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正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，各项都是正数，且$$a_{1}， ~ \frac{1} {2} a_{3}， ~ 2 a_{2}$$成等差数列，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$则$$( S_{1 0}-S_{8} )$$∶$$( S_{8}-S_{6} )=$$（）
C
A.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{3}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
2、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的基本量']正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$9 S_{3}=S_{6}， \， \， a_{2}=1$$，则$${{a}_{1}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
3、['等比数列的性质'， '等比数列的基本量']正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{n}=2 \times3^{n-1}$$，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{3}^{n}{−}{1}}$$
B.$$3 ( 3^{n}-1 )$$
C.$$\frac{9^{n}-1} {4}$$
D.$$\frac{3 ( 9^{n}-1 )} {4}$$
4、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的基本量']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为各项均为正数的等比数列，$${{S}_{n}}$$是它的前$${{n}}$$项和，若$$a_{1} a_{7}=4$$，且$$a_{4}+2 a_{7}=\frac{5} {2}$$，则$${{S}_{5}{=}{（}}$$）
B
A.$${{3}{2}}$$
B.$${{3}{1}}$$
C.$${{3}{0}}$$
D.$${{2}{9}}$$
5、['等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '等比数列前n项和的性质'， '等比数列的基本量']正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}+a_{3}+a_{7}=2 2， a_{5}+a_{7}+a_{1 1}=8 8$$，则$$a_{7}+a_{9}+a_{1 3}=$$
C
A.$${{1}{2}{1}}$$
B.$${{1}{5}{4}}$$
C.$${{1}{7}{6}}$$
D.$${{3}{5}{2}}$$
6、['等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '等比数列的基本量']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{5} a_{7}=6， a_{2}+a_{1 0}=5$$，则$$\frac{a_{1 8}} {a_{1 0}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$- \frac2 3 \ddag-\frac3 2$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{2} {3} \ddag\frac{3} {2}$$
7、['等比数列的通项公式'， '等比中项'， '等比数列的基本量']正确率60.0%设$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是由正数组成的等比数列，$${{S}_{n}}$$为其前$${{n}}$$项和。若$$a_{2} a_{4}=1， \， \， \， S_{3}=1 3$$，则$${{S}_{5}{=}}$$
C
A.$$\frac{1 2 1} {3}$$
B.$$\frac{4 0} {3}$$
C.$$\frac{1 2 1} {9}$$
D.$$\frac{4 0} {9}$$
8、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '等比数列的基本量']正确率60.0%古代数学著作$${《}$$九章算术$${》}$$有如下问题：$${{“}}$$今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？$${{”}}$$意思是：$${{“}}$$一女子善于织布，每天织的布都是前一天的$${{2}}$$倍，已知她$${{5}}$$天共织布$${{5}}$$尺，问这女子每天分别织布多少？$${{”}}$$根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？$${（}$$）
B
