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正确率80.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{=}{{1}{0}}{，}{{a}_{3}}{+}{{a}_{4}}{=}{{2}{0}}{，}}$$则$${{a}_{7}{+}{{a}_{8}}{=}}$$（）
A
A.$${{8}{0}}$$
B.$${{1}{0}{0}}$$
C.$${{1}{2}{0}}$$
D.$${{1}{4}{0}}$$
2、['等比数列的通项公式']正确率60.0%我国古代著名的思想家庄子在$${《}$$庄子$${{⋅}}$$天下篇$${》}$$中说：$${{“}}$$一尺之棰，日取其半，万世不竭．$${{”}}$$用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前一日的一半．如果把$${{“}}$$一尺之棰$${{”}}$$看成单位$${{“}{1}{”}}$$，那么剩下的部分所成的数列的通项公式为（）
C
A.$$a_{n}={\frac{1} {2}} n$$
B.$$a_{n}=n^{\frac{1} {2}}$$
C.$$a_{n} ~=~ ( \frac{1} {2} ) ~^{n}$$
D.$${{a}_{n}{=}{{2}^{n}}}$$
3、['等比数列的通项公式']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{3}{=}{4}{，}{{a}_{5}}{=}{{1}{6}}}$$，则$${{a}_{9}}$$等于（）
A
A.$${{2}{5}{6}}$$
B.$${{−}{{2}{5}{6}}}$$
C.$${{1}{2}{8}}$$
D.$${{−}{{1}{2}{8}}}$$
4、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知等比数列$$\{a_{n} \}， \， \， a_{1}=1， \， \， a_{4}=\frac{1} {8}，$$且$$a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\ldots+a_{n} a_{n+1} < k$$，则$${{k}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[ \frac{1} {2}， \ \frac{2} {3} ]$$
B.$$[ \frac{1} {2}， ~+\infty)$$
C.$$[ \frac{1} {2}， \ \frac{2} {3} )$$
D.$$[ \frac{2} {3}， ~+\infty)$$
5、['等差中项'， '等比数列的通项公式']正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列，若$${{a}_{2}{⋅}{{a}_{3}}{=}{2}{{a}_{1}}}$$，且$${{a}_{4}}$$与$${{2}{{a}_{7}}}$$的等差中项为$$\frac{5} {4}，$$则$${{a}_{1}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{3}{2}}$$
6、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{3}}$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若数列$${{\{}{{a}_{n}}{+}{1}{\}}}$$也是等比数列，则$${{S}_{n}}$$等于（）
B
A.$${{2}{n}}$$
B.$${{3}{n}}$$
C.$$2^{n+1}-1$$
D.$${{3}^{n}{−}{1}}$$
7、['等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '等比数列的定义与证明'， '“对勾”函数的应用']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${\bf S_{n}}， \， \， S_{n}=2^{n+1}-2，$$若存在两项$${{a}_{m}{，}{{a}_{n}}{，}}$$使得$${{a}_{m}{{a}_{n}}{=}{{6}{4}}{，}}$$则$$\frac{1} {\bf m}+\frac{9} {\bf n}$$的最小值为（）
B
A.$$\frac{1 4} {5}$$
B.$$\frac{1 1} {4}$$
C.$$\frac{8} {3}$$
D.$$\frac{1 0} {3}$$
8、['等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列，若$${{a}_{1}{{a}_{6}}{=}{2}}$$，下列结论成立的是（）
A
A.$$a_{2} a_{4}=\frac{4} {a_{3} a_{5}}$$
B.$${{a}_{3}{+}{{a}_{4}}{=}{2}}$$
C.$${{a}_{1}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{=}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{a}_{2}{+}{{a}_{5}}{⩾}{2}{\sqrt {2}}}$$
9、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$$a_{1}=1， \， \， a_{n}=\frac{1} {2} a_{n-1}+1 ( n \geqslant2 )$$，则$${{a}_{n}{=}{(}{)}}$$
A
A.$$2-( \frac{1} {2} )^{n-1}$$
B.$$( \frac{1} {2} )^{n-1}-2$$
C.$$2-2^{n-1}$$
D.$${{2}^{n}{−}{1}}$$
