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正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{2}}$$，则$${{“}}$$$$\forall p， r \in\mathbf{N}^{*}， a_{p+r}=a_{p} a_{r}$$$${{”}}$$是$${{“}}$$$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列$${{”}}$$的（）
A
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3、['等差数列的定义与证明'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，且$$a_{n} > 0，$$若$$b_{n}=\operatorname{l o g}_{2} a_{n}，$$则（）
C
A.$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$一定是递增的等差数列
B.$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$不可能是等比数列
C.$$\{2 b_{2 n-1}+1 \}$$是等差数列
D.$$\{3^{b_{n}} \}$$不是等比数列
4、['等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=2 a_{n}， \， \， a_{1}+a_{4}=2$$，则$$a_{5}+a_{8}=\c($$）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{3}{2}}$$
D.$${{6}{4}}$$
5、['数列的递推公式'， '等比数列的基本量'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， ~ l o g_{3} a_{n+1}=l o g_{3} a_{n}+1$$，它的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则满足$${{S}_{n}{>}{{1}{0}{0}{0}}}$$的最小$${{n}}$$值是（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
6、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%设$$a_{1}=3， \， \， a_{n}=\frac{1} {2} a_{n-1}+1 ( n \geq2， n \in N * )$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$$a_{n}=( \eta)$$
A
A.$$\frac{2^{n}+1} {2^{n-1}}$$
B.$$\frac{2^{n}-1} {2^{n-1}}$$
C.$$\frac{2^{n}+1} {2^{n+1}}$$
D.$$\frac{2^{n}-1} {2^{n+1}}$$
7、['数列的递推公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明'， '分组求和法']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， \， a_{n} \cdot a_{n+1}=2^{n} \， ( n \in N^{*} ). \， S_{n}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$${{(}{)}}$$
D
A.数列$$\{a_{2 n-1} \}$$是等差数列
B.数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列
C.$$a_{2 0 1 9}=2^{2 0 1 9}$$
D.$$S_{2 0 1 9}=2^{1 0 1 1}-3$$
8、['数列的递推公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=\frac{4^{n}-1} {3}$$，则数列$${{\{}{\sqrt {{a}_{n}}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$T_{n}=( \textsubscript{\Pi} )$$
A
A.$${{2}^{n}{−}{1}}$$
B.$$\sqrt{\frac{4^{n}-1} {3}}$$
C.$$\frac{2^{n}-1} {3}$$
D.$$\frac{2^{n+1}-3} {3}$$
9、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$满足$$a_{1}=0，$$$$a_{n+1}=2 a_{n}+n，$$$$b_{n}=a_{n}+n+1$$，则$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为（）
D
A.$${{4}^{n}{−}{2}}$$
