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正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1，$$$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，$$S_{5}=5 S_{3}-4$$，则$${{S}_{4}{=}}$$（）
C
A.$${{7}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{2}{0}}$$
2、['数列在日常经济生活中的应用'， '等比数列前n项和的应用'， '公式法求和'， '等比模型'， '等比数列的基本量']正确率60.0%某病毒研究所为了更好地研究新型冠状病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费(单位：万元)从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高$${{9}}$$万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高$${{3}{6}}$$万元，则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为（）
A
A.$${{9}{3}}$$万元
B.$${{4}{5}}$$万元
C.$${{1}{8}{9}}$$万元
D.$${{9}{6}}$$万元
3、['等比数列前n项和的应用'， '公式法求和']正确率80.0%数列$$1， 5， 5^{2}， 5^{3}， 5^{4}， \cdots$$的前$${{1}{0}}$$项和为（）
B
A.$$\frac{1} {5} \times( 5^{1 0}-1 )$$
B.$$\frac{1} {4} \times( 5^{1 0}-1 )$$
C.$$\frac{1} {4} \times( 5^{9}-1 )$$
D.$$\frac{1} {4} \times( 5^{1 1}-1 )$$
4、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用']正确率60.0%设等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， a_{2}=-8， \， \， a_{7}=\frac{1} {4}，$$则$${{S}_{6}{=}}$$（）
C
A.$$- \frac{2 1} {2}$$
B.$$\frac{1 5} {2}$$
C.$$\frac{2 1} {2}$$
D.$$\frac{6 3} {2}$$
5、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的性质'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知其前$${{n}}$$项和$$S_{n}=2^{n+1}+a$$，则$${{a}}$$的值为（）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{2}}$$
6、['等比数列前n项和的应用'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{，}}$$定义数列$$\{a_{n+1}-2 a_{n} \}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的$${{“}{2}}$$倍差数列$${{”}}$$，若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的$${{“}{2}}$$倍差数列$${{”}}$$的通项公式为$$a_{n+1}-2 a_{n}=2^{n+1}$$，且$${{a}_{1}{=}{2}}$$，若函数$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{3 3}=\langle$$）
B
A.$$2^{3 8}+1$$
B.$$2^{3 9}+2$$
C.$$2^{3 8}+2$$
D.$$2^{3 9}$$
7、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用']正确率40.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n} \!=\! 3^{n} \!+\! a ( a$$为常数$${{)}}$$，则数列$${{\{}{{a}^{2}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{1} {2} ( 9^{n} \!-\! 1 )$$
B.$$\frac{1} {4} ( 9^{n} \!-\! 1 )$$
C.$${\frac{1} {8}} ( 9^{n}+a )$$
D.$$\frac{3+a} {8} ( 9^{n}-1 )$$
8、['等比数列前n项和的应用'， '命题的真假性判断'， '等差数列的性质']正确率40.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，首项$${{a}_{1}{>}{0}}$$，公差$${{d}{≠}{0}}$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，有下列命题：$${①}$$若$$S_{4}=S_{1 4}$$，则必有$$S_{1 9} < 0 ; \， \oplus$$若$$S_{4}=S_{1 4}$$，则必有$${{S}_{9}}$$是$${{S}_{n}}$$中的最大项；$${③}$$若$$S_{1 0} > S_{1 1}$$，则必有$$S_{1 1} > S_{1 2} ; \oplus$$若$$S_{9} > S_{1 0}$$，则必有$$S_{8} > S_{1 1}$$.其中正确命题的个数是
