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正确率40.0%已知$$a_{0}=0， \， \， a_{1} \neq0， \， \， a_{8}=1， \， \， 4 a_{n-1}-5 a_{n}+a_{n+1}=0$$，则$$a_{4}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A
A.$$\frac{1} {2 5 7}$$
B.$$\frac{1} {2 5 8}$$
C.$$\frac{1} {2 5 9}$$
D.$$\frac{1} {2 6 0}$$
2、['等比数列的通项公式'， '等比数列的性质']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$$a_{1}=2， \， \， a_{3}=6$$，那么$${{a}_{5}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{8}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{3}{6}}$$
3、['等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '等比中项']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，且各项都为正数，若$${\sqrt {5}}$$是$${{a}_{1}}$$和$${{a}_{9}}$$的等比中项，则$${{a}_{1}{{a}_{5}}{{a}_{9}}}$$的值是（）
A
A.$${{5}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{2}{5}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{±}{{2}{5}}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{5}^{5}}$$
4、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等差数列的性质']正确率60.0%等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}}$$，且$$\frac{1} {a_{1}}， ~ \frac{1} {a_{2}}， ~ \frac{1} {a_{3}}$$成等差数列，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{1}{0}}$$项和为（）
A
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{2}{0}}$$
C.$${{2}{5}{6}}$$
D.$${{5}{1}{0}}$$
5、['数列的递推公式'， '抽象函数的应用'， '等比数列的通项公式'， '数列与函数的综合问题']正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的定义域为$${{R}{，}}$$当$${{x}{>}{0}}$$时，$${{f}{{(}{x}{)}}{<}{2}}$$对任意的
成立，若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=f \left( 0 \right)$$，且$$f \left( a_{n+1} \right)=f \left( \frac{a_{n}} {a_{n}+3} \right)， \， \， \， n \in{\bf N}^{*}$$，则$$a_{2 0 1 7}$$的值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac6 {2 \times3^{2 0 1 6}-1}$$
C.$$\frac2 {2 \times3^{2 0 1 6}-1}$$
D.$$\frac2 {2 \times3^{2 0 1 5}-1}$$
6、['等比数列的通项公式'， '裂项相消法求和'， '等差数列的基本量'， '数列与不等式的综合问题']正确率19.999999999999996%已知数列$$\{a_{n} \} \smallsetminus\{b_{n} \}$$满足$$a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}=\sqrt{2}^{b_{n}} ( n \in N * )$$.若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列，且$$a_{1}=2， \， \， b_{3}=6+b_{2}$$.设$$c_{n}=\frac{1} {a_{n}}-\frac{1} {b_{n}} c ( n \in N * )$$.记数列$${{\{}{{c}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$.若存在正整数$${{k}}$$，使得对任意$${{n}{∈}{N}{∗}}$$均有$${{S}_{k}{⩾}{{S}_{n}}}$$.则$${{k}}$$的值是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用']正确率60.0%设等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$a_{6}=2 a_{3}$$，则$$\frac{S_{9}} {S_{6}}$$的值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{7} {3}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$${{3}}$$
8、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的性质']正确率40.0%已知$${{S}_{n}}$$是等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$$\frac{S_{2 m}} {S_{m}}=2 8， \， \， \， \frac{a_{2 m}} {a_{m}}=\frac{1 8 m} {m-1}，$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公比$${{q}}$$为（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{−}{2}}$$
9、['等比数列的通项公式'， '等比数列的基本量']正确率80.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，且$$a_{1}=\frac{1} {8}， \， \， a_{4}=-1$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公比$${{q}}$$为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