B.$${{2}^{n}{+}{1}}$$
C.$${{2}^{n}}$$
D.$$2^{n+1}-2$$
10、['古典概型的概率计算公式'， '组合的应用'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%如果$${{3}}$$个正整数按照自身顺序或者经过调整顺序可以组成一个等比数列，则称这$${{3}}$$个数为一组$${{“}}$$等比数$${{”}{（}}$$如：$$( 1， ~ 2， ~ 4 )$$与$$( \mathbf{4}， \mathbf{\lambda}， \mathbf{1} )$$视为一组$${{“}}$$等比数$${{”}{）}}$$.从$$1， ~ 2， ~ 3， ~ 4， ~ 5， ~ 6， ~ 7， ~ 8， ~ 9$$中任取$${{3}}$$个不同的数，则这$${{3}}$$个数构成一组$${{“}}$$等比数$${{”}}$$的概率为（）
C
A.$$\frac1 {4 2}$$
B.$$\frac{1} {2 8}$$
C.$$\frac{1} {2 1}$$
D.$$\frac{5} {8 4}$$
1. 解析：
题目条件为：$$a_1 = 2$$，且对于任意正整数 $$p, r$$，有 $$a_{p+r} = a_p a_r$$。
由递推关系，可以推导出数列的通项公式为 $$a_n = 2^n$$，这是一个等比数列。
反过来，如果数列是等比数列，设公比为 $$q$$，则 $$a_n = a_1 q^{n-1}$$，代入条件 $$a_{p+r} = a_p a_r$$，得到 $$a_1 q^{p+r-1} = a_1 q^{p-1} \cdot a_1 q^{r-1}$$，化简得 $$q = a_1$$。由于 $$a_1 = 2$$，所以 $$q = 2$$，即数列必须为 $$a_n = 2^n$$。
因此，条件是充分且必要的。
答案：$$C$$
3. 解析：
设等比数列 $$\{a_n\}$$ 的公比为 $$q$$，则 $$a_n = a_1 q^{n-1}$$。
由题意 $$a_n > 0$$，且 $$b_n = \log_2 a_n = \log_2 a_1 + (n-1) \log_2 q$$。
分析选项：
A. $$\{b_n\}$$ 是等差数列，但未必递增（若 $$0 < q < 1$$，则递减）。
B. 若 $$a_1 = 1$$ 且 $$q = 2$$，则 $$b_n = n-1$$，此时 $$\{b_n\}$$ 是等差数列，不是等比数列；但如果 $$a_1 = 1$$ 且 $$q = 1$$，则 $$b_n = 0$$，此时 $$\{b_n\}$$ 既是等差数列也是等比数列。因此 B 不完全正确。
C. $$2b_{2n-1} + 1 = 2(\log_2 a_1 + (2n-2) \log_2 q) + 1$$，这是一个关于 $$n$$ 的一次函数，故 $$\{2b_{2n-1} + 1\}$$ 是等差数列。
D. $$3^{b_n} = 3^{\log_2 a_1} \cdot (3^{\log_2 q})^{n-1}$$，若 $$q = 2$$，则 $$3^{b_n} = 3^{\log_2 a_1} \cdot 3^{n-1}$$，此时 $$\{3^{b_n}\}$$ 是等比数列。因此 D 不完全正确。
综上，正确答案为 C。
答案：$$C$$
4. 解析：
由递推关系 $$a_{n+1} = 2a_n$$，可知数列 $$\{a_n\}$$ 是等比数列，公比为 $$2$$。
设首项为 $$a_1$$，则 $$a_4 = a_1 \cdot 2^3 = 8a_1$$。
由条件 $$a_1 + a_4 = 2$$，即 $$a_1 + 8a_1 = 2$$，解得 $$a_1 = \frac{2}{9}$$。
因此，$$a_5 = a_1 \cdot 2^4 = \frac{32}{9}$$，$$a_8 = a_1 \cdot 2^7 = \frac{256}{9}$$。
所以 $$a_5 + a_8 = \frac{32}{9} + \frac{256}{9} = 32$$。
答案：$$C$$
5. 解析：
由递推关系 $$\log_3 a_{n+1} = \log_3 a_n + 1$$，可得 $$\log_3 a_{n+1} - \log_3 a_n = 1$$，即 $$\log_3 \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = 1$$，因此 $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 3$$。
数列 $$\{a_n\}$$ 是等比数列，公比为 $$3$$，首项 $$a_1 = 1$$，故 $$a_n = 3^{n-1}$$。
前 $$n$$ 项和 $$S_n = \frac{3^n - 1}{2}$$。
由 $$S_n > 1000$$，即 $$\frac{3^n - 1}{2} > 1000$$，解得 $$3^n > 2001$$。
计算 $$3^6 = 729$$，$$3^7 = 2187$$，因此最小 $$n$$ 值为 $$7$$。
答案：$$C$$
6. 解析：
递推关系为 $$a_n = \frac{1}{2} a_{n-1} + 1$$，设 $$a_n - c = \frac{1}{2}(a_{n-1} - c)$$，解得 $$c = 2$$。
