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正确率40.0%已知椭圆方程为$$\frac{x^{2}} {a}+\frac{y^{2}} {b}=1，$$且$$a， ~ b， ~ a+b$$成等差数列，$$a， ~ b， ~ a b$$成等比数列，则此椭圆的离心率为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
4、['等差数列的通项公式'， '裂项相消法求和'， '等比中项']正确率40.0%已知公差不为$${{0}}$$的等差数列｛$${{a}_{n}}$$｝满足$$a_{3}+a_{8}=2 0，$$且$${{a}_{5}}$$是$${{a}_{2}}$$与$$a_{1 4}$$的等比中项.设数列｛$${{b}_{n}}$$｝满足$$b_{n}=\frac{1} {a_{n} a_{n+1}} ( n \in N^{*} )，$$则数列｛$${{b}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{n} {2 n+1}$$
B.$$\frac{2 n} {2 n+1}$$
C.$$\frac{n} {2 n-1}$$
D.$$\frac{2 n} {2 n-1}$$
5、['等比中项']正确率80.0%设$$m=-8， \， \， n=-2，$$则$${{m}}$$与$${{n}}$$的等比中项为（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{±}{4}}$$
D.$${{−}{5}}$$
6、['众数、中位数和平均数'， '等比中项'， '等差数列的性质']正确率40.0%一个样本容量为$${{8}}$$的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为$${{0}}$$的等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{，}}$$若$${{a}_{3}{=}{5}}$$，且$$a_{1} \，， \， \， a_{2} \，， \， \， a_{5}$$成等比数列，则此样本数据的中位数是（）
C
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
7、['等比中项'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知$$a > 0， \， \， b > 0， \， \， a. \， b$$的等比中项是$${{1}}$$，且$$m=b+\frac{1} {a}， \， \， \， n=a+\frac{1} {b}$$，则$${{m}{+}{n}}$$的最小值是（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
8、['等比中项']正确率60.0%$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$与$${{2}{+}{\sqrt {3}}}$$的等比中项是（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{1}}$$或$${{1}}$$
9、['等差中项'， '等比中项']正确率60.0%若互不相等的实数$$a， \， \， b， \， \， \， a=7， b=3， c=8$$成等差数列，$$c， ~ a， ~ b$$成等比数列，且$$a+3 b+c$$，则$${{a}{=}{(}{)}}$$
D
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{4}}$$
10、['数列的递推公式'， '等比中项'， '等比数列的定义与证明'， '分组求和法']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n} \cdot a_{n+1}=2^{n} ( n \in N^{*} )$$，则$$S_{2 0 1 9}$$等于（）
C
A.$$2^{2 0 1 9}-1$$
B.$$3 \times2^{1 0 1 0}-3$$
C.$$2^{1 0 1 1}-3$$
D.$$3 \times2^{1 0 1 0} \，-2$$
3. 椭圆离心率问题
由题意，椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}=1$$，且 $$a, b, a+b$$ 成等差数列，$$a, b, ab$$ 成等比数列。
步骤1：利用等差数列性质
$$a, b, a+b$$ 成等差数列，则 $$2b = a + (a+b)$$，解得 $$b = 2a$$。
步骤2：利用等比数列性质
$$a, b, ab$$ 成等比数列，则 $$b^2 = a \cdot ab$$，代入 $$b = 2a$$ 得 $$(2a)^2 = a \cdot a \cdot 2a$$，即 $$4a^2 = 2a^3$$，解得 $$a = 2$$，从而 $$b = 4$$。
步骤3：计算离心率
椭圆离心率公式为 $$e = \sqrt{1 - \frac{b}{a}}$$（假设 $$a > b$$），代入 $$a = 2$$，$$b = 4$$（不满足 $$a > b$$，故交换 $$a$$ 和 $$b$$），实际椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$$，离心率 $$e = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
答案：C
4. 等差数列与数列求和问题
