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正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}{+}{1}}{\}}}$$$${，{{a}_{1}}{=}{0}{，}{{a}_{5}}{=}{3}{，}}$$则$${{a}_{3}{=}}$$（）
D
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$
2、['等比中项'， '等比数列的基本量'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”.在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法.比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有$${大{吕}{=}{\sqrt {黄{钟}{×}{太{簇}}}}}$$，$${大{吕}{=}{^{3}\sqrt {{(}{黄{钟}}{{)}^{2}}{×}{{夹}{钟}}}}}$$，$${太{簇}{=}{^{3}\sqrt {黄{钟}{×}{(}{{夹}{钟}}{{)}^{2}}}}}$$.据此可得正项等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝中$${，{{a}_{k}}{=}}$$（）
C
A.$$\sqrt{a_{1}^{n-k} \cdot a_{n}}$$
B.$$\sqrt{a_{1} \cdot a_{n}^{n-k}}$$
C.$$\sqrt{a_{1}^{n-k} \cdot a_{n}^{k-1}}$$
D.$$\sqrt{a_{1}^{k-1} \cdot a_{n}^{n-k}}$$
3、['数列的递推公式'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的基本量']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{+}{{a}_{3}}{+}{⋯}{⋯}{+}{{a}_{n}}{=}{{2}^{n}}{−}{1}}$$，则$${{a}^{2}_{1}{+}{{a}^{2}_{2}}{+}{{a}^{2}_{3}}{+}{⋯}{⋯}{+}{{a}^{2}_{n}}{=}}$$$${{(}{)}}$$
D
A.$${{(}{{2}^{n}}{−}{1}{)}^{2}}$$
B.$$\frac{1} {3} ( 2^{n}-1 )$$
C.$${{4}^{n}{−}{1}}$$
D.$$\frac{1} {3} ( 4^{n}-1 )$$
4、['等比数列的通项公式'， '等比数列的基本量']正确率60.0%等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{1}{，}{{a}_{5}}{=}{4}{{a}_{3}}{，}{{S}_{n}}}$$为$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和．若$${{S}_{m}{=}{{6}{3}}}$$，则$${{m}}$$的值是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.不存在
5、['等比数列的通项公式'， '等比数列的基本量']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若有$$a_{n}+a_{n+1}=3 \cdot\left( \frac1 2 \right)^{n}$$，则$${{a}_{5}{=}{（}}$$）
C
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {8}$$
C.$$\frac{1} {1 6}$$
D.$$\frac{1} {3 2}$$
6、['等比数列前n项和的应用'， '等比数列的基本量']正确率40.0%设等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的各项均为正数，公比为$${{q}}$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$．若对$${{∀}{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}}$$有$$S_{2 n} < 3 S_{n}$$，则$${{q}}$$的取值范围是（）
A
A.$${（{0}{，}{1}{]}}$$
B.$${（{0}{，}{2}{）}}$$
C.$${{[}{1}{，}{2}{）}}$$
D.$${{(}{0}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
7、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '等比数列的通项公式'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的基本量']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$S_{3}=1 3， a_{n+1}=2 S_{n}+1， n \in N^{*}$$，则符合$${{S}_{n}{>}{{a}_{5}}}$$的最小的$${{n}}$$值为（）
D
A.$${{8}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{5}}$$
8、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的基本量']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$满足：$${{S}_{n}{=}{2}{{a}_{n}}{−}{1}{（}{n}{∈}{{N}^{∗}}{）}}$$，则该数列的第$${{5}}$$项等于（）
B
A.$${{1}{5}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{3}{1}}$$
D.$${{3}{2}}$$
9、['等比数列的通项公式'， '等比数列的基本量']正确率60.0%正项等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{+}{{a}_{4}}{+}{{a}_{7}}{=}{2}{，}{{a}_{3}}{+}{{a}_{6}}{+}{{a}_{9}}{=}{{1}{8}}}$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{9}}$$项之和$${{S}_{9}{=}{（}}$$）
C
A.$${{3}{6}}$$
B.$${{2}{8}}$$
C.$${{2}{6}}$$
D.不能确定
10、['等差数列的定义与证明'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量'， '对数的运算性质']正确率40.0%在公比$${{q}}$$为整数的等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{S}_{n}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$${{a}_{1}{+}{{a}_{4}}{=}{{1}{8}}{，}{{a}_{2}}{+}{{a}_{3}}{=}{{1}{2}}}$$，则下列说法
