等比数列的定义与证明-4.3 等比数列知识点专题基础选择题自测题解析-湖北省等高二数学选择必修,平均正确率94.0%

步骤1：求通项公式

已知$$S_n = 2a_n - 1$$，当$$n = 1$$时，$$S_1 = a_1 = 2a_1 - 1$$，解得$$a_1 = 1$$。

对于$$n \geq 2$$，有$$S_{n-1} = 2a_{n-1} - 1$$。因为$$S_n - S_{n-1} = a_n$$，所以：

$$a_n = 2a_n - 2a_{n-1}$$

整理得$$a_n = 2a_{n-1}$$。因此，数列$${a_n}$$是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为：

$$a_n = 2^{n-1}$$

步骤2：确定$$m$$和$$n$$的关系

根据题意，存在两项$$a_m$$和$$a_n$$使得$$a_m \cdot a_n = 64$$。代入通项公式：

$$2^{m-1} \cdot 2^{n-1} = 2^{m+n-2} = 64 = 2^6$$

因此，$$m + n - 2 = 6$$，即$$m + n = 8$$。

步骤3：求最小值

我们需要在$$m + n = 8$$的条件下，求$$\frac{1}{m} + \frac{9}{n}$$的最小值。

设$$m = x$$，则$$n = 8 - x$$（$$x$$为正整数且$$1 \leq x \leq 7$$）。表达式变为：

$$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{9}{8 - x}$$

为了找到最小值，我们计算$$f(x)$$的导数并求极值点：

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{9}{(8 - x)^2}$$

令$$f'(x) = 0$$，解得：

$$-\frac{1}{x^2} + \frac{9}{(8 - x)^2} = 0$$

整理得：

$$\frac{9}{(8 - x)^2} = \frac{1}{x^2}$$

两边开平方得：

$$\frac{3}{8 - x} = \frac{1}{x}$$

解得$$x = 2$$。

验证$$x = 2$$时，$$f(2) = \frac{1}{2} + \frac{9}{6} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$$。

检查其他整数点：

- 当$$x = 1$$时，$$f(1) = 1 + \frac{9}{7} \approx 2.285$$；

- 当$$x = 3$$时，$$f(3) = \frac{1}{3} + \frac{9}{5} = \frac{5}{15} + \frac{27}{15} = \frac{32}{15} \approx 2.133$$。

因此，最小值出现在$$x = 2$$，即$$m = 2$$，$$n = 6$$时，最小值为2。

步骤4：选择正确答案

题目选项中的最小值为$$2$$，对应选项B。