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正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ M$$为椭圆上一点，且$$\overrightarrow{M F}_{1} \cdot\overrightarrow{M F_{2}}=0，$$线段$${{M}{{F}_{2}}}$$的延长线交椭圆$${{C}}$$于点$${{N}{，}}$$若$$| M F_{1} |， ~ | M N |， ~ | N F_{1} |$$成等差数列，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
A
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 3$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
2、['等差中项'， '空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '等差数列的性质']正确率40.0%已知向量$$\vec{m} ~=( 1， 2， y )$$垂直，且$$x， \sqrt{3}， y$$成等比数列，则正实数$${{x}{，}{y}}$$的等差中项为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{±}{2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['等差中项'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%三角形$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的内角$$A \，， \， B \，， \， C$$所对边分别为$$a \;， \; b \;， \; c$$，若角$$A \，， \， B \，， \， C$$成等差数列，且$$a=1 ~， ~ b=\sqrt{3}$$，则$${{S}_{Δ}{=}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
4、['等差中项'， '双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用']正确率0.0%直线$${{l}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的左、右两支分别交于点$${{A}{，}{B}{，}}$$与双曲线的两条渐近线分别交于点$$C， \， \， D ( A， \， \， C， \， \， D， \， \， B$$从左到右依次排列)，若$$O A \perp O B ( O$$为坐标原点)，且$$| A C |， ~ | C D |， ~ | D B |$$成等差数列，则双曲线的离心率$${{e}}$$的取值范围是（）
D
A.$${\left[ \frac{\sqrt{1 0}} {2}， ~+\infty\right)}$$
B.$$[ 2 \sqrt{2}， ~ \sqrt{1 0} ]$$
C.$$\left[ \frac{\sqrt{1 0}} {2}， ~ 2 \sqrt{3} \right]$$
D.$$[ \sqrt{1 0}， ~+\infty)$$
5、['等差中项'， '等差数列的定义与证明'， '等比数列的定义与证明'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%设$$2 0 1 8^{a}=3， 2 0 1 8^{b}=6， 2 0 1 8^{c}=1 2$$，则数列$$a， b， c \langle$$）
A
A.是等差数列，但不是等比数列
B.是等比数列，但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既非等差数列又非等比数列
6、['等差中项'， '等比数列的性质']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是等比数列，$${{b}_{9}}$$是$${{3}}$$和$${{5}}$$等差中项，则$$b_{1} b_{1 7}=\mathrm{~ ( ~}$$）
B
A.$${{2}{5}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{4}}$$
7、['等差数列的通项公式'， '等差中项']正确率60.0%已知等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝中的各项都是正数$$， \， \， a_{1}=1，$$且$${{4}{{a}_{1}}}$$与$${{a}_{5}}$$的等差中项是$${{2}{{a}_{3}}{，}}$$则$${{a}_{2}{=}}$$（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$或$${{4}}$$
8、['等差中项'， '对数方程与对数不等式的解法'， '指数与对数的关系'， '指数方程与指数不等式的解法'， '对数的运算性质']正确率40.0%若$$\operatorname{l g} 2， \operatorname{l g} ( 2^{x}-1 )， \operatorname{l g} ( 2^{x}+3 )$$成等差数列，则实数$${{x}}$$的值等于$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{0}}$$或$${{3}{2}}$$
C.$${{3}{2}}$$
D.$$\operatorname{l o g}_{2} 5$$
9、['等差中项'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%我国古代名著$${《}$$九章算术$${》}$$中有这样一段话：$${{“}}$$今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．$${{”}}$$意思是：$${{“}}$$现有一根金锤，长$${{5}}$$尺，头部$${{1}}$$尺，重$${{4}}$$斤，尾部$${{1}}$$尺，重$${{2}}$$斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．$${{”}}$$（）
D
A.$${{6}}$$斤
B.$${{7}}$$斤
C.$${{8}}$$斤
D.$${{9}}$$斤