D
A.$${{q}{=}{2}}$$
B.数列$${{\{}{{S}_{n}}{+}{2}{\}}}$$是等比数列
C.$${{S}_{8}{=}{{5}{1}{0}}}$$
D.数列$${{\{}{{l}{g}}{{a}_{n}}{\}}}$$是公差为$${{2}}$$等差数列
1. 解析：
设等比数列 $$\{a_n + 1\}$$ 的公比为 $$q$$，则 $$a_n + 1 = (a_1 + 1) \cdot q^{n-1}$$。
已知 $$a_1 = 0$$，所以 $$a_n + 1 = q^{n-1}$$。
由 $$a_5 = 3$$ 得 $$q^4 = 4$$，即 $$q = \pm \sqrt{2}$$。
因此 $$a_3 + 1 = q^2 = 2$$，故 $$a_3 = 1$$。
正确答案是 D。
2. 解析：
正项等比数列 $$\{a_n\}$$ 的通项公式为 $$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$。
根据题意，等比中项的性质推广到一般情况，$$a_k$$ 可以表示为 $$a_k = \sqrt{a_1^{k-1} \cdot a_n^{n-k}}$$。
正确答案是 D。
3. 解析：
由题意，$$S_n = 2^n - 1$$，则 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2^{n-1}$$（$$n \geq 2$$）。
验证 $$a_1 = S_1 = 1$$ 也符合通项公式。
因此 $$a_n^2 = (2^{n-1})^2 = 4^{n-1}$$。
数列 $$\{a_n^2\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$\frac{1 \cdot (4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{4^n - 1}{3}$$。
正确答案是 D。
4. 解析：
等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_1 = 1$$，$$a_5 = 4a_3$$。
设公比为 $$r$$，则 $$r^4 = 4r^2$$，解得 $$r = \pm 2$$。
前 $$n$$ 项和 $$S_n = \frac{1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$$。
若 $$r = 2$$，则 $$S_m = 2^m - 1 = 63$$，解得 $$m = 6$$。
若 $$r = -2$$，$$S_m = \frac{(-2)^m - 1}{-3} = 63$$ 无整数解。
正确答案是 A。
5. 解析：
由递推关系 $$a_n + a_{n+1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$$，设 $$a_n = k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$$。
代入得 $$k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n + k \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$$，解得 $$k = 2$$。
因此 $$a_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$。
$$a_5 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$。
正确答案是 C。
6. 解析：
等比数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和 $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$（$$q \neq 1$$）。
由 $$S_{2n} < 3S_n$$ 得 $$\frac{1 - q^{2n}}{1 - q} < 3 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$，化简得 $$1 + q^n < 3$$，即 $$q^n < 2$$。
对所有 $$n \in \mathbb{N}^*$$ 成立，需 $$q \in (0, 1]$$。
正确答案是 A。
7. 解析：
由 $$S_3 = 13$$ 和 $$a_{n+1} = 2S_n + 1$$，递推得：
$$a_1 = S_1 = 1$$，$$a_2 = 2S_1 + 1 = 3$$，$$a_3 = 2S_2 + 1 = 9$$，$$a_4 = 2S_3 + 1 = 27$$，$$a_5 = 2S_4 + 1 = 81$$。
计算 $$S_n$$ 并比较 $$S_n > a_5 = 81$$，发现 $$S_6 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364 > 81$$。
最小的 $$n$$ 值为 6。
正确答案是 C。
8. 解析：
由递推关系 $$S_n = 2a_n - 1$$，得 $$a_n = 2a_n - 2a_{n-1}$$（$$n \geq 2$$），即 $$a_n = 2a_{n-1}$$。
又 $$a_1 = S_1 = 2a_1 - 1$$，解得 $$a_1 = 1$$。
因此 $$a_n = 2^{n-1}$$，$$a_5 = 2^4 = 16$$。
正确答案是 B。
9. 解析：
正项等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，设公比为 $$r$$。
由 $$a_1 + a_4 + a_7 = a_1(1 + r^3 + r^6) = 2$$，$$a_3 + a_6 + a_9 = a_1 r^2 (1 + r^3 + r^6) = 18$$。
两式相除得 $$r^2 = 9$$，即 $$r = 3$$。
代入第一式得 $$a_1 = \frac{2}{1 + 27 + 729} = \frac{2}{757}$$（注：此处可能有误，实际应为 $$1 + r^3 + r^6 = 757$$，但 $$a_1$$ 的计算不影响最终求和）。
前 9 项和 $$S_9 = a_1 \cdot \frac{r^9 - 1}{r - 1} = \frac{2}{757} \cdot \frac{19683 - 1}{2} = 26$$。
正确答案是 C。
10. 解析：
由 $$a_1 + a_4 = a_1(1 + q^3) = 18$$，$$a_2 + a_3 = a_1 q (1 + q) = 12$$。
解得 $$q = 2$$，$$a_1 = 2$$。
验证选项：
A 正确；
B：$$S_n + 2 = 2(2^n - 1) + 2 = 2^{n+1}$$ 是等比数列，正确；
C：$$S_8 = 2(2^8 - 1) = 510$$，正确；
D：$$\lg a_n = \lg 2 + (n-1) \lg 2$$，公差为 $$\lg 2 \neq 2$$，错误。
正确答案是 D。