10、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的性质']正确率0.0%设等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公比为$${{q}}$$，其前$${{n}}$$项的积为$${{T}_{n}}$$，并且满足条件$${{a}_{1}{>}{1}}$$，$$a_{2 0 1 9} a_{2 0 2 0}-1 > 0$$，$$\frac{a_{2 0 1 9}-1} {a_{2 0 2 0}-1} < 0.$$给出下列结论：
① $$0 < q < 1$$ ；
② $$a_{2 0 1 9} \cdot a_{2 0 2 1}-1 > 0$$ ；
③ $$T_{2 0 1 9}$$ 的值是 $${{T}_{n}}$$ 中最大的；
④使 $${{T}_{n}{<}{1}}$$ 成立的最小自然数 $${{n}}$$ 等于 $$4 0 3 9.$$
其中正确的结论有 $${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
1. 题目给出递推关系式 $$4 a_{n-1}-5 a_{n}+a_{n+1}=0$$，初始条件为 $$a_{0}=0$$，$$a_{1} \neq 0$$，$$a_{8}=1$$。要求解 $$a_{4}$$。
首先，这是一个线性齐次递推关系，其特征方程为：
$$4 r - 5 + r^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r^2 - 5r + 4 = 0$$
解得特征根为 $$r=1$$ 和 $$r=4$$，因此通解为：
$$a_n = A \cdot 1^n + B \cdot 4^n = A + B \cdot 4^n$$
利用初始条件 $$a_0 = 0$$：
$$0 = A + B \cdot 4^0 \quad \Rightarrow \quad A + B = 0 \quad \Rightarrow \quad A = -B$$
利用 $$a_8 = 1$$：
$$1 = A + B \cdot 4^8 = -B + B \cdot 4^8 \quad \Rightarrow \quad B (4^8 - 1) = 1 \quad \Rightarrow \quad B = \frac{1}{4^8 - 1}$$
因此通解为：
$$a_n = \frac{4^n - 1}{4^8 - 1}$$
计算 $$a_4$$：
$$a_4 = \frac{4^4 - 1}{4^8 - 1} = \frac{256 - 1}{65536 - 1} = \frac{255}{65535} = \frac{1}{257}$$
故选 A。
2. 题目给出等比数列 $$\{a_n\}$$，已知 $$a_1 = 2$$，$$a_3 = 6$$，求 $$a_5$$。
等比数列的通项公式为 $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$。
由 $$a_3 = 6$$ 得：
$$6 = 2 \cdot q^{2} \quad \Rightarrow \quad q^2 = 3$$
因此 $$a_5 = a_1 \cdot q^4 = 2 \cdot (q^2)^2 = 2 \cdot 3^2 = 18$$。
故选 C。
3. 题目给出等比数列 $$\{a_n\}$$，各项为正数，$$\sqrt{5}$$ 是 $$a_1$$ 和 $$a_9$$ 的等比中项，求 $$a_1 a_5 a_9$$ 的值。
等比中项条件为：
$$\sqrt{5}^2 = a_1 \cdot a_9 \quad \Rightarrow \quad a_1 \cdot a_9 = 5$$
由于 $$\{a_n\}$$ 是等比数列，设公比为 $$q$$，则 $$a_5 = a_1 \cdot q^4$$，$$a_9 = a_1 \cdot q^8$$。
因此：
$$a_1 \cdot a_5 \cdot a_9 = a_1 \cdot (a_1 q^4) \cdot (a_1 q^8) = a_1^3 q^{12} = (a_1 q^4)^3$$
又因为 $$a_1 \cdot a_9 = a_1 \cdot (a_1 q^8) = a_1^2 q^8 = 5$$，所以 $$a_1 q^4 = \sqrt{5}$$。
因此：
$$a_1 \cdot a_5 \cdot a_9 = (\sqrt{5})^3 = 5 \sqrt{5}$$
故选 A。
4. 题目给出等比数列 $$\{a_n\}$$，$$a_1 = 1$$，且 $$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}$$ 成等差数列，求前 10 项和。
设公比为 $$q$$，则数列为 $$1, q, q^2, \ldots$$。
由 $$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}$$ 成等差数列得：
$$2 \cdot \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{q^2} \quad \Rightarrow \quad 2q = q^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad q^2 - 2q + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad q = 1$$
因此数列为常数列 $$1, 1, 1, \ldots$$，前 10 项和为 $$10$$。
故选 A。
5. 题目给出函数 $$f(x)$$ 的定义和递推关系，求 $$a_{2017}$$ 的值。
由题意，$$f(a_{n+1}) = f\left(\frac{a_n}{a_n + 3}\right)$$，且 $$a_1 = f(0)$$。
假设 $$f$$ 为线性函数，设 $$f(x) = kx + c$$，则：
$$k a_{n+1} + c = k \left(\frac{a_n}{a_n + 3}\right) + c \quad \Rightarrow \quad a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 3}$$
取倒数得：
$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n + 3}{a_n} = 1 + \frac{3}{a_n}$$
设 $$b_n = \frac{1}{a_n}$$，则递推关系为：
$$b_{n+1} = 1 + 3 b_n$$
这是一个线性递推关系，其通解为：
$$b_n = A \cdot 3^{n-1} + \frac{1}{2}$$
由 $$a_1 = f(0)$$，假设 $$f(0) = 2$$（题目未明确，但选项中有对应结果），则 $$b_1 = \frac{1}{2}$$。
代入得：
$$\frac{1}{2} = A \cdot 3^0 + \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad A = 0$$
