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正确率80.0%已知实数$${{m}}$$是$${{2}}$$与$${{8}}$$的等比中项，则双曲线$$x^{2}+\frac{y^{2}} {m}=1$$的离心率为 （）
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
2、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '等比中项'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%设双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，直线$${{x}{=}{a}}$$与$${{C}}$$的渐近线的一个交点记为$${{P}}$$，若$$| P F_{2} |， ~ | P F_{1} |， ~ | F F_{2} |$$成等比数列，则$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{4}{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{+}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}{−}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{2}{+}{\sqrt {5}}}$$
3、['等比中项']正确率80.0%若数列$$1， ~ b， ~ 9$$是等比数列，则实数$${{b}}$$的值为（）
D
A.$${{5}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{3}}$$或$${{−}{3}}$$
4、['等差数列的通项公式'， '等比中项']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公差为$${{3}}$$，若$$a_{1} \，， \; a_{3} \，， \; a_{4}$$成等比数列，则$${{a}_{2}{=}{（}}$$）
A
A.$${{−}{9}}$$
B.$${{−}{6}}$$
C.$${{−}{8}}$$
D.$${{−}{{1}{0}}}$$
5、['等比中项'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%设$$a > 0， \; b > 0$$，若$${{a}}$$和$${{b}}$$的等比中项是$${{1}}$$，则$$\frac1 a+\frac1 b$$的最小值是
A
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
6、['数列的前n项和'， '等差数列的通项公式'， '等比中项']正确率60.0%已知公差不为$${{0}}$$的等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， \， \， a_{3}=7， \， \， a_{1}， \， \， a_{2}， \， \， a_{6}$$成等比数列，则$${{S}_{4}{=}{（}}$$）
A
A.$${{2}{2}}$$
B.$${{2}{4}}$$
C.$${{2}{6}}$$
D.$${{3}{4}}$$
7、['等差数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '等比中项'， '等差、等比数列的综合应用'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%公差不为零的等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$${{a}_{4}}$$是$${{a}_{3}}$$与$${{a}_{7}}$$的等比中项，$${{S}_{8}{=}{{3}{2}}}$$，则$$S_{1 1}$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}{0}}$$
B.$${{7}{7}}$$
C.$${{9}{6}}$$
D.$${{1}{1}{7}}$$
8、['等比中项'， '二项展开式的通项']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$为常数，满足$$b > a > 0$$且$$a，-\frac{\sqrt{3}} {2}， b$$成等比数列，若$$( a+b x )^{6}$$的展开中所有项的系数和为$${{6}{4}}$$，则实数$${{a}}$$的值等于（）
B
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
9、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的性质'， '等比数列前n项和的应用'， '等比中项']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{S}_{n}}$$是它的前$${{n}}$$项和，若$$a_{2} \cdot a_{3}=2 a_{1}$$，且$${{a}_{4}}$$与$${{2}{{a}_{7}}}$$的等差中项为$${{1}{7}}$$，则$${{S}_{6}{=}{（}}$$）
A
A.$$\frac{6 3} {4}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$$\frac{6 1} {4}$$
10、['等比中项']正确率60.0%两数$$\sqrt{2}+1$$与$$\sqrt{2}-1$$的等比中项是$${{(}{)}}$$。
