等比数列的通项公式-4.3 等比数列知识点专题基础单选题自测题解析-北京市等高二数学选择必修,平均正确率64.0%

1、['等比数列的通项公式'， '等比中项']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$满足$$x_{1}=1， \， \， \， x_{2}=\frac{2} {3}，$$且$$\frac{x_{n}^{2}} {x_{n-1} \cdot x_{n+1}}=1 ( n \in{\bf N}^{*}，$$且$$n \geq2 )，$$则$${{x}_{n}{=}}$$（）

A.$$\left( \frac{2} {3} \right)^{n-1}$$

B.$$\left( \frac{3} {2} \right)^{n-1}$$

C.$$\frac2 {n+1}$$

D.$$\frac{n+1} {2}$$

2、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，满足$$S_{n}=2 a_{n}-1$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式$${{a}_{n}{=}{（}}$$）

A.$${{2}{n}{−}{1}}$$

B.$$2^{n-1}$$

C.$${{2}^{n}{−}{1}}$$

D.$${{2}{n}{+}{1}}$$

3、['等比数列的通项公式']

正确率80.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列，且$$a_{2}=1， \， \， \， q=2$$，则$${{a}_{4}{=}{（}}$$）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

5、['等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%已知数列$$\{a_{n} \} \smallsetminus\{b_{n} \}$$满足$$a_{n}， a_{n+1}$$是函数$$f \left( x \right)=x^{2}-b_{n} x+2^{n}$$的两个零点，且$${{a}_{1}{=}{1}}$$，则$$b_{1 0}=\mathrm{~ ( ~}$$）

A.$${{2}{4}}$$

B.$${{3}{2}}$$

C.$${{4}{8}}$$

D.$${{6}{4}}$$

6、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用']

正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，公比$${{q}}$$大于$${{1}{，}{{S}_{n}}}$$为其前$${{n}}$$项和，$$a_{2}+a_{3}=4， \ S_{4}=\frac{4 0} {3}$$，则$${{a}_{4}{=}}$$$${{(}{)}}$$

A.$${{9}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{9}}$$或$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$

7、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']

正确率40.0%设$${{S}_{n}}$$为数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和$$a_{1}=1， \ 3 S_{n}=a_{n+1}-1，$$若$$a_{k}=1 0 2 4，$$则$${{k}{=}}$$（）

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

8、['等比数列的通项公式']

正确率80.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1， \， \， \， q=2$$，则$${{a}_{4}{=}}$$（）

A.$${{6}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

9、['等比数列的通项公式']

正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列，若$$a_{3}=2， a_{7}=3 2$$，则$${{a}_{5}}$$等于（）

A.$${{1}{6}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{±}{{1}{6}}}$$

D.$${{±}{8}}$$

10、['等比数列的通项公式'， '等比模型']

正确率80.0%

已知某种细胞分裂时，由 $${{1}}$$ 个分裂成 $${{2}}$$ 个， $${{2}}$$ 个分裂成 $${{4}}$$ 个……依此类推，那么 $${{1}}$$ 个这样的细胞分裂 $${{3}}$$ 次后，得到的细胞个数为 $${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$个

B.$${{8}}$$个

C.$${{1}{6}}$$个

D.$${{3}{2}}$$个

1. 题目给出递推关系 $$\frac{x_{n}^{2}}{x_{n-1} \cdot x_{n+1}}=1$$，可以改写为 $$x_{n+1} = \frac{x_n^2}{x_{n-1}}$$。设 $$y_n = \ln x_n$$，则递推式变为 $$y_{n+1} = 2y_n - y_{n-1}$$，这是一个二阶线性递推关系，其特征方程为 $$r^2 - 2r + 1 = 0$$，解得 $$r = 1$$（重根）。因此通解为 $$y_n = (A + Bn) \cdot 1^n = A + Bn$$，即 $$x_n = e^{A + Bn} = C \cdot D^n$$（其中 $$C = e^A$$，$$D = e^B$$）。利用初始条件 $$x_1 = 1$$ 和 $$x_2 = \frac{2}{3}$$，解得 $$C \cdot D = 1$$ 和 $$C \cdot D^2 = \frac{2}{3}$$，从而 $$D = \frac{2}{3}$$，$$C = \frac{3}{2}$$。因此 $$x_n = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n = \frac{2}{n+1}$$（验证 $$n=1$$ 和 $$n=2$$ 符合）。答案为 $$\boxed{C}$$。