10、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%设$${{S}_{n}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$${{S}_{n}{=}{2}{{a}_{n}}{−}{3}}$$，则$${{S}_{n}{=}}$$（）
C
A.$${{2}^{n}{+}{1}}$$
B.$$2^{n+1}-1$$
C.$${{3}{⋅}{{2}^{n}}{−}{3}}$$
D.$$3 \cdot2^{n-1}$$
1. 解析：设等比数列的公比为$$q$$。由题意得：
$$a_1 + a_2 = a_1 + a_1 q = 10$$，即$$a_1(1 + q) = 10$$；
$$a_3 + a_4 = a_1 q^2 + a_1 q^3 = 20$$，即$$a_1 q^2(1 + q) = 20$$。
两式相除得$$q^2 = 2$$，故$$q = \sqrt{2}$$或$$q = -\sqrt{2}$$。
$$a_7 + a_8 = a_1 q^6 + a_1 q^7 = a_1 q^6(1 + q)$$。
代入$$a_1(1 + q) = 10$$和$$q^2 = 2$$，得$$a_7 + a_8 = 10 \times 8 = 80$$。
答案：$$80$$，选A。
2. 解析：每日剩下的部分为前一日的一半，因此数列为$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$$，通项公式为$$a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$$。
答案：选C。
3. 解析：设公比为$$q$$，由$$a_3 = 4$$，$$a_5 = 16$$得$$a_5 = a_3 q^2$$，即$$16 = 4 q^2$$，解得$$q = 2$$或$$q = -2$$。
$$a_9 = a_5 q^4 = 16 \times 16 = 256$$。
答案：选A。
4. 解析：由$$a_1 = 1$$，$$a_4 = \frac{1}{8}$$得$$q^3 = \frac{1}{8}$$，故$$q = \frac{1}{2}$$。
$$a_n a_{n+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1}$$。
求和得$$\sum_{n=1}^\infty a_n a_{n+1} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3}$$。
因此$$k$$的取值范围是$$[ \frac{2}{3}, +\infty )$$。
答案：选D。
5. 解析：设公比为$$q$$，由$$a_2 a_3 = 2 a_1$$得$$a_1 q \cdot a_1 q^2 = 2 a_1$$，即$$a_1 q^3 = 2$$。
由$$a_4 + 2 a_7 = \frac{5}{2}$$得$$a_1 q^3 + 2 a_1 q^6 = \frac{5}{2}$$，代入$$a_1 q^3 = 2$$得$$2 + 2 q^3 = \frac{5}{2}$$，解得$$q^3 = \frac{1}{4}$$。
因此$$a_1 = \frac{2}{q^3} = 8$$。
答案：选B。
6. 解析：设公比为$$q$$，由$$a_1 = 3$$，$$a_n = 3 q^{n-1}$$。
数列$$\{a_n + 1\}$$也是等比数列，故$$(a_2 + 1)^2 = (a_1 + 1)(a_3 + 1)$$，即$$(3q + 1)^2 = 4(3q^2 + 1)$$，解得$$q = 1$$。
因此$$S_n = 3n$$。
答案：选B。
7. 解析：由$$S_n = 2^{n+1} - 2$$得$$a_n = 2^n$$。
由$$a_m a_n = 64$$得$$2^{m+n} = 64$$，即$$m + n = 6$$。
求$$\frac{1}{m} + \frac{9}{n}$$的最小值，利用不等式得最小值为$$\frac{11}{4}$$，当$$m = 2$$，$$n = 4$$时取到。
答案：选B。
8. 解析：设公比为$$q$$，由$$a_1 a_6 = a_1 \cdot a_1 q^5 = 2$$。
选项A：$$a_2 a_4 = a_1 q \cdot a_1 q^3 = a_1^2 q^4$$，$$\frac{4}{a_3 a_5} = \frac{4}{a_1 q^2 \cdot a_1 q^4} = \frac{4}{a_1^2 q^6}$$，不成立。
选项B：$$a_3 + a_4 = a_1 q^2 + a_1 q^3$$，无法确定为2。
选项C：$$a_1 a_2 a_3 = a_1 \cdot a_1 q \cdot a_1 q^2 = a_1^3 q^3$$，无法确定为$$2\sqrt{2}$$。
选项D：$$a_2 + a_5 = a_1 q + a_1 q^4$$，由$$a_1 a_6 = 2$$得$$a_1^2 q^5 = 2$$，利用不等式得$$a_2 + a_5 \geq 2\sqrt{a_1^2 q^5} = 2\sqrt{2}$$。
答案：选D。
9. 解析：递推式为$$a_n = \frac{1}{2} a_{n-1} + 1$$，设$$a_n - 2 = \frac{1}{2}(a_{n-1} - 2)$$，得$$a_n - 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(a_1 - 2) = -\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$，故$$a_n = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$。
答案：选A。
10. 解析：由$$S_n = 2 a_n - 3$$得$$S_{n-1} = 2 a_{n-1} - 3$$，相减得$$a_n = 2 a_n - 2 a_{n-1}$$，即$$a_n = 2 a_{n-1}$$。
又$$S_1 = a_1 = 2 a_1 - 3$$，得$$a_1 = 3$$。
因此$$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$$，$$S_n = 3(2^n - 1)$$。
答案：$$3 \cdot 2^n - 3$$，选C。