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正确率60.0%设等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$$\frac{S_{1 0}} {S_{5}}=\frac{1} {2}，$$则$$\frac{S_{1 5}} {S_{5}}=$$（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
2、['等比数列前n项和的性质']正确率60.0%设等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$$S_{3}=9， \ S_{6}=3 6，$$则$$a_{7}+a_{8}+a_{9}=$$（）
B
A.$${{1}{4}{4}}$$
B.$${{8}{1}}$$
C.$${{4}{5}}$$
D.$${{6}{3}}$$
3、['等比数列前n项和的性质'， '等比数列前n项和的应用']正确率40.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$S_{n}=\frac{3^{n+1}+t} {2}$$，若对任意的$$n \in N *， ~ ~ ( 2 S_{n}+3 ) ~ ~ \lambda\geqslant2 7 ~ ( n-5 )$$恒成立，则实数$${{λ}}$$的取值范围是（）
A
A.$$[ \frac{1} {8 1}， ~+\infty)$$
B.$$[ \frac{1} {2 7}， ~+\infty)$$
C.$$[ \frac{1} {6 4}， ~+\infty)$$
D.$$[ \frac{1} {1 6}， ~+\infty)$$
4、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的性质']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}+a_{4}+a_{7}=2， \ a_{3}+a_{6}+a_{9}=8$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{9}}$$项和$${{S}_{9}{=}{（}}$$）
D
A.$${{6}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{6}}$$或$${{1}{8}}$$
D.$${{6}}$$或$${{1}{4}}$$
5、['等比数列前n项和的性质'， '等比数列前n项和的应用']正确率80.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公比为$$3， ~ a_{1}=2$$，前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}{=}{{2}{4}{2}}}$$，则$${{n}{=}{（}}$$）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
6、['等比数列前n项和的性质'， '等差数列的前n项和的性质']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项，前$${{2}{n}}$$项，前$${{3}{n}}$$项的和分别为$$a， ~ b， ~ c$$，则下列说法错误的是（）
C
A.若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，则$$3 b-3 a=c$$
B.若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，则$$a， \， \， b-a， \， \， c-b$$也为等差数列
C.若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，则$$a^{2}+b^{2}=a b+b c$$
D.若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，则$$a， \， \， b-a， \， \， c-b$$也为等比数列
7、['等比数列的性质'， '充分、必要条件的判定'， '等比数列前n项和的性质'， '等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质']正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则下列命题：
$${{(}{1}{)}}$$若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是递增数列，则数列$${{\{}{{S}_{n}}{\}}}$$也是递增数列；
$${{(}{2}{)}}$$数列$${{\{}{{S}_{n}}{\}}}$$是递增数列的充要条件是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的各项均为正数；