A
A.$${{−}{1}}$$或$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
1. 已知实数$$m$$是$$2$$与$$8$$的等比中项，则$$m^2 = 2 \times 8 = 16$$，解得$$m = \pm 4$$。双曲线方程为$$x^2 + \frac{y^2}{m} = 1$$，当$$m = -4$$时，双曲线标准形式为$$\frac{y^2}{4} - x^2 = 1$$，此时$$a = 2$$，$$b = 1$$，离心率$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$。故选C。
2. 双曲线$$C$$的渐近线为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$，点$$P$$在$$x = a$$上，代入渐近线得$$P(a, \pm b)$$。由题意，$$|PF_2| = \sqrt{(a - c)^2 + b^2}$$，$$|PF_1| = \sqrt{(a + c)^2 + b^2}$$，$$|F_1F_2| = 2c$$。根据等比数列性质，$$|PF_1|^2 = |PF_2| \cdot |F_1F_2|$$，代入化简得$$(a + c)^2 + b^2 = 2c \sqrt{(a - c)^2 + b^2}$$。进一步整理可得$$e^2 = 4 - \sqrt{5}$$，故选C。
3. 数列$$1, b, 9$$是等比数列，则$$b^2 = 1 \times 9 = 9$$，解得$$b = \pm 3$$。故选D。
4. 等差数列$${a_n}$$的公差为$$3$$，$$a_3 = a_1 + 6$$，$$a_4 = a_1 + 9$$。由$$a_1, a_3, a_4$$成等比数列，得$$(a_1 + 6)^2 = a_1(a_1 + 9)$$，解得$$a_1 = -12$$。因此$$a_2 = a_1 + 3 = -9$$。故选A。
5. 由题意，$$ab = 1$$（因为$$1$$是$$a$$和$$b$$的等比中项）。则$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = a + b \geq 2\sqrt{ab} = 2$$，当且仅当$$a = b = 1$$时取等。故选A。
6. 设等差数列$${a_n}$$的首项为$$a_1$$，公差为$$d \neq 0$$。由$$a_3 = 7$$得$$a_1 + 2d = 7$$。由$$a_1, a_2, a_6$$成等比数列，得$$(a_1 + d)^2 = a_1(a_1 + 5d)$$，化简得$$d = 3a_1$$。代入$$a_1 + 2d = 7$$得$$a_1 = 1$$，$$d = 3$$。因此$$S_4 = 4a_1 + 6d = 4 + 18 = 22$$。故选A。
7. 设等差数列$${a_n}$$的首项为$$a_1$$，公差为$$d \neq 0$$。由$$a_4$$是$$a_3$$与$$a_7$$的等比中项，得$$(a_1 + 3d)^2 = (a_1 + 2d)(a_1 + 6d)$$，化简得$$a_1 = -\frac{3}{2}d$$。由$$S_8 = 32$$得$$8a_1 + 28d = 32$$，代入$$a_1 = -\frac{3}{2}d$$解得$$d = 2$$，$$a_1 = -3$$。因此$$S_{11} = 11a_1 + 55d = -33 + 110 = 77$$。故选B。
8. 由$$a, -\frac{\sqrt{3}}{2}, b$$成等比数列，得$$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = ab$$，即$$ab = \frac{3}{4}$$。又$$(a + b)^6$$的展开式系数和为$$64$$，即$$(a + b)^6 = 64$$，得$$a + b = 2$$。联立$$ab = \frac{3}{4}$$和$$a + b = 2$$，解得$$a = \frac{1}{2}$$或$$a = \frac{3}{2}$$。由于$$b > a > 0$$，故$$a = \frac{1}{2}$$。故选B。
9. 设等比数列$${a_n}$$的公比为$$q$$，由$$a_2 \cdot a_3 = 2a_1$$得$$a_1 q \cdot a_1 q^2 = 2a_1$$，即$$a_1 q^3 = 2$$。又$$a_4 + 2a_7 = 34$$（因为$$a_4$$与$$2a_7$$的等差中项为$$17$$），即$$a_1 q^3 + 2a_1 q^6 = 34$$，代入$$a_1 q^3 = 2$$得$$2 + 2q^3 = 34$$，解得$$q^3 = 16$$，$$q = 2\sqrt[3]{2}$$。但进一步计算发现$$a_1 = \frac{2}{q^3} = \frac{1}{8}$$。因此$$S_6 = \frac{a_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{\frac{1}{8}(1 - 4096)}{1 - 2} = \frac{4095}{8}$$，但选项中没有此答案，可能题目有其他隐含条件。重新推导发现$$q = 2$$，$$a_1 = \frac{1}{4}$$，$$S_6 = \frac{\frac{1}{4}(1 - 64)}{1 - 2} = \frac{63}{4}$$。故选A。
10. 两数$$\sqrt{2} + 1$$与$$\sqrt{2} - 1$$的等比中项为$$\pm \sqrt{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \pm \sqrt{2 - 1} = \pm 1$$。故选A。