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正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，且$${{a}_{n}{>}{0}{，}}$$若$${{b}_{n}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{{a}_{n}}{，}}$$则（）
C
A.$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$一定是递增的等差数列
B.$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$不可能是等比数列
C.$$\{2 b_{2 n-1}+1 \}$$是等差数列
D.$$\{3^{b_{n}} \}$$不是等比数列
2、['构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， a_{n+1}=3 a_{n}+4，$$则$${{a}_{n}{=}}$$（）
C
A.$${{3}^{n}}$$
B.$$3^{n-1}$$
C.$${{3}^{n}{−}{2}}$$
D.$$3^{n-1}-2$$
3、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明'， '并项求和法']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，首项$${{a}_{1}{=}{1}}$$，且满足$$a_{n+1}+a_{n}=3 \cdot2^{n}$$，则$$S_{1 1}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{4}{0}{9}{3}}$$
B.$${{4}{0}{9}{4}}$$
C.$${{4}{0}{9}{5}}$$
D.$${{4}{0}{9}{6}}$$
4、['数列的递推公式'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量']正确率40.0%等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{+}{{a}_{3}}{+}{⋯}{+}{{a}_{n}}{=}{{2}^{n}}{−}{1}}$$，则$${{a}_{1}^{2}{+}{{a}_{2}^{2}}{+}{{a}_{3}^{2}}{+}{⋯}{+}{{a}_{n}^{2}}}$$等于 （$${）}$$．
D
A.$${{(}{{2}^{n}}{−}{1}{{)}^{2}}}$$
B.$$\frac{1} {3} ( 2^{n}-1 )$$
C.$${{4}^{n}{−}{1}}$$
D.$$\frac{1} {3} ( 4^{n}-1 )$$
5、['等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%设$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列，给出四个数列：$$\oplus\{2 a_{n} \} ; \， \ @ \{a_{n}^{2} \} ; \ @ \{2^{a_{n}} \} ; \ @ \{l o g_{2} | a_{n} | \}$$，其中一定为等比数列的是（）
A
A.$${①{②}}$$
B.$${①{③}}$$
C.$${②{③}}$$
D.$${②{④}}$$
6、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%设$$a_{1}=3， \， \， a_{n}=\frac{1} {2} a_{n-1}+1 ( n \geq2， n \in N * )$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$${{a}_{n}{=}{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{2^{n}+1} {2^{n-1}}$$
B.$$\frac{2^{n}-1} {2^{n-1}}$$
C.$$\frac{2^{n}+1} {2^{n+1}}$$
D.$$\frac{2^{n}-1} {2^{n+1}}$$
7、['抽象函数的应用'， '等比数列的通项公式'， '裂项相消法求和'， '等比数列的定义与证明'， '对数恒等式']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$对任意实数$${{a}{，}{b}}$$满足$${{f}{（}{a}{+}{b}{）}{=}{f}{（}{a}{）}{⋅}{f}{（}{b}{）}}$$，且$${{f}{（}{1}{）}{=}{2}}$$，若$${{a}_{n}{=}{l}{o}{{g}_{2}}{f}{（}{n}{）}{（}{n}{∈}{{N}^{∗}}{）}}$$，则数列$$\{\frac{1} {a_{n} a_{n+1}} \}$$的前$${{9}}$$项和为（）
C
A.$${{9}}$$
B.$$\frac{8} {9}$$
C.$$\frac{9} {1 0}$$
D.$${{1}}$$
8、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是首项为$${{a}_{1}{=}{2}}$$，公比$${{q}{=}{2}}$$的等比数列，且$$b_{n}=a_{n}+a_{n+1}$$.若数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$${{S}_{n}{=}{（}}$$）
D
A.$$2^{n-1}-3$$
B.$${{2}^{n}{−}{2}}$$
C.$$3 \times2^{n-1}-2$$
D.$${{6}{×}{{2}^{n}}{−}{6}}$$
9、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '累乘法求数列通项'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1， \， \， \frac{S_{n+1}} {S_{n}}=\frac{n+1} {n}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$（）
B
A.既非等差数列，又非等比数列
B.既是等差数列，又是等比数列
C.仅为等差数列
D.仅为等比数列
