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正确率60.0%小李年初向银行贷款$${{M}}$$万元用于购房，购房贷款的年利率为$${{p}{，}}$$按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分$${{1}{0}}$$次等额还清，每年$${{1}}$$次，则每年应还（）
B
A.$$\frac{M} {1 0}$$万元
B.$$\frac{M p ( 1+p )^{1 0}} {( 1+p )^{1 0}-1}$$万元
C.$$\frac{p ( 1+p )^{1 0}} {1 0}$$万元
D.$$\frac{M p ( 1+p )^{9}} {( 1+p )^{9}-1}$$万元
2、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{1}{，}{{a}_{2}}{=}{2}}$$，则$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{+}{{a}_{3}}{+}{{a}_{4}}{+}{{a}_{5}}{+}{{a}_{6}}{+}{{a}_{7}}{=}{(}{)}}$$
C
A.$${{2}{8}}$$
B.$${{5}{6}}$$
C.$${{1}{2}{7}}$$
D.$${{1}{2}{8}}$$
3、['等比数列前n项和的性质'， '等比数列前n项和的应用']正确率40.0%等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$${{S}_{2}{=}{6}{，}{{S}_{4}}{=}{{3}{0}}}$$，则$${{S}_{6}{=}{（}}$$）
C
A.$${{6}{2}}$$
B.$${{6}{4}}$$
C.$${{1}{2}{6}}$$
D.$${{1}{2}{8}}$$
4、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用']正确率40.0%设首项为$${{1}}$$，公比为$$\frac{4} {5}$$的等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则（）
A
A.$${{S}_{n}{=}{5}{−}{4}{{a}_{n}}}$$
B.$${{S}_{n}{=}{4}{{a}_{n}}{−}{5}}$$
C.$${{S}_{n}{=}{6}{−}{5}{{a}_{n}}}$$
D.$${{S}_{n}{=}{5}{{a}_{n}}{−}{4}}$$
5、['数列的函数特征'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的基本量'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%各项均为正数的等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$${{a}_{2}{⋅}{{a}_{6}}{=}{4}{，}{{a}_{3}}{=}{1}}$$，则$$\frac{( S_{n}+\frac{9} {4} )^{2}} {2 a_{n}}$$的最小值为（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{2}}$$
6、['等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '等比数列前n项和的应用'， '并项求和法']正确率40.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则下列结论中一定成立的（）
B
A.若$${{a}_{5}{>}{0}}$$，则$$S_{2 0 1 9} < 0$$
B.若$${{a}_{5}{>}{0}}$$，则$$S_{2 0 1 9} > 0$$
C.若$${{a}_{6}{>}{0}}$$，则$$S_{2 0 1 8} < 0$$
D.若$${{a}_{6}{>}{0}}$$，则$$S_{2 0 1 8} > 0$$
7、['等比数列前n项和的性质'， '等比数列前n项和的应用']正确率60.0%设等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$${{S}_{3}{=}{2}{，}{{S}_{6}}{=}{6}}$$，则$$a_{1 0}+a_{1 1}+a_{1 2}=$$（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{3}{2}}$$
D.$${{7}{9}}$$
8、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '数列中的数学文化问题']正确率19.999999999999996%$${《}$$算法统宗$${》}$$是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：$${{“}}$$远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一$${{”}}$$，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有$${{3}{8}{1}}$$盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．
B
A.$${{1}{4}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{0}}$$
9、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%《推背图》是中华预言第一奇书，传说它是唐太宗李世民为推算大唐国运，下令当时两位著名的道士李淳风和袁天罡编写的$${{.}}$$融合了易学、天文、诗词、谜语、图画为一体$${{.}}$$其实该书很可能是一本出自民国初期的伪书，很可能是伪国学$${{!}}$$但在这本书中的第二象中，有一个有趣的数学问题：在一个盘子中摆满了李子，“累累硕果，莫明其数”$${{.}}$$现假设有一个盘子，摆满了李子，最下一层有$${{8}}$$行$${{8}}$$列李子，从第二层开始，每一层李子的个数都是下一层李子的个数的一半，最上层有一个李子，请问盘子中总共有李子的个数为：$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{2}{0}}$$
B.$${{1}{2}{6}}$$
C.$${{1}{2}{7}}$$
D.$${{1}{2}{8}}$$