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['数列的递推公式'， '等比数列前n项和的应用'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$满足$$S_{n}=1+\frac{1} {4} a_{n} ( n \in N^{*} )$$，则$${{S}_{n}{=}{（}}$$）
D
A.$$1+(-\frac{1} {3} )^{'^{\prime}}$$
B.$$2 \left[ 1-( \frac{1} {3} )^{n} \right]$$
C.$${\frac{9} {1 6}} [ 1-(-{\frac{1} {3}} )^{n} ]$$
D.$$1-(-\frac{1} {3} )^{r}$$
10、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用']正确率60.0%已知等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝的公比$$q=\frac{1} {2}，$$且$$a_{1}+a_{3}+a_{5}+\ldots+a_{9 9}$$$${{=}{{6}{0}}{，}}$$则$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots+a_{1 0 0}$$等于（）
B
A.$${{1}{0}{0}}$$
B.$${{9}{0}}$$
C.$${{6}{0}}$$
D.$${{4}{0}}$$
1. 解析：
等比数列 $$\{a_n\}$$ 的首项 $$a_1 = 1$$，公比为 $$r$$。前 $$n$$ 项和公式为 $$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$$。
根据题意，$$S_5 = 5S_3 - 4$$，代入公式得：
$$\frac{1 - r^5}{1 - r} = 5 \cdot \frac{1 - r^3}{1 - r} - 4$$
化简得 $$1 - r^5 = 5(1 - r^3) - 4(1 - r)$$，即 $$1 - r^5 = 5 - 5r^3 - 4 + 4r$$。
整理得 $$r^5 - 5r^3 + 4r = 0$$，即 $$r(r^4 - 5r^2 + 4) = 0$$。
解得 $$r = 0$$（舍去）或 $$r^2 = 1$$ 或 $$r^2 = 4$$。
若 $$r = 1$$，则 $$S_n = n$$，代入 $$S_5 = 5 = 5 \cdot 3 - 4 = 11$$ 不成立。
若 $$r = -1$$，则 $$S_n$$ 交替为 1 或 0，不满足条件。
若 $$r = 2$$，则 $$S_4 = \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 15$$。
若 $$r = -2$$，则 $$S_4 = \frac{1 - (-2)^4}{1 - (-2)} = -5$$，不符合选项。
因此，$$S_4 = 15$$，答案为 C。
2. 解析：
设第一实验室的设备费为 $$a$$，公比为 $$r$$，则第三实验室为 $$ar^2$$，第五实验室为 $$ar^4$$。
根据题意：
$$ar^2 - a = 9$$，即 $$a(r^2 - 1) = 9$$。
$$ar^4 - ar^2 = 36$$，即 $$ar^2(r^2 - 1) = 36$$。
两式相除得 $$r^2 = 4$$，即 $$r = 2$$（舍去负值）。
代入第一式得 $$a(4 - 1) = 9$$，即 $$a = 3$$。
五个实验室的设备费总和为：
$$S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot 31 = 93$$ 万元。
答案为 A。
3. 解析：
数列 $$1, 5, 5^2, 5^3, \ldots$$ 是首项为 1，公比为 5 的等比数列。
前 10 项和为：
$$S_{10} = \frac{1 \cdot (5^{10} - 1)}{5 - 1} = \frac{1}{4} (5^{10} - 1)$$。
答案为 B。
4. 解析：
等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_2 = -8$$，$$a_7 = \frac{1}{4}$$。
设首项为 $$a_1$$，公比为 $$r$$，则：
$$a_2 = a_1 r = -8$$，
$$a_7 = a_1 r^6 = \frac{1}{4}$$。
两式相除得 $$r^5 = -\frac{1}{32}$$，即 $$r = -\frac{1}{2}$$。
代入 $$a_1 r = -8$$ 得 $$a_1 = 16$$。
前 6 项和为：
$$S_6 = \frac{16 \left[1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^6\right]}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{16 \left(1 - \frac{1}{64}\right)}{\frac{3}{2}} = \frac{16 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{3}{2}} = \frac{63}{6} = \frac{21}{2}$$。
答案为 C。
5. 解析：
等比数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和 $$S_n = 2^{n+1} + a$$。
当 $$n = 1$$ 时，$$S_1 = a_1 = 2^2 + a = 4 + a$$。
当 $$n = 2$$ 时，$$S_2 = a_1 + a_2 = 2^3 + a = 8 + a$$，故 $$a_2 = 4$$。
