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正确率40.0%$$` ` a_{n+1} a_{n-1}=a_{n}^{2}， \; \; n \geqslant2$$且$${{n}{∈}{N}{”}}$$是$${{“}}$$数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列$${{”}}$$的（）
A
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['充分、必要条件的判定'， '等比中项'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%设$${{a}{、}{b}{、}{c}}$$是三个实数，则$${{“}{{b}^{2}}{=}{a}{c}{”}}$$是$${{“}{a}{、}{b}{、}{c}}$$成等比数列$${{”}}$$的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3、['等比数列的定义与证明']正确率60.0%音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的$$\frac{3} {2}，$$得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的$$\frac{3} {4}，$$得到“商”；….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（）
A
A.“宫、商、角”的频率成等比数列
B.“宫、徵、商”的频率成等比数列
C.“商、羽、角”的频率成等比数列
D.“徵、商、羽”的频率成等比数列
4、['等比中项'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列，且$${{a}_{2}{{a}_{6}}{+}{{a}^{2}_{4}}{=}{π}}$$，则$${{a}_{3}{{a}_{5}}{=}{（}}$$）
C
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {2}$$
D.$$\frac{4 \pi} {3}$$
5、['数列的递推公式'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{a}{_{n}{\}}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$${{3}{{S}_{n}}{=}{{6}{4}}{−}{{a}_{n}}}$$，若$${{a}_{n}{⋅}{{a}_{k}}{=}{1}{(}{1}{⩽}{m}{<}{k}{，}{m}{，}{k}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$，则$${{k}}$$的取值集合是（）
C
A.$${{\{}{{1}{，}{2}{\}}}}$$
B.$${{\{}{{1}{，}{2}{，}{3}{\}}}}$$
C.$${{\{}{{4}{，}{5}{\}}}}$$
D.$${{\{}{{3}{，}{4}{，}{5}{\}}}}$$
6、['等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=2， a_{n+1}=2 a_{n}$$，则$${{a}_{5}{=}}$$
D
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{3}{2}}$$
7、['等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=\left\{\begin{aligned} {a_{n}+d，} & {{} \frac{n} {2} \neq N^{+}} \\ {q a_{n}，} & {{} \frac{n} {2} \in N^{+}} \\ \end{aligned} \right. ( q )$$为非零常数$${{)}}$$，若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列，且首项为$${{a}{(}{a}{≠}{0}{)}}$$，公比为$${{q}}$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为 （）
C
A.$${{a}_{n}{=}{a}}$$或$$a_{n}=a q^{n-1}$$
B.$$a_{n}=\left(-1 \right)^{n-1} a$$
C.$${{a}_{n}{=}{a}}$$或$$a_{n}=(-1 )^{n-1} a$$
D.$$a_{n}=q^{n-1}$$
8、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{3}}$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若数列$${{\{}{{a}_{n}}{+}{1}{\}}}$$也是等比数列，则$${{S}_{n}}$$等于（）
B
A.$${{2}{n}}$$
B.$${{3}{n}}$$
C.$$2^{n+1}-1$$
D.$${{3}^{n}{−}{1}}$$
9、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=3 a_{n}+4$$，则$${{a}_{n}}$$等于（）
C
A.$${{3}^{n}}$$
B.$$3^{n-1}$$
C.$${{3}^{n}{−}{2}}$$
D.$$3^{n-1}-2$$
1. 解析：
题目给出的递推关系为 $$a_{n+1}a_{n-1}=a_n^2$$，这是等比数列的定义性质之一。但题目要求对于所有 $$n \geqslant 2$$ 且 $$n \in \mathbb{N}$$ 成立，而等比数列的定义还需要首项 $$a_1 \neq 0$$ 和公比 $$q \neq 0$$。因此，递推关系是等比数列的必要条件，但不是充分条件（例如，若 $$a_1 = 0$$，递推关系成立，但数列不是等比数列）。故答案为 A。