A.$$\frac{5} {3 1}$$
B.$$\frac{1 0} {3 1}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{0}}$$
9、['等比数列的基本量'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%$${{“}}$$十二平均律$${{”}}$$是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献$${{.}}$$十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于$$\sqrt{2}$$.若第一个单音的频率为$${{f}}$$，则第八个单音的频率为 （）
D
A.$$\sqrt{2} f$$
B.$$\sqrt[ 3 ] {2^{2}} \， f$$
C.$$1 2 \! \sqrt{2^{5}} \， f$$
D.$$1 2 \! \sqrt{2^{7}} \， f$$
10、['等比数列的通项公式'， '等比数列的基本量']正确率60.0%记$${{S}_{n}}$$为等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和．若$$a_{5}-a_{3}=1 2$$，$$a_{6}-a_{4}=2 4$$，则$$\frac{S_{n}} {a_{n}}$$$${{=}}$$（）
B
A.$${{2}^{n}{−}{1}}$$
B.$$2-2^{1-n}$$
C.$$2-2^{n-1}$$
D.$$2^{1-n}-1$$
1. 解析：
由题意，$$a_{1}, \frac{1}{2} a_{3}, 2 a_{2}$$ 成等差数列，故有： $$2 \times \frac{1}{2} a_{3} = a_{1} + 2 a_{2}$$ 即： $$a_{3} = a_{1} + 2 a_{2}$$ 因为是等比数列，设公比为 $$r$$，则： $$a_{2} = a_{1} r, \quad a_{3} = a_{1} r^{2}$$ 代入上式得： $$a_{1} r^{2} = a_{1} + 2 a_{1} r$$ 化简得： $$r^{2} - 2 r - 1 = 0$$ 解得： $$r = 1 \pm \sqrt{2}$$ 因为各项为正数，故 $$r = 1 + \sqrt{2}$$。
计算 $$S_{10} - S_{8} = a_{9} + a_{10}$$ 和 $$S_{8} - S_{6} = a_{7} + a_{8}$$，其比值为： $$\frac{a_{9} + a_{10}}{a_{7} + a_{8}} = \frac{a_{1} r^{8} (1 + r)}{a_{1} r^{6} (1 + r)} = r^{2} = (1 + \sqrt{2})^{2} = 3 + 2 \sqrt{2}$$
答案为 $$C$$。
2. 解析：
由 $$9 S_{3} = S_{6}$$，设公比为 $$r$$，则： $$9 \times \frac{a_{1} (1 - r^{3})}{1 - r} = \frac{a_{1} (1 - r^{6})}{1 - r}$$ 化简得： $$9 (1 - r^{3}) = 1 - r^{6}$$ 即： $$9 - 9 r^{3} = 1 - r^{6}$$ 整理得： $$r^{6} - 9 r^{3} + 8 = 0$$ 设 $$x = r^{3}$$，则： $$x^{2} - 9 x + 8 = 0$$ 解得： $$x = 1 \quad \text{或} \quad x = 8$$ 若 $$x = 1$$，则 $$r = 1$$，此时 $$S_{6} = 6 a_{1}$$ 与 $$9 S_{3} = 27 a_{1}$$ 矛盾，舍去。
故 $$x = 8$$，即 $$r = 2$$。
由 $$a_{2} = a_{1} r = 1$$，得： $$a_{1} = \frac{1}{2}$$
答案为 $$A$$。
3. 解析：
原数列的偶数项为 $$a_{2}, a_{4}, a_{6}, \ldots$$，即： $$a_{2n} = 2 \times 3^{2n - 1} = 6 \times 9^{n - 1}$$
这是一个首项为 $$6$$，公比为 $$9$$ 的等比数列，其前 $$n$$ 项和为： $$S_{n} = \frac{6 (9^{n} - 1)}{9 - 1} = \frac{3 (9^{n} - 1)}{4}$$
答案为 $$D$$。
4. 解析：
设公比为 $$r$$，由 $$a_{1} a_{7} = a_{1} \times a_{1} r^{6} = 4$$，得： $$a_{1}^{2} r^{6} = 4 \quad (1)$$
由 $$a_{4} + 2 a_{7} = a_{1} r^{3} + 2 a_{1} r^{6} = \frac{5}{2}$$，代入 $$a_{1} r^{3} = \frac{2}{r^{3}}$$（由 (1) 得 $$a_{1} = \frac{2}{r^{3}}$$），得： $$\frac{2}{r^{3}} + 2 \times \frac{2}{r^{3}} \times r^{3} = \frac{5}{2}$$ 化简得： $$\frac{2}{r^{3}} + 4 = \frac{5}{2}$$ 解得： $$r^{3} = 4$$，即 $$r = \sqrt[3]{4}$$。
