等比数列的性质-4.3 等比数列知识点考前基础单选题自测题解析-北京市等高二数学选择必修,平均正确率64.0%

1、['余弦定理及其应用'， '等比数列的性质']

正确率80.0%已知$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$分别为$${{△}{A}{B}{C}}$$三个内角$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$的对边，若$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$成等比数列，且$${{c}{=}{2}{a}}$$，则$$\operatorname{c o s} B=( \eta)$$

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{3} {4}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {4}$$

D.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$

2、['等比数列的性质']

正确率60.0%若数列$$- 9， ~ m， ~ x， ~ n， ~-1 6$$是等比数列，则$${{x}}$$的值是（）

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{±}{{1}{2}}}$$

C.$${{−}{{1}{2}}}$$

D.$${{−}{{1}{2}{.}{5}}}$$

3、['等比数列的性质']

正确率80.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，公比为$${{q}}$$，已知$${{a}_{1}{=}{1}}$$，则$$0 < q < 1$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$单调递减的$${{(}{)}}$$

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

4、['等比数列的通项公式'， '等比数列的性质']

正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$$a_{7} a_{1 2}=5$$，则$$a_{8} a_{9} a_{1 0} a_{1 1}=\cline{(}$$）

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{5}{0}}$$

C.$${{2}{5}}$$

D.$${{7}{5}}$$

5、['等比数列的性质'， '等比数列前n项和的应用']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$为等比数列，且首项$${{b}_{1}{=}{1}}$$，公比$${{q}{=}{2}}$$，则数列$$\{b_{2 n-1} \}$$的前$${{1}{0}}$$项的和为（）

A.$$\frac{4} {3} ( 4^{9}-1 )$$

B.$$\frac{4} {3} \， ( 4^{1 0}-1 )$$

C.$$\frac{1} {3} ( 4^{9}-1 )$$

D.$$\frac{1} {3} \， ( 4^{1 0}-1 )$$

6、['一元二次方程的解集'， '等比数列的性质'， '等比数列前n项和的应用']

正确率60.0%已知$${{S}_{n}}$$为等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，且$$S_{n}=2-A \cdot2^{n-1}$$，则$$S_{8}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$${{5}{1}{0}}$$

B.$${{−}{{5}{1}{0}}}$$

C.$${{1}{0}{2}{2}}$$

D.$${{−}{{1}{0}{2}{2}}}$$

7、['等比数列的性质'， '利用基本不等式求最值'， '等差数列的性质']

正确率60.0%设$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$为等比数列，其公比$${{q}{≠}{1}}$$，且$$b_{n} > 0 \alpha n=1， \ 2， \ 3， \ldots$$．若$$a_{1}=b_{1}， \， \， \， a_{1 1}=b_{1 1}$$，则$${{a}_{6}}$$与$${{b}_{6}}$$的大小关系为（）

A.$${{a}_{6}{>}{{b}_{6}}}$$

B.$${{a}_{6}{=}{{b}_{6}}}$$

C.$${{a}_{6}{<}{{b}_{6}}}$$

D.$${{a}_{6}{⩾}{{b}_{6}}}$$

8、['等比数列的性质']

正确率60.0%svg异常

A.svg异常

B.svg异常

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

9、['等比数列的性质']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是各项均为正数的等比数列，且$$a_{5} \cdot a_{1 5}=6 4$$，则$$a_{1 0}$$等于

A.$${{4}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{6}}$$

10、['等比数列的性质'， '等比数列前n项和的应用']

正确率80.0%设等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公比为$${{q}}$$，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，前$${{n}}$$项积为$${{T}_{n}}$$，并且满足条件$${{a}_{1}{>}{1}}$$，$$a_{6} a_{7} > 1$$，$$\frac{a_{6}-1} {a_{7}-1} < 0$$，则下列结论正确的是$${{(}{)}}$$

A.$$a_{6} a_{8} > 1$$

B.$$0 < q < 1$$

C.$${{S}_{n}}$$的最大值为$${{S}_{7}}$$

D.$${{T}_{n}}$$的最大值为$${{T}_{7}}$$

1. 已知$$a$$, $$b$$, $$c$$成等比数列，设公比为$$r$$，则$$b = a r$$，$$c = a r^2$$。由$$c = 2a$$得$$r^2 = 2$$，即$$r = \sqrt{2}$$，故$$b = a \sqrt{2}$$。在$$△ABC$$中，由余弦定理： $$ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{a^2 + (2a)^2 - (a \sqrt{2})^2}{2 \cdot a \cdot 2a} = \frac{1 + 4 - 2}{4} = \frac{3}{4} $$ 答案为 B。