2. 解析：
$$b^2 = a c$$ 是 $$a, b, c$$ 成等比数列的必要条件，但不是充分条件，因为若 $$a = 0$$ 或 $$c = 0$$，$$b^2 = a c$$ 可能成立，但等比数列要求所有项非零。因此，答案为 B。
3. 解析：
根据“三分损益法”：
- “宫”频率为 $$f$$，
- “徵”频率为 $$\frac{3}{2}f$$，
- “商”频率为 $$\frac{3}{4} \times \frac{3}{2}f = \frac{9}{8}f$$，
- “羽”频率为 $$\frac{3}{2} \times \frac{9}{8}f = \frac{27}{16}f$$，
- “角”频率为 $$\frac{3}{4} \times \frac{27}{16}f = \frac{81}{64}f$$。
检查选项：
- A：“宫、商、角”频率为 $$f, \frac{9}{8}f, \frac{81}{64}f$$，公比为 $$\frac{9}{8}$$，是等比数列。
- B：“宫、徵、商”频率为 $$f, \frac{3}{2}f, \frac{9}{8}f$$，不是等比数列。
- C：“商、羽、角”频率为 $$\frac{9}{8}f, \frac{27}{16}f, \frac{81}{64}f$$，公比为 $$\frac{3}{2}$$，是等比数列。
- D：“徵、商、羽”频率为 $$\frac{3}{2}f, \frac{9}{8}f, \frac{27}{16}f$$，不是等比数列。
但题目描述“依次损益交替变化”，可能仅考虑部分音阶。根据选项，A 和 C 都正确，但题目可能默认“宫、商、角”为最简等比关系，故答案为 A。
4. 解析：
设等比数列公比为 $$q$$，则：
$$a_2 = a_1 q$$，$$a_4 = a_1 q^3$$，$$a_6 = a_1 q^5$$。
代入 $$a_2 a_6 + a_4^2 = \pi$$：
$$a_1 q \cdot a_1 q^5 + (a_1 q^3)^2 = \pi$$
化简得：$$a_1^2 q^6 + a_1^2 q^6 = 2 a_1^2 q^6 = \pi$$，即 $$a_1^2 q^6 = \frac{\pi}{2}$$。
而 $$a_3 a_5 = a_1 q^2 \cdot a_1 q^4 = a_1^2 q^6 = \frac{\pi}{2}$$，故答案为 C。
5. 解析：
由 $$3 S_n = 64 - a_n$$，当 $$n = 1$$ 时，$$3 S_1 = 64 - a_1$$，即 $$3 a_1 = 64 - a_1$$，解得 $$a_1 = 16$$。
当 $$n \geq 2$$ 时，$$3 S_n = 64 - a_n$$，$$3 S_{n-1} = 64 - a_{n-1}$$，两式相减得：
$$3 a_n = a_{n-1} - a_n$$，即 $$4 a_n = a_{n-1}$$，故 $$a_n = \frac{1}{4} a_{n-1}$$。
数列为等比数列，首项 $$a_1 = 16$$，公比 $$q = \frac{1}{4}$$，通项为 $$a_n = 16 \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = 4^{3 - n}$$。
由 $$a_n \cdot a_k = 1$$，即 $$4^{3 - n} \cdot 4^{3 - k} = 4^{6 - n - k} = 1$$，故 $$6 - n - k = 0$$，即 $$k = 6 - n$$。
因 $$1 \leq n < k$$，且 $$n, k \in \mathbb{N}^*$$，解得 $$n = 1, 2$$ 时 $$k = 5, 4$$。故 $$k$$ 的取值集合为 $$\{4, 5\}$$，答案为 C。
6. 解析：
数列为等比数列，首项 $$a_1 = 2$$，公比 $$q = 2$$，故 $$a_5 = a_1 q^4 = 2 \times 2^4 = 32$$，答案为 D。
7. 解析：
数列为等比数列，首项为 $$a$$，公比为 $$q$$，故通项为 $$a_n = a q^{n-1}$$。
根据递推关系：
- 若 $$n$$ 为奇数，$$a_{n+1} = a_n + d$$，即 $$a q^n = a q^{n-1} + d$$。
- 若 $$n$$ 为偶数，$$a_{n+1} = q a_n$$，即 $$a q^n = q \cdot a q^{n-1}$$，恒成立。
为使递推关系对所有 $$n$$ 成立，需 $$d = 0$$，此时 $$a_n = a q^{n-1}$$；或 $$q = -1$$ 且 $$d = -2a$$，此时 $$a_n = (-1)^{n-1} a$$。
但题目未限制 $$d$$，仅要求数列为等比数列，故通项可能为 $$a_n = a$$（$$q = 1$$）或 $$a_n = (-1)^{n-1} a$$（$$q = -1$$）。答案为 C。
8. 解析：
设等比数列公比为 $$q$$，则 $$a_n = 3 q^{n-1}$$。
数列 $$\{a_n + 1\}$$ 也是等比数列，故：
$$(a_2 + 1)^2 = (a_1 + 1)(a_3 + 1)$$，即 $$(3 q + 1)^2 = (3 + 1)(3 q^2 + 1)$$。
展开得 $$9 q^2 + 6 q + 1 = 12 q^2 + 4$$，化简得 $$3 q^2 - 6 q + 3 = 0$$，即 $$q = 1$$。
因此，数列为常数列 $$a_n = 3$$，$$S_n = 3 n$$，答案为 B。
9. 解析：
递推关系为 $$a_{n+1} = 3 a_n + 4$$，首项 $$a_1 = 1$$。
设 $$a_{n+1} + k = 3 (a_n + k)$$，解得 $$k = 2$$，故 $$a_n + 2$$ 是等比数列，首项为 $$a_1 + 2 = 3$$，公比为 $$3$$。
因此，$$a_n + 2 = 3^n$$，即 $$a_n = 3^n - 2$$，答案为 C。