已知等差数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_3 + a_8 = 20$$，且 $$a_5$$ 是 $$a_2$$ 与 $$a_{14}$$ 的等比中项。
步骤1：设等差数列通项
设 $$a_n = a_1 + (n-1)d$$，由 $$a_3 + a_8 = 20$$ 得 $$2a_1 + 9d = 20$$。
步骤2：利用等比中项条件
$$a_5^2 = a_2 \cdot a_{14}$$，即 $$(a_1 + 4d)^2 = (a_1 + d)(a_1 + 13d)$$，化简得 $$d = 2a_1$$。
步骤3：求解参数
代入 $$d = 2a_1$$ 到 $$2a_1 + 9d = 20$$，解得 $$a_1 = 1$$，$$d = 2$$，故 $$a_n = 2n - 1$$。
步骤4：求和
$$b_n = \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$$，前 $$n$$ 项和 $$S_n = \frac{n}{2n+1}$$。
答案：A
5. 等比中项问题
设 $$m = -8$$，$$n = -2$$，则它们的等比中项 $$G$$ 满足 $$G^2 = m \cdot n = (-8)(-2) = 16$$，故 $$G = \pm 4$$。
答案：C
6. 样本数据中位数问题
样本数据构成等差数列 $$\{a_n\}$$，且 $$a_3 = 5$$，$$a_1, a_2, a_5$$ 成等比数列。
步骤1：设等差数列通项
设 $$a_n = a_1 + (n-1)d$$，由 $$a_3 = 5$$ 得 $$a_1 + 2d = 5$$。
步骤2：利用等比数列条件
$$a_2^2 = a_1 \cdot a_5$$，即 $$(a_1 + d)^2 = a_1(a_1 + 4d)$$，化简得 $$d = 2a_1$$。
步骤3：求解参数
代入 $$d = 2a_1$$ 到 $$a_1 + 2d = 5$$，解得 $$a_1 = 1$$，$$d = 2$$，故样本数据为 $$1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$$。
步骤4：求中位数
中位数为第4和第5个数的平均值，即 $$\frac{7 + 9}{2} = 8$$。
答案：C
7. 最小值问题
已知 $$a > 0$$，$$b > 0$$，且 $$ab = 1$$（因为1是 $$a, b$$ 的等比中项），则 $$m = b + \frac{1}{a}$$，$$n = a + \frac{1}{b}$$。
步骤1：简化表达式
由 $$ab = 1$$，得 $$\frac{1}{a} = b$$，$$\frac{1}{b} = a$$，故 $$m = b + b = 2b$$，$$n = a + a = 2a$$。
步骤2：求 $$m + n$$ 的最小值
$$m + n = 2a + 2b \geq 4\sqrt{ab} = 4$$（当且仅当 $$a = b = 1$$ 时取等）。
答案：B
8. 等比中项问题
$$2 - \sqrt{3}$$ 与 $$2 + \sqrt{3}$$ 的等比中项 $$G$$ 满足 $$G^2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1$$，故 $$G = \pm 1$$。
答案：D
9. 等差数列与等比数列综合问题
题目描述有误，假设题目为：互不相等的实数 $$a, b, c$$ 成等差数列，$$c, a, b$$ 成等比数列，且 $$a + 3b + c = 10$$，求 $$a$$。
步骤1：利用等差数列性质
$$a, b, c$$ 成等差数列，则 $$2b = a + c$$。
步骤2：利用等比数列条件
$$c, a, b$$ 成等比数列，则 $$a^2 = c \cdot b$$。
步骤3：联立求解
由 $$2b = a + c$$ 和 $$a + 3b + c = 10$$，得 $$a + c = 10 - 3b$$，代入得 $$2b = 10 - 3b$$，解得 $$b = 2$$。
再由 $$a^2 = c \cdot 2$$ 和 $$c = 4 - a$$，代入得 $$a^2 = 2(4 - a)$$，解得 $$a = -4$$ 或 $$a = 2$$（舍去，因为 $$a, b, c$$ 互不相等）。
答案：D
10. 数列求和问题
已知数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 = 1$$，$$a_n \cdot a_{n+1} = 2^n$$。
步骤1：递推关系
由 $$a_{n+1} = \frac{2^n}{a_n}$$，可得 $$a_2 = 2$$，$$a_3 = 2$$，$$a_4 = 4$$，$$a_5 = 4$$，$$a_6 = 8$$，...，即奇数项和偶数项分别成等比数列。
步骤2：分组求和
$$S_{2019} = (a_1 + a_3 + \cdots + a_{2019}) + (a_2 + a_4 + \cdots + a_{2018})$$。
奇数项：首项 $$a_1 = 1$$，公比 $$2$$，共1010项，和为 $$1 \cdot \frac{2^{1010} - 1}{2 - 1} = 2^{1010} - 1$$。
偶数项：首项 $$a_2 = 2$$，公比 $$2$$，共1009项，和为 $$2 \cdot \frac{2^{1009} - 1}{2 - 1} = 2^{1010} - 2$$。
总和 $$S_{2019} = (2^{1010} - 1) + (2^{1010} - 2) = 2^{1011} - 3$$。
答案：C