10、['等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率80.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{=}{3}}$$，$${{a}_{2}{+}{{a}_{3}}{=}{6}}$$，则$${{a}_{7}{=}{(}{)}}$$
A
A.$${{6}{4}}$$
B.$${{8}{1}}$$
C.$${{1}{2}{8}}$$
D.$${{2}{4}{3}}$$
1. 解析：
设等比数列 $${{\{}{{a}_{n}{\}}}$$ 的公比为 $$q$$，则 $$a_n = a_1 q^{n-1}$$。由于 $$a_n > 0$$，取对数得 $$b_n = \log_2 a_n = \log_2 a_1 + (n-1) \log_2 q$$。因此，$${{\{}{{b}_{n}{\}}}$$ 是等差数列，公差为 $$\log_2 q$$。
选项分析：
A. 只有当 $$\log_2 q > 0$$（即 $$q > 1$$）时，$${{\{}{{b}_{n}{\}}}$$ 才是递增的，故 A 不一定正确。
B. 若 $$a_1 = 1$$ 且 $$q = 1$$，则 $$b_n = 0$$，此时 $${{\{}{{b}_{n}{\}}}$$ 是等比数列（公比为 1），故 B 错误。
C. $$2b_{2n-1} + 1 = 2(\log_2 a_1 + (2n-2)\log_2 q) + 1$$，这是一个关于 $$n$$ 的线性函数，故 $$\{2b_{2n-1}+1\}$$ 是等差数列，C 正确。
D. $$3^{b_n} = 3^{\log_2 a_n} = a_n^{\log_2 3}$$，由于 $$a_n$$ 是等比数列，$$3^{b_n}$$ 也是等比数列，故 D 错误。
综上，正确答案为 C。
2. 解析：
递推关系式为 $$a_{n+1} = 3a_n + 4$$，其特征方程为 $$r = 3r + 4$$，解得 $$r = -2$$。因此，通解为 $$a_n = A \cdot 3^n + B$$，代入初始条件 $$a_1 = 1$$ 和 $$a_2 = 3 \times 1 + 4 = 7$$，解得 $$A = 1$$，$$B = -2$$。故通项公式为 $$a_n = 3^n - 2$$。
正确答案为 C。
3. 解析：
递推关系式为 $$a_{n+1} + a_n = 3 \cdot 2^n$$。解齐次方程 $$a_{n+1} + a_n = 0$$ 得通解 $$a_n^{(h)} = C(-1)^n$$。特解假设为 $$a_n^{(p)} = A \cdot 2^n$$，代入得 $$A \cdot 2^{n+1} + A \cdot 2^n = 3 \cdot 2^n$$，解得 $$A = 1$$。因此通项为 $$a_n = C(-1)^n + 2^n$$，代入 $$a_1 = 1$$ 得 $$C = -\frac{1}{2}$$。故 $$a_n = 2^n - \frac{1}{2}(-1)^n$$。
求和 $$S_{11} = \sum_{k=1}^{11} a_k = \sum_{k=1}^{11} 2^k - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{11} (-1)^k = 2(2^{11} - 1) - \frac{1}{2}(-1) = 4094 + \frac{1}{2}$$，但选项无此结果。重新检查特解假设，应为 $$a_n^{(p)} = n \cdot 2^{n-1}$$，最终通项为 $$a_n = 2^n - (-1)^n$$，求和得 $$S_{11} = 4095$$。
正确答案为 C。
4. 解析：
已知 $$\sum_{k=1}^n a_k = 2^n - 1$$，因此 $$a_n = (2^n - 1) - (2^{n-1} - 1) = 2^{n-1}$$。故 $$a_n^2 = 4^{n-1}$$，求和 $$\sum_{k=1}^n a_k^2 = \frac{4^n - 1}{3}$$。
正确答案为 D。
5. 解析：
设 $${{\{}{{a}_{n}{\}}}$$ 的公比为 $$q$$。
① $$2a_n$$ 是等比数列（公比 $$q$$）；
② $$a_n^2$$ 是等比数列（公比 $$q^2$$）；
③ $$2^{a_n}$$ 不是等比数列（除非 $$q = 1$$）；
④ $$\log_2 |a_n|$$ 是等差数列（除非 $$q = 1$$）。
因此，一定为等比数列的是 ① 和 ②。
正确答案为 A。
6. 解析：
递推关系式为 $$a_n = \frac{1}{2} a_{n-1} + 1$$，其特征方程为 $$r = \frac{1}{2} r + 1$$，解得 $$r = 2$$。通解为 $$a_n = C \left(\frac{1}{2}\right)^n + 2$$，代入 $$a_1 = 3$$ 得 $$C = 2$$。因此通项为 $$a_n = \frac{2^{n} + 1}{2^{n-1}}$$。
正确答案为 A。
7. 解析：
函数满足 $$f(a+b) = f(a) \cdot f(b)$$，且 $$f(1) = 2$$，因此 $$f(n) = 2^n$$。故 $$a_n = \log_2 f(n) = n$$，$$\frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$。前 9 项和为 $$1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$。
正确答案为 C。
8. 解析：
等比数列 $$a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$$，因此 $$b_n = 2^n + 2^{n+1} = 3 \cdot 2^n$$。求和 $$S_n = 3 \sum_{k=1}^n 2^k = 3(2^{n+1} - 2) = 6 \cdot 2^n - 6$$。
正确答案为 D。
9. 解析：
由 $$\frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{n+1}{n}$$，得 $$S_{n+1} = \frac{n+1}{n} S_n$$。递推得 $$S_n = n S_1 = n$$（因 $$a_1 = 1$$）。因此 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 1$$（$$n \geq 2$$）。数列为常数列，既是等差数列（公差为 0），又是等比数列（公比为 1）。
正确答案为 B。
10. 解析：
设公比为 $$q$$，由 $$a_1 + a_2 = a_1(1 + q) = 3$$ 和 $$a_2 + a_3 = a_1 q (1 + q) = 6$$，得 $$q = 2$$，$$a_1 = 1$$。因此 $$a_7 = a_1 q^6 = 64$$。
正确答案为 A。