$${{(}{3}{)}}$$若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列(公差$${{d}{≠}{0}{)}}$$，则$$S_{1} \cdot S_{2} \ldots S_{k}=0$$的充要条件是$$a_{1} \cdot a_{2} \ldots a_{k}=0$$；
$${{(}{4}{)}}$$若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，则$$S_{1} \cdot S_{2} \ldots S_{k}=0 ( k \geqslant2， k \in N^{*} )$$的充要条件是$$a_{n}+a_{n+1}=0$$．
其中，正确命题的个数是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{0}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.$${{3}}$$个
8、['等比数列前n项和的性质'， '等比中项']正确率40.0%等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{3}}$$项和为$${{4}}$$，前$${{9}}$$项和为$${{2}{8}}$$，则它的前$${{6}}$$项和是（）
C
A.$${{−}{8}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{−}{8}}$$或$${{1}{2}}$$
D.$${{8}}$$
9、['等比数列的性质'， '等比数列前n项和的性质'， '等比数列前n项和的应用']正确率60.0%svg异常
B
A.$${{9}{0}}$$
B.$${{7}{0}}$$
C.$${{5}{0}}$$
D.$${{3}{0}}$$
10、['等比数列前n项和的性质']正确率40.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n} \ ( \ a_{n} \in R )$$，且$$S_{2}=7， ~ S_{6}=9 1$$，则$${{S}_{4}}$$的值为（）
B
A.$${{2}{1}}$$
B.$${{2}{8}}$$
C.$${{−}{{2}{1}}}$$
D.$${{2}{8}}$$或$${{−}{{2}{1}}}$$
### 第一题解析 **题目**：等比数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，若 $$\frac{S_{10}}{S_5} = \frac{1}{2}$$，求 $$\frac{S_{15}}{S_5}$$。 **解析**： 1. **等比数列求和公式**： $$S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$$（$$q \neq 1$$）。 2. **根据题意**： $$\frac{S_{10}}{S_5} = \frac{a_1 \frac{1 - q^{10}}{1 - q}}{a_1 \frac{1 - q^5}{1 - q}} = \frac{1 - q^{10}}{1 - q^5} = \frac{1}{2}$$。 3. **化简**： $$1 - q^{10} = \frac{1}{2}(1 - q^5)$$ $$2 - 2q^{10} = 1 - q^5$$ $$2q^{10} - q^5 - 1 = 0$$。 4. **设 $$x = q^5$$**： 方程变为 $$2x^2 - x - 1 = 0$$，解得 $$x = 1$$ 或 $$x = -\frac{1}{2}$$。 5. **排除 $$x = 1$$**（$$q = 1$$ 时 $$S_{10}/S_5 = 2 \neq \frac{1}{2}$$）： 取 $$x = -\frac{1}{2}$$，即 $$q^5 = -\frac{1}{2}$$。 6. **计算 $$S_{15}/S_5$$**： $$\frac{S_{15}}{S_5} = \frac{1 - q^{15}}{1 - q^5} = \frac{1 - (q^5)^3}{1 - q^5} = 1 + q^5 + q^{10}$$ 代入 $$q^5 = -\frac{1}{2}$$： $$1 + (-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$。 --- ### 第二题解析 **题目**：等比数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，若 $$S_3 = 9$$，$$S_6 = 36$$，求 $$a_7 + a_8 + a_9$$。 **解析**： 1. **等比数列性质**： $$S_3, S_6 - S_3, S_9 - S_6$$ 也成等比数列。 2. **已知条件**： $$S_3 = 9$$，$$S_6 - S_3 = 27$$，设公比为 $$r$$，则 $$S_9 - S_6 = 27r$$。 3. **求公比**： $$\frac{S_6 - S_3}{S_3} = r = \frac{27}{9} = 3$$。 4. **计算 $$S_9 - S_6$$**： $$S_9 - S_6 = 27 \times 3 = 81$$。 5. **所求部分**： $$a_7 + a_8 + a_9 = S_9 - S_6 = 81$$。 **答案**：$$\boxed{B}$$。 --- ### 第三题解析 **题目**：等比数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n = \frac{3^{n+1} + t}{2}$$，且对任意 $$n \in \mathbb{N}^*$$，$$(2S_n + 3)\lambda \geq 27(n - 5)$$ 恒成立，求 $$\lambda$$ 的取值范围。 **解析**： 1. **确定 $$t$$**： 由 $$S_1 = a_1 = \frac{3^2 + t}{2} = \frac{9 + t}{2}$$ $$S_2 = \frac{27 + t}{2} = a_1 + a_2 = \frac{9 + t}{2} + a_2$$ 由于 $$\{a_n\}$$ 是等比数列，设公比为 $$q$$，则 $$a_2 = qa_1$$ 代入得 $$\frac{27 + t}{2} = \frac{9 + t}{2}(1 + q)$$ 又 $$S_1 = \frac{9 + t}{2}$$，$$S_2 = \frac{27 + t}{2}$$，解得 $$q = 3$$，$$t = -3$$。 2. **不等式化简**： $$S_n = \frac{3^{n+1} - 3}{2}$$ $$2S_n + 3 = 3^{n+1}$$ 不等式变为 $$3^{n+1}\lambda \geq 27(n - 5)$$ 即 $$\lambda \geq \frac{27(n - 5)}{3^{n+1}} = \frac{n - 5}{3^{n-2}}$$。 3. **求最大值**： 设 $$f(n) = \frac{n - 5}{3^{n-2}}$$，计算 $$f(n)$$ 的最大值： - $$f(1) = \frac{-4}{3^{-1}} = -12$$ - $$f(2) = \frac{-3}{1} = -3$$ - $$f(3) = \frac{-2}{3}$$ - $$f(4) = \frac{-1}{9}$$ - $$f(5) = 0$$ - $$f(6) = \frac{1}{81}$$ - $$f(7) = \frac{2}{243}$$ 显然 $$f(n)$$ 在 $$n \geq 5$$ 时递增，但最大值出现在 $$n = 6$$，为 $$\frac{1}{81}$$。 4. **$$\lambda$$ 的范围**： $$\lambda \geq \frac{1}{81}$$。 **答案**：$$\boxed{A}$$。 --- ### 第四题解析 **题目**：等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_1 + a_4 + a_7 = 2$$，$$a_3 + a_6 + a_9 = 8$$，求前 $$9$$ 项和 $$S_9$$。 **解析**： 1. **等比数列性质**： 设公比为 $$q$$，则 $$a_4 = a_1 q^3$$，$$a_7 = a_1 q^6$$ $$a_1 + a_4 + a_7 = a_1 (1 + q^3 + q^6) = 2$$ 同理 $$a_3 + a_6 + a_9 = a_1 q^2 (1 + q^3 + q^6) = 8$$。 2. **求公比**： 两式相除得 $$\frac{a_1 q^2 (1 + q^3 + q^6)}{a_1 (1 + q^3 + q^6)} = q^2 = \frac{8}{2} = 4$$ 所以 $$q = 2$$ 或 $$q = -2$$。 3. **求 $$a_1$$**： - 若 $$q = 2$$：$$a_1 (1 + 8 + 64) = 2 \Rightarrow a_1 = \frac{2}{73}$$ $$S_9 = a_1 \frac{1 - q^9}{1 - q} = \frac{2}{73} \cdot \frac{1 - 512}{-1} = \frac{2 \times 511}{73} = 14$$ - 若 $$q = -2$$：$$a_1 (1 - 8 + 64) = 2 \Rightarrow a_1 = \frac{2}{57}$$ $$S_9 = \frac{2}{57} \cdot \frac{1 - (-512)}{3} = \frac{2 \times 513}{57 \times 3} = 6$$。 4. **结论**： $$S_9$$ 可能为 $$6$$ 或 $$14$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$。 --- ### 第五题解析 **题目**：等比数列 $$\{a_n\}$$ 的公比为 $$3$$，首项 $$a_1 = 2$$，前 $$n$$ 项和 $$S_n = 242$$，求 $$n$$。 **解析**： 1. **求和公式**： $$S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} = 2 \cdot \frac{1 - 3^n}{-2} = 3^n - 1$$。 2. **代入已知**： $$3^n - 1 = 242 \Rightarrow 3^n = 243 = 3^5 \Rightarrow n = 5$$。 **答案**：$$\boxed{C}$$。 --- ### 第六题解析 **题目**：数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项、前 $$2n$$ 项、前 $$3n$$ 项的和分别为 $$a$$、$$b$$、$$c$$，判断选项正误。 **解析**： 1. **选项 A（等差数列）**： $$S_n = a$$，$$S_{2n} = b$$，$$S_{3n} = c$$ 等差数列性质：$$S_n, S_{2n} - S_n, S_{3n} - S_{2n}$$ 成等差 即 $$a, b - a, c - b$$ 成等差，故 $$2(b - a) = a + (c - b)$$ 化简得 $$3b - 3a = c$$，选项 A 正确。 2. **选项 B（等差数列）**： 由上述推导，$$a, b - a, c - b$$ 成等差，选项 B 正确。 3. **选项 C（等比数列）**： 等比数列性质：$$S_n, S_{2n} - S_n, S_{3n} - S_{2n}$$ 成等比 即 $$a, b - a, c - b$$ 成等比，故 $$(b - a)^2 = a(c - b)$$ 展开得 $$b^2 - 2ab + a^2 = ac - ab$$ 即 $$a^2 + b^2 - ab = ac$$，与选项 C 一致。 4. **选项 D（等比数列）**： 由等比性质，$$a, b - a, c - b$$ 成等比，选项 D 正确。 **结论**：所有选项均正确，但题目要求选择错误的选项，可能存在题目描述不一致的情况。根据选项 C 的推导，其表述与性质一致，但题目可能认为其他选项有误。 **答案**：题目可能存在争议，但根据解析，选项 C 是正确的，其他选项也正确，故可能需要重新审视题目。 --- ### 第七题解析 **题目**：关于数列 $$\{a_n\}$$ 和前 $$n$$ 项和 $$S_n$$ 的命题判断。 **解析**： 1. **命题 (1)**： - 反例：$$a_n = n - 10$$，$$S_n = \frac{n(n - 19)}{2}$$ 当 $$n \leq 9$$ 时，$$S_n$$ 递减；$$n \geq 10$$ 时递增，但 $$\{a_n\}$$ 始终递增。命题错误。 2. **命题 (2)**： - 充要条件不成立，如 $$a_n = (-1)^n \cdot n$$，$$S_n$$ 可能递增，但 $$a_n$$ 不全为正。命题错误。 3. **命题 (3)**： - 若 $$S_k = 0$$，则 $$a_1 + a_k = 0$$，即 $$a_1 \cdot a_k = 0$$（因为 $$a_k = -a_1$$） 但反之不成立，如 $$a_1 = 0$$，$$a_2 = d \neq 0$$，$$S_1 = 0$$，但 $$a_1 \cdot a_2 = 0$$。命题错误。 4. **命题 (4)**： - 反例：$$a_n = (-1)^n$$，$$S_n = 0$$ 当 $$n$$ 为偶数，但 $$a_n + a_{n+1} = 0$$ 不成立。命题错误。 **结论**：所有命题均不正确。 **答案**：$$\boxed{A}$$。 --- ### 第八题解析 **题目**：等比数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$3$$ 项和为 $$4$$，前 $$9$$ 项和为 $$28$$，求前 $$6$$ 项和。 **解析**： 1. **性质应用**： $$S_3, S_6 - S_3, S_9 - S_6$$ 成等比数列。 2. **设 $$S_3 = 4$$，$$S_6 - S_3 = x$$，$$S_9 - S_6 = 28 - 4 - x = 24 - x$$ 由等比性质：$$x^2 = 4(24 - x)$$ 解得 $$x = 8$$ 或 $$x = -12$$。 3. **求 $$S_6$$**： - 若 $$x = 8$$，则 $$S_6 = S_3 + x = 12$$ - 若 $$x = -12$$，则 $$S_6 = S_3 + x = -8$$。 **答案**：$$\boxed{C}$$。 --- ### 第九题解析 **题目**：SVG 异常，无具体内容。 **答案**：无解析。 --- ### 第十题解析 **题目**：等比数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，且 $$S_2 = 7$$，$$S_6 = 91$$，求 $$S_4$$。 **解析**： 1. **性质应用**： $$S_2, S_4 - S_2, S_6 - S_4$$ 成等比数列。 2. **设 $$S_4 - S_2 = x$$，$$S_6 - S_4 = y$$ 则 $$x^2 = 7y$$，且 $$7 + x + y = 91 \Rightarrow x + y = 84$$ 代入得 $$x^2 = 7(84 - x)$$ 解得 $$x = 21$$ 或 $$x = -28$$。 3. **求 $$S_4$$**： - 若 $$x = 21$$，则 $$S_4 = 7 + 21 = 28$$ - 若 $$x = -28$$，则 $$S_4 = 7 - 28 = -21$$。 **答案**：$$\boxed{D}$$。 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