2. 题目给出 $$S_n = 2a_n - 1$$。当 $$n=1$$ 时，$$S_1 = a_1 = 2a_1 - 1$$，解得 $$a_1 = 1$$。对于 $$n \geq 2$$，有 $$a_n = S_n - S_{n-1} = (2a_n - 1) - (2a_{n-1} - 1) = 2a_n - 2a_{n-1}$$，整理得 $$a_n = 2a_{n-1}$$。因此 $$\{a_n\}$$ 是首项为 1、公比为 2 的等比数列，通项公式为 $$a_n = 2^{n-1}$$。答案为 $$\boxed{B}$$。

3. 等比数列的通项公式为 $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$。已知 $$a_2 = a_1 \cdot q = 1$$ 且 $$q=2$$，解得 $$a_1 = \frac{1}{2}$$。因此 $$a_4 = a_1 \cdot q^3 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$$。答案为 $$\boxed{D}$$。

5. 题目给出 $$a_n$$ 和 $$a_{n+1}$$ 是方程 $$x^2 - b_n x + 2^n = 0$$ 的根，因此有 $$a_n + a_{n+1} = b_n$$ 和 $$a_n \cdot a_{n+1} = 2^n$$。由 $$a_1 = 1$$，代入得 $$1 \cdot a_2 = 2^1$$，即 $$a_2 = 2$$；接着 $$a_2 \cdot a_3 = 2^2$$，得 $$a_3 = 2$$；$$a_3 \cdot a_4 = 2^3$$，得 $$a_4 = 4$$；依此类推，可发现 $$a_n$$ 的规律为 $$1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, \ldots$$。因此 $$b_{10} = a_{10} + a_{11}$$，而 $$a_{10} = 32$$，$$a_{11} = 32$$，所以 $$b_{10} = 64$$。答案为 $$\boxed{D}$$。

6. 等比数列中，$$a_2 + a_3 = a_1 q + a_1 q^2 = a_1 q (1 + q) = 4$$，且 $$S_4 = a_1 \frac{q^4 - 1}{q - 1} = \frac{40}{3}$$。设 $$a_1 = \frac{4}{q(1 + q)}$$，代入 $$S_4$$ 得 $$\frac{4}{q(1 + q)} \cdot \frac{q^4 - 1}{q - 1} = \frac{40}{3}$$。化简后解得 $$q = 3$$（舍去 $$q = \frac{1}{3}$$ 因为 $$q > 1$$），因此 $$a_1 = \frac{4}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3}$$，$$a_4 = a_1 q^3 = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9$$。答案为 $$\boxed{A}$$。

7. 题目给出 $$3S_n = a_{n+1} - 1$$。当 $$n=1$$ 时，$$3S_1 = 3a_1 = a_2 - 1$$，即 $$a_2 = 4$$；当 $$n=2$$ 时，$$3S_2 = 3(a_1 + a_2) = a_3 - 1$$，即 $$a_3 = 16$$；依此类推，可发现 $$a_n = 4^{n-1}$$。设 $$a_k = 4^{k-1} = 1024$$，解得 $$k = 6$$（因为 $$4^5 = 1024$$）。答案为 $$\boxed{C}$$。

8. 等比数列的通项公式为 $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$。已知 $$a_1 = 1$$，$$q = 2$$，因此 $$a_4 = 1 \cdot 2^3 = 8$$。答案为 $$\boxed{C}$$。

9. 等比数列中，$$a_3 = a_1 q^2 = 2$$，$$a_7 = a_1 q^6 = 32$$。两式相除得 $$q^4 = 16$$，即 $$q = 2$$（舍去负值）。因此 $$a_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$，$$a_5 = a_1 q^4 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$$。答案为 $$\boxed{B}$$。

10. 细胞分裂每次数量翻倍，因此分裂 3 次后数量为 $$2^3 = 8$$ 个。答案为 $$\boxed{B}$$。

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