2. 等比数列$$-9, m, x, n, -16$$中，设公比为$$q$$，则： $$ -9 q^4 = -16 \Rightarrow q^4 = \frac{16}{9} \Rightarrow q = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} $$ 但$$x$$是第三项，$$x = -9 q^2 = -9 \cdot \frac{4}{3} = -12$$。检查选项无$$-12$$，可能是题目描述有误。若为$$-9, m, x, n, -1$$，则： $$ -9 q^4 = -1 \Rightarrow q^4 = \frac{1}{9} \Rightarrow q = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$x = -9 q^2 = -9 \cdot \frac{1}{3} = -3 $$，仍不符选项。可能是题目为$$-9, m, x, n, -1.6$$或其他变体，无法确定。暂不选。

3. 等比数列$${a_n}$$中，$$a_1 = 1$$，通项$$a_n = q^{n-1}$$。若$$0 < q < 1$$，则$$a_n$$递减；但$$a_n$$递减也可能是$$q < 0$$（如$$q = -1$$时摆动递减）。故$$0 < q < 1$$是充分不必要条件，答案为 A。

4. 等比数列中，$$a_7 a_{12} = a_1 q^6 \cdot a_1 q^{11} = a_1^2 q^{17} = 5$$。而$$a_8 a_9 a_{10} a_{11} = a_1 q^7 \cdot a_1 q^8 \cdot a_1 q^9 \cdot a_1 q^{10} = a_1^4 q^{34} = (a_1^2 q^{17})^2 = 5^2 = 25$$，答案为 C。

5. 数列$${b_n}$$的通项为$$b_n = 2^{n-1}$$，则$$b_{2n-1} = 2^{2n-2} = 4^{n-1}$$。前10项和为： $$ S = \sum_{k=1}^{10} 4^{k-1} = \frac{4^{10} - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}(4^{10} - 1) $$ 答案为 D。

6. 等比数列前$$n$$项和$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$$。题目给出$$S_n = 2 - A \cdot 2^{n-1}$$，对比得$$q = 2$$，且$$\frac{a_1}{1 - 2} = 2 \Rightarrow a_1 = -2$$。因此： $$ S_8 = 2 - A \cdot 2^7 = \frac{-2(1 - 2^8)}{1 - 2} = -510 $$ 解得$$A = 4$$，答案为 B。

7. 设等差数列$${a_n}$$公差为$$d$$，则$$a_{11} = a_1 + 10d$$；等比数列$${b_n}$$中$$b_{11} = b_1 q^{10}$$。由$$a_1 = b_1$$和$$a_{11} = b_{11}$$得： $$ a_1 + 10d = a_1 q^{10} \Rightarrow d = \frac{a_1(q^{10} - 1)}{10} $$ $$ a_6 = a_1 + 5d = a_1 \left(1 + \frac{q^{10} - 1}{2}\right) = \frac{a_1(q^{10} + 1)}{2} $$ 而$$b_6 = a_1 q^5$$。比较$$a_6$$和$$b_6$$： $$ \frac{q^{10} + 1}{2} \geq q^5 $$（由均值不等式），当且仅当$$q = 1$$时取等，但$$q \neq 1$$，故$$a_6 > b_6$$，答案为 A。

8. 题目描述不完整，无法解析。

9. 等比数列$${a_n}$$中，$$a_5 \cdot a_{15} = a_{10}^2 = 64$$，故$$a_{10} = 8$$（舍负），答案为 B。

10. 由$$a_1 > 1$$和$$\frac{a_6 - 1}{a_7 - 1} < 0$$知$$a_6 > 1$$且$$a_7 < 1$$（或反之，但$$a_6 a_7 > 1$$支持前者）。公比$$0 < q < 1$$，数列递减。$$a_6 a_8 = a_7^2 < 1$$（A错）；$$S_n$$无最大值（C错）；$$T_n$$在$$a_7$$最接近1时最大，即$$T_7$$（D正确），答案为 D。

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