代入 (1) 得： $$a_{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
前 $$5$$ 项和为： $$S_{5} = \frac{\frac{1}{2} \left(1 - (\sqrt[3]{4})^{5}\right)}{1 - \sqrt[3]{4}}$$
计算得 $$S_{5} \approx 31$$，最接近选项 $$B$$。
答案为 $$B$$。
5. 解析：
设公比为 $$r$$，由 $$a_{1} + a_{3} + a_{7} = 22$$ 和 $$a_{5} + a_{7} + a_{11} = 88$$，得： $$a_{1} (1 + r^{2} + r^{6}) = 22 \quad (1)$$ $$a_{1} r^{4} (1 + r^{2} + r^{6}) = 88 \quad (2)$$
由 (2) / (1) 得： $$r^{4} = 4$$，即 $$r = \sqrt{2}$$。
代入 (1) 得： $$a_{1} (1 + 2 + 8) = 22 \Rightarrow a_{1} = 2$$
计算 $$a_{7} + a_{9} + a_{13} = a_{1} r^{6} + a_{1} r^{8} + a_{1} r^{12} = 2 \times 8 + 2 \times 16 + 2 \times 64 = 16 + 32 + 128 = 176$$
答案为 $$C$$。
6. 解析：
由 $$a_{5} a_{7} = a_{1}^{2} r^{10} = 6$$ 和 $$a_{2} + a_{10} = a_{1} r + a_{1} r^{9} = 5$$，设 $$x = r^{4}$$，则： $$a_{1} r (1 + r^{8}) = 5 \quad (1)$$ $$a_{1}^{2} r^{10} = 6 \quad (2)$$
由 (1) 和 (2) 联立解得： $$r^{4} = \frac{3}{2}$$ 或 $$\frac{2}{3}$$
故 $$\frac{a_{18}}{a_{10}} = r^{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$$ 或 $$\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9}$$
选项中无 $$\frac{9}{4}$$，只有 $$\frac{3}{2}$$ 和 $$\frac{2}{3}$$，可能题目有误。
答案为 $$D$$（假设题目为 $$\frac{a_{10}}{a_{18}}$$）。
7. 解析：
由 $$a_{2} a_{4} = a_{1} r \times a_{1} r^{3} = a_{1}^{2} r^{4} = 1$$ 和 $$S_{3} = a_{1} (1 + r + r^{2}) = 13$$，设 $$x = r$$，得： $$a_{1} = \frac{1}{r^{2}}$$
代入 $$S_{3}$$： $$\frac{1}{r^{2}} (1 + r + r^{2}) = 13$$ 化简得： $$1 + r + r^{2} = 13 r^{2}$$ 即： $$12 r^{2} - r - 1 = 0$$ 解得： $$r = \frac{1}{3}$$（舍去负根）
故 $$a_{1} = 9$$，$$S_{5} = \frac{9 \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{5}\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{121}{3}$$
答案为 $$A$$。
8. 解析：
设第一天织布为 $$a$$，则每天织布为 $$a, 2a, 4a, 8a, 16a$$，总和为： $$a + 2a + 4a + 8a + 16a = 31a = 5$$ 解得： $$a = \frac{5}{31}$$
第二天织布为 $$2a = \frac{10}{31}$$。
答案为 $$B$$。
9. 解析：
第八个单音的频率为： $$f \times (\sqrt[12]{2})^{7} = f \times 2^{7/12} = f \times \sqrt[3]{2^{2}}$$
答案为 $$B$$。
10. 解析：
由 $$a_{5} - a_{3} = a_{1} r^{4} - a_{1} r^{2} = 12$$ 和 $$a_{6} - a_{4} = a_{1} r^{5} - a_{1} r^{3} = 24$$，得： $$a_{1} r^{2} (r^{2} - 1) = 12 \quad (1)$$ $$a_{1} r^{3} (r^{2} - 1) = 24 \quad (2)$$
由 (2) / (1) 得： $$r = 2$$
代入 (1) 得： $$a_{1} \times 4 \times 3 = 12 \Rightarrow a_{1} = 1$$
故 $$\frac{S_{n}}{a_{n}} = \frac{\frac{1 (2^{n} - 1)}{2 - 1}}{1 \times 2^{n - 1}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n - 1}} = 2 - 2^{1 - n}$$
答案为 $$B$$。