10、['等比数列的性质'， '等比数列前n项和的应用']正确率80.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，$${{S}_{n}}$$是其前$${{n}}$$项积，若$$\frac{S_{7}} {S_{2}}=3 2$$，则$${{S}_{9}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{1}{0}{2}{4}}$$
B.$${{5}{1}{2}}$$
C.$${{2}{5}{6}}$$
D.$${{1}{2}{8}}$$
1. 解析：
小李的贷款问题属于等额本息还款模型。设每年还款额为$$x$$万元，则根据复利公式和现值概念，有：
$$M = \frac{x}{1+p} + \frac{x}{(1+p)^2} + \cdots + \frac{x}{(1+p)^{10}}$$
这是一个等比数列求和问题，其和为：
$$M = x \cdot \frac{1 - (1+p)^{-10}}{p}$$
解得：
$$x = \frac{M p (1+p)^{10}}{(1+p)^{10} - 1}$$
因此，正确答案是 B。
2. 解析：
等比数列的公比$$q = \frac{a_2}{a_1} = 2$$。前7项和为：
$$S_7 = a_1 \cdot \frac{q^7 - 1}{q - 1} = 1 \cdot \frac{2^7 - 1}{2 - 1} = 127$$
因此，正确答案是 C。
3. 解析：
设等比数列的首项为$$a_1$$，公比为$$q$$。由题意：
$$S_2 = a_1(1 + q) = 6$$
$$S_4 = a_1(1 + q + q^2 + q^3) = 30$$
注意到$$S_4 = S_2 (1 + q^2)$$，代入得：
$$6(1 + q^2) = 30 \Rightarrow q^2 = 4 \Rightarrow q = 2$$
代入$$S_2$$得$$a_1 = 2$$。因此：
$$S_6 = 2 \cdot \frac{2^6 - 1}{2 - 1} = 126$$
正确答案是 C。
4. 解析：
等比数列的前$$n$$项和公式为：
$$S_n = \frac{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^n}{1 - \frac{4}{5}} = 5 - 5 \left(\frac{4}{5}\right)^n$$
注意到$$a_n = \left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$$，因此：
$$S_n = 5 - 4 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{n-1} = 5 - 4 a_n$$
正确答案是 A。
5. 解析：
由$$a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5 = 4$$且$$a_3 = 1$$，得$$a_5 = 4$$。
等比数列公比$$q$$满足$$a_5 = a_3 q^2 \Rightarrow q = 2$$。
首项$$a_1 = \frac{a_3}{q^2} = \frac{1}{4}$$。
前$$n$$项和$$S_n = \frac{\frac{1}{4}(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{2^n - 1}{4}$$。
表达式化简为：
$$\frac{(S_n + \frac{9}{4})^2}{2 a_n} = \frac{\left(\frac{2^n - 1}{4} + \frac{9}{4}\right)^2}{2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2^{n-1}} = \frac{(2^n + 8)^2}{2^{n+1}}$$
设$$t = 2^n$$，则表达式为$$\frac{(t + 8)^2}{2t}$$。
求导或配方法可得最小值为$$8$$，当$$t = 8$$时取得。
正确答案是 C。
6. 解析：
等比数列的性质决定了$$a_5$$和$$a_6$$的符号与公比$$q$$有关。
若$$a_6 > 0$$，则$$q > 0$$（因为$$a_n = a_1 q^{n-1}$$）。
对于偶数项和$$S_{2018}$$，若$$q > 0$$且$$a_1 > 0$$，则$$S_{2018} > 0$$。
因此，选项 D 一定成立。
7. 解析：
设等比数列首项为$$a_1$$，公比为$$q$$。由题意：
$$S_3 = a_1 \frac{1 - q^3}{1 - q} = 2$$
$$S_6 = a_1 \frac{1 - q^6}{1 - q} = 6$$
两式相除得：
$$\frac{1 - q^6}{1 - q^3} = 3 \Rightarrow 1 + q^3 = 3 \Rightarrow q^3 = 2$$
因此：
$$a_{10} + a_{11} + a_{12} = a_1 q^9 (1 + q + q^2) = q^6 \cdot S_3 = 8 \cdot 2 = 16$$
正确答案是 B。
8. 解析：
设第一层有$$a$$盏灯，则总灯数为等比数列和：
$$S_7 = a \cdot \frac{2^7 - 1}{2 - 1} = 127a = 381 \Rightarrow a = 3$$
第三层灯数为$$a \cdot 2^{2} = 12$$。
正确答案是 B。
9. 解析：
李子总数为一个等比数列和，首项为$$1$$，公比为$$2$$，共$$8$$层：
$$S_8 = 1 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 255$$
但题目描述可能有误，实际最下层为$$8 \times 8 = 64$$个李子，倒数第二层为$$32$$，依此类推：
$$S = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127$$
正确答案是 C。
10. 解析：
设等比数列首项为$$a_1$$，公比为$$q$$。前$$n$$项积$$S_n = a_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}$$。
由题意：
$$\frac{S_7}{S_2} = \frac{a_1^7 q^{21}}{a_1^2 q^1} = a_1^5 q^{20} = 32$$
因此：
$$S_9 = a_1^9 q^{36} = (a_1^5 q^{20})^{9/5} \cdot q^{36 - 36} = 32^{9/5} = 2^9 = 512$$
正确答案是 B。