{9}=9a_{1}+\frac{9 \times 8}{2} \times 2=9(-8)+72=0$$。答案为D。

6. 实数$$a$$的解析：

由$$a,-\frac{\sqrt{3}}{2},b$$成等比数列，得$$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=ab$$，即$$ab=\frac{3}{4}$$。展开式系数和为$$(a+b)^{6}=64$$，故$$a+b=2$$。联立解得$$a=\frac{1}{2}$$或$$a=\frac{3}{2}$$，结合$$b>a>0$$，取$$a=\frac{1}{2}$$。答案为B。

7. 等差数列求和解析：

设公差为$$d$$，由$$a_{2},a_{4},a_{8}$$成等比数列，得$$(a_{1}+3d)^{2}=(a_{1}+d)(a_{1}+7d)$$，代入$$a_{1}=1$$解得$$d=1$$。前$$n$$项和$$S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$$。答案为A。

8. 数列求和解析：

由$$a_{n+1}-a_{n}=5$$，知数列为等差数列，公差$$d=5$$。由$$a_{1},a_{2},a_{5}$$成等比数列，得$$(a_{1}+5)^{2}=a_{1}(a_{1}+20)$$，解得$$a_{1}=5$$。前6项和$$S_{6}=6 \times 5 + \frac{6 \times 5}{2} \times 5 = 105$$。答案为D。

10. 条件关系解析：

由$$\lg y$$为$$\lg x$$和$$\lg z$$的等差中项，得$$2\lg y=\lg x + \lg z$$，即$$y^{2}=xz$$，说明$$y$$是$$x,z$$的等比中项。反之亦然，故为充要条件。答案为C。

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