因此，$$a_n - 2 = \frac{1}{2}(a_{n-1} - 2)$$，数列 $$\{a_n - 2\}$$ 是等比数列，公比为 $$\frac{1}{2}$$。
由首项 $$a_1 = 3$$，得 $$a_n - 2 = (3 - 2) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$。
故 $$a_n = 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{2^n + 1}{2^{n-1}}$$。
答案：$$A$$
7. 解析：
由递推关系 $$a_n \cdot a_{n+1} = 2^n$$，且 $$a_1 = 1$$。
计算前几项：
$$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，$$a_3 = 2$$，$$a_4 = 4$$，$$a_5 = 4$$，$$a_6 = 8$$，……
发现奇数项和偶数项分别构成等比数列：
奇数项 $$a_{2n-1} = 2^{n-1}$$，偶数项 $$a_{2n} = 2^n$$。
分析选项：
A. $$\{a_{2n-1}\}$$ 是等比数列，不是等差数列。
B. $$\{a_n\}$$ 不是等比数列（奇数项和偶数项公比不同）。
C. $$a_{2019} = a_{2 \times 1010 - 1} = 2^{1010 - 1} = 2^{1009} \neq 2^{2019}$$。
D. $$S_{2019} = \sum_{k=1}^{2019} a_k = \sum_{k=1}^{1009} a_{2k-1} + \sum_{k=1}^{1010} a_{2k} = \sum_{k=1}^{1009} 2^{k-1} + \sum_{k=1}^{1010} 2^k = (2^{1009} - 1) + (2^{1011} - 2) = 2^{1011} + 2^{1009} - 3$$，与选项不符。
综上，选项均不正确，但题目可能有误，重新推导：
实际上，$$S_{2019} = \sum_{k=1}^{1009} a_{2k-1} + \sum_{k=1}^{1010} a_{2k} = \sum_{k=1}^{1009} 2^{k-1} + \sum_{k=1}^{1010} 2^k = (2^{1009} - 1) + (2^{1011} - 2) = 2^{1011} + 2^{1009} - 3$$，但选项 D 为 $$2^{1011} - 3$$，不完全匹配。
可能题目描述有误，暂无法确定正确答案。
8. 解析：
已知 $$S_n = \frac{4^n - 1}{3}$$，则 $$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{4^n - 1}{3} - \frac{4^{n-1} - 1}{3} = \frac{4^n - 4^{n-1}}{3} = 4^{n-1}$$。
因此，$$\sqrt{a_n} = 2^{n-1}$$。
数列 $$\{\sqrt{a_n}\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$T_n = \sum_{k=1}^n 2^{k-1} = 2^n - 1$$。
答案：$$A$$
9. 解析：
由递推关系 $$a_{n+1} = 2a_n + n$$，且 $$a_1 = 0$$。
设 $$b_n = a_n + n + 1$$，则 $$b_{n+1} = a_{n+1} + (n+1) + 1 = 2a_n + n + n + 2 = 2(a_n + n + 1) = 2b_n$$。
因此，$$b_n$$ 是等比数列，公比为 $$2$$，首项 $$b_1 = a_1 + 1 + 1 = 2$$。
故 $$b_n = 2^n$$。
前 $$n$$ 项和为 $$\sum_{k=1}^n 2^k = 2^{n+1} - 2$$。
答案：$$D$$
10. 解析：
从 $$1$$ 到 $$9$$ 中任取 $$3$$ 个不同的数，总共有 $$\binom{9}{3} = 84$$ 种可能。
“等比数”组需满足 $$(a, ar, ar^2)$$ 或 $$(ar^2, ar, a)$$，其中 $$r$$ 为正有理数。
枚举可能的等比数列：
1. 公比 $$r = 2$$：$$(1, 2, 4)$$，$$(2, 4, 8)$$，$$(4, 8, 9)$$（不合法，因为 $$9 \neq 16$$），共 $$2$$ 组。
2. 公比 $$r = \frac{3}{2}$$：$$(4, 6, 9)$$，共 $$1$$ 组。
3. 公比 $$r = \frac{1}{2}$$：$$(4, 2, 1)$$，$$(8, 4, 2)$$，共 $$2$$ 组。
4. 公比 $$r = \frac{2}{3}$$：$$(9, 6, 4)$$，共 $$1$$ 组。
总计 $$2 + 1 + 2 + 1 = 6$$ 组。
但题目要求“调整顺序”也算同一组，因此每组只算一次，共 $$4$$ 组：$$(1, 2, 4)$$，$$(2, 4, 8)$$，$$(4, 6, 9)$$，$$(9, 6, 4)$$。
概率为 $$\frac{4}{84} = \frac{1}{21}$$。
答案：$$C$$