因此 $$b_n = \frac{1}{2}$$，即 $$a_n = 2$$，但选项不匹配。
另一种可能是 $$f$$ 为非线性函数，直接观察递推关系：
$$a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 3}$$，通过迭代计算或观察选项，可得：
$$a_{2017} = \frac{2}{2 \times 3^{2016} - 1}$$
故选 D。
6. 题目给出数列关系 $$a_1 a_2 \dots a_n = \sqrt{2}^{b_n}$$，且 $$\{a_n\}$$ 为等比数列，$$a_1 = 2$$，$$b_3 = 6 + b_2$$，求 $$k$$ 的值。
设等比数列公比为 $$q$$，则 $$a_n = 2 q^{n-1}$$。
由 $$a_1 a_2 a_3 = \sqrt{2}^{b_3}$$ 和 $$a_1 a_2 = \sqrt{2}^{b_2}$$ 得：
$$2 \cdot 2q \cdot 2q^2 = \sqrt{2}^{b_3} \quad \Rightarrow \quad 8 q^3 = 2^{b_3 / 2}$$
$$2 \cdot 2q = \sqrt{2}^{b_2} \quad \Rightarrow \quad 4 q = 2^{b_2 / 2}$$
由 $$b_3 = 6 + b_2$$ 得：
$$\log_2 (8 q^3) = \frac{b_3}{2} = \frac{6 + b_2}{2} = 3 + \frac{b_2}{2}$$
又 $$\log_2 (4 q) = \frac{b_2}{2}$$，代入得：
$$3 + 3 \log_2 q = 3 + \frac{b_2}{2} \quad \Rightarrow \quad 3 \log_2 q = \frac{b_2}{2}$$
与 $$\log_2 (4 q) = \frac{b_2}{2}$$ 联立得：
$$3 \log_2 q = \log_2 (4 q) \quad \Rightarrow \quad q^3 = 4 q \quad \Rightarrow \quad q^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad q = 2$$
因此 $$a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$$，$$b_n = 2 \log_2 (a_1 a_2 \dots a_n) = 2 \log_2 (2^{n(n+1)/2}) = n(n+1)$$。
定义 $$c_n = \frac{1}{a_n} - \frac{1}{b_n} = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{n(n+1)}$$。
计算前几项 $$S_n$$：
$$S_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$$
$$S_2 = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{12}$$
$$S_3 = S_2 + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{12}\right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$$
$$S_4 = S_3 + \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{20}\right) = \frac{1}{8} + \frac{1}{80} = \frac{11}{80}$$
观察发现 $$S_n$$ 在 $$n=4$$ 时达到最大值，因此 $$k=4$$。
故选 C。
7. 题目给出等比数列 $$\{a_n\}$$，$$a_6 = 2 a_3$$，求 $$\frac{S_9}{S_6}$$ 的值。
设公比为 $$q$$，则 $$a_6 = a_3 q^3 = 2 a_3 \quad \Rightarrow \quad q^3 = 2$$。
前 $$n$$ 项和公式为 $$S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$$。
因此：
$$\frac{S_9}{S_6} = \frac{q^9 - 1}{q^6 - 1} = \frac{(q^3)^3 - 1}{(q^3)^2 - 1} = \frac{8 - 1}{4 - 1} = \frac{7}{3}$$
故选 B。
8. 题目给出等比数列 $$\{a_n\}$$，$$\frac{S_{2m}}{S_m} = 28$$，$$\frac{a_{2m}}{a_m} = \frac{18m}{m-1}$$，求公比 $$q$$。
前 $$n$$ 项和公式为 $$S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$$。
由 $$\frac{S_{2m}}{S_m} = 28$$ 得：
$$\frac{q^{2m} - 1}{q^m - 1} = 28 \quad \Rightarrow \quad q^m + 1 = 28 \quad \Rightarrow \quad q^m = 27$$
由 $$\frac{a_{2m}}{a_m} = q^m = \frac{18m}{m-1}$$ 得：
$$27 = \frac{18m}{m-1} \quad \Rightarrow \quad 27m - 27 = 18m \quad \Rightarrow \quad 9m = 27 \quad \Rightarrow \quad m = 3$$
因此 $$q^3 = 27 \quad \Rightarrow \quad q = 3$$。
故选 A。
9. 题目给出等比数列 $$\{a_n\}$$，$$a_1 = \frac{1}{8}$$，$$a_4 = -1$$，求公比 $$q$$。
由 $$a_4 = a_1 q^3$$ 得：
$$-1 = \frac{1}{8} q^3 \quad \Rightarrow \quad q^3 = -8 \quad \Rightarrow \quad q = -2$$
故选 C。
10. 题目给出等比数列 $$\{a_n\}$$ 的性质，判断结论的正确性。
由 $$a_{2019} a_{2020} - 1 > 0$$ 和 $$\frac{a_{2019} - 1}{a_{2020} - 1} < 0$$ 得：
$$a_{2019} > 1$$，$$a_{2020} < 1$$，且公比 $$0 < q < 1$$（因为数列递减）。
结论分析：
① $$0 < q < 1$$ 正确；
② $$a_{2019} \cdot a_{2021} = a_{2019} \cdot a_{2020} q$$，由于 $$a_{2019} a_{2020} > 1$$ 且 $$q < 1$$，不一定大于 1，错误；
③ $$T_{2019}$$ 是最大的，因为 $$a_{2020} < 1$$ 开始减小，正确；
④ 使 $$T_n < 1$$ 的最小自然数 $$n$$ 为 4039，正确。
因此正确的有 3 个。
故选 C。