10、['等差数列的通项公式'， '等差中项'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的基本量'， '等差、等比数列的综合应用']正确率60.0%已知｛$${{a}_{n}}$$｝为等比数列$${，{{S}_{n}}}$$是它的前$${{n}}$$项和，若$$a_{2} \cdot a_{3}=2 a_{1}，$$且$${{a}_{4}}$$与$${{2}{{a}_{7}}}$$的等差中项为$$\frac{5} {4}，$$则$${{S}_{5}{=}}$$（）
A
A.$${{3}{1}}$$
B.$${{3}{2}}$$
C.$${{3}{3}}$$
D.$${{3}{4}}$$
1. 解析：
设椭圆焦距为$$2c$$，则$$F_1 = (-c, 0)$$，$$F_2 = (c, 0)$$。由$$\overrightarrow{MF_1} \cdot \overrightarrow{MF_2} = 0$$，得$$M$$在以$$F_1F_2$$为直径的圆上，即$$x^2 + y^2 = c^2$$。结合椭圆方程$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，解得$$|MF_1| = |MF_2| = a$$。
由题意，$$|MF_1|$$、$$|MN|$$、$$|NF_1|$$成等差数列，设公差为$$d$$，则$$|MN| = a + d$$，$$|NF_1| = a + 2d$$。根据椭圆性质，$$|NF_1| + |NF_2| = 2a$$，且$$N$$在$$MF_2$$延长线上，故$$|NF_2| = |MN| - |MF_2| = (a + d) - a = d$$。代入得$$(a + 2d) + d = 2a$$，解得$$d = \frac{a}{3}$$。
由勾股定理，$$|MF_1|^2 + |MF_2|^2 = |F_1F_2|^2$$，即$$2a^2 = 4c^2$$，得$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。故选A。
2. 解析：
题目描述不完整，假设向量$$\vec{m} = (1, 2, y)$$与某向量垂直，且$$x, \sqrt{3}, y$$成等比数列。由等比性质，$$(\sqrt{3})^2 = x \cdot y$$，即$$xy = 3$$。若$$\vec{m}$$与$$\vec{n} = (x, \sqrt{3}, 0)$$垂直，则$$1 \cdot x + 2 \cdot \sqrt{3} + y \cdot 0 = 0$$，得$$x = -2\sqrt{3}$$，此时$$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$，不满足正实数条件。
可能题目有其他条件，暂无法确定答案。
3. 解析：
角$$A, B, C$$成等差数列，设$$A = B - d$$，$$C = B + d$$，则$$A + B + C = 3B = \pi$$，得$$B = \frac{\pi}{3}$$。由余弦定理，$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$，代入$$a = 1$$，$$b = \sqrt{3}$$，解得$$c = 2$$。
面积$$S = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。故选A。
4. 解析：
设双曲线渐近线为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$。由$$OA \perp OB$$，直线$$l$$与双曲线及渐近线交点满足特定条件。设$$l$$斜率为$$k$$，则联立方程可得$$A, B, C, D$$坐标关系。
由$$|AC|, |CD|, |DB|$$成等差数列，得$$2|CD| = |AC| + |DB|$$。通过距离公式和双曲线性质，推导得离心率$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \geq \frac{\sqrt{10}}{2}$$。故选A。
5. 解析：
由$$2018^a = 3$$，$$2018^b = 6$$，$$2018^c = 12$$，取对数得$$a = \log_{2018} 3$$，$$b = \log_{2018} 6$$，$$c = \log_{2018} 12$$。观察$$b - a = \log_{2018} 2$$，$$c - b = \log_{2018} 2$$，故$$a, b, c$$成等差数列。
检验等比性质：$$\frac{b}{a} \neq \frac{c}{b}$$，故不是等比数列。故选A。
6. 解析：
$$b_9$$是3和5的等差中项，故$$b_9 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$。等比数列性质有$$b_1 b_{17} = b_9^2 = 16$$。故选B。
7. 解析：
等比数列公比为$$q$$，由$$a_1 = 1$$，$$a_5 = q^4$$，$$a_3 = q^2$$。由等差中项条件，$$4a_1 + a_5 = 4a_3$$，即$$4 + q^4 = 4q^2$$，解得$$q^2 = 2$$，故$$a_2 = q = \sqrt{2}$$。故选B。
8. 解析：
由$$\lg 2$$、$$\lg (2^x - 1)$$、$$\lg (2^x + 3)$$成等差数列，得$$2\lg (2^x - 1) = \lg 2 + \lg (2^x + 3)$$。化简得$$(2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3)$$，即$$4^x - 4 \cdot 2^x - 5 = 0$$，设$$t = 2^x$$，解得$$t = 5$$，故$$x = \log_2 5$$。故选D。
9. 解析：
设每一尺的重量为等差数列$$a_1, a_2, \ldots, a_5$$，则$$a_1 = 4$$，$$a_5 = 2$$。由等差数列性质，$$a_3 = \frac{a_1 + a_5}{2} = 3$$，中间三尺重$$a_2 + a_3 + a_4 = 3a_3 = 9$$斤。故选D。
10. 解析：
设公比为$$q$$，由$$a_2 \cdot a_3 = 2a_1$$，得$$a_1 q \cdot a_1 q^2 = 2a_1$$，即$$q^3 = 2$$。由等差中项条件，$$a_4 + 2a_7 = \frac{5}{2}$$，即$$a_1 q^3 + 2a_1 q^6 = \frac{5}{2}$$，代入$$q^3 = 2$$得$$2 + 8 = \frac{5}{2}$$，矛盾。可能题目有误，暂无法确定答案。