等比数列公比 $$r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{4 + a}$$。
当 $$n = 3$$ 时，$$S_3 = 16 + a$$，且 $$S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 4 + a + 4 + 4r = 8 + a + 4r$$。
解得 $$16 + a = 8 + a + 4r$$，即 $$r = 2$$。
代入 $$r = \frac{4}{4 + a} = 2$$ 得 $$4 + a = 2$$，即 $$a = -2$$。
答案为 C。
6. 解析：
定义数列 $$\{b_n\}$$ 为 $$b_n = a_{n+1} - 2a_n = 2^{n+1}$$。
递推关系为 $$a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+1}$$。
两边除以 $$2^{n+1}$$ 得 $$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + 1$$。
设 $$c_n = \frac{a_n}{2^n}$$，则 $$c_{n+1} = c_n + 1$$，且 $$c_1 = \frac{a_1}{2} = 1$$。
因此 $$c_n = n$$，即 $$a_n = n \cdot 2^n$$。
前 33 项和为：
$$S_{33} = \sum_{k=1}^{33} k \cdot 2^k$$。
利用求和公式 $$\sum_{k=1}^n k \cdot 2^k = 2^{n+1}(n - 1) + 2$$，得：
$$S_{33} = 2^{34} \cdot 32 + 2 = 2^{39} + 2$$。
答案为 B。
7. 解析：
等比数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和 $$S_n = 3^n + a$$。
当 $$n = 1$$ 时，$$a_1 = S_1 = 3 + a$$。
当 $$n = 2$$ 时，$$S_2 = 9 + a$$，故 $$a_2 = 6$$。
公比 $$r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{3 + a} = 3$$（因为 $$S_n$$ 是等比数列的和）。
解得 $$a = -1$$，故 $$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$$。
数列 $$\{a_n^2\}$$ 是首项为 4，公比为 9 的等比数列，其前 $$n$$ 项和为：
$$T_n = \frac{4(9^n - 1)}{9 - 1} = \frac{1}{2}(9^n - 1)$$。
答案为 A。
8. 解析：
等差数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_1 > 0$$，$$d \neq 0$$。
命题分析：
① 若 $$S_4 = S_{14}$$，则对称性表明 $$S_{18} = 0$$，且 $$S_{19} = S_{18} + a_{19} = a_{19} < 0$$（因为 $$d < 0$$），故正确。
② 若 $$S_4 = S_{14}$$，则 $$S_9$$ 是最大值（对称点），故正确。
③ 若 $$S_{10} > S_{11}$$，则 $$a_{11} < 0$$，且 $$d < 0$$，故 $$S_{11} > S_{12}$$ 正确。
④ 若 $$S_9 > S_{10}$$，则 $$a_{10} < 0$$，且 $$d < 0$$，故 $$S_8 > S_{11}$$ 正确。
综上，四个命题均正确，答案为 D。
9. 解析：
数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$S_n = 1 + \frac{1}{4}a_n$$。
当 $$n = 1$$ 时，$$S_1 = a_1 = 1 + \frac{1}{4}a_1$$，解得 $$a_1 = \frac{4}{3}$$。
当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{4}a_n - \frac{1}{4}a_{n-1}$$，即 $$a_n = -\frac{1}{3}a_{n-1}$$。
因此 $$a_n = \frac{4}{3} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$。
前 $$n$$ 项和为：
$$S_n = 1 + \frac{1}{4}a_n = 1 + \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$。
选项中无完全匹配的表达式，但最接近的是 $$1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n$$（需进一步验证）。
答案为 D（题目可能有笔误，但 D 最接近）。
10. 解析：
等比数列 $$\{a_n\}$$ 的公比 $$q = \frac{1}{2}$$。
奇数项和为 $$a_1 + a_3 + \ldots + a_{99} = 60$$。
奇数项构成新的等比数列，公比为 $$q^2 = \frac{1}{4}$$，其和为：
$$\frac{a_1 \left[1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{50}\right]}{1 - \frac{1}{4}} \approx \frac{a_1}{\frac{3}{4}} = \frac{4a_1}{3} = 60$$，故 $$a_1 = 45$$。
前 100 项和为：
$$S_{100} = \frac{45 \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{100}\right]}{1 - \frac{1}{2}} \approx 90$$。
答案为 B。