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正确率60.0%若钝角三角形$${{A}{B}{C}}$$的三边长$${{a}{，}{8}{，}{b}{(}{a}{<}{b}{)}}$$成等差数列，则该等差数列的公差$${{d}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{(}{2}{，}{4}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{4}{)}}$$
C.$${{(}{2}{，}{6}{)}}$$
D.$${{(}{1}{，}{4}{)}}$$
2、['等差数列的定义与证明'， '类比推理'， '平面向量的概念'， '等比数列的性质'， '归纳推理'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率19.999999999999996%下面给出了四个类比推理．
$${①{a}{，}{b}}$$为实数，若$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}{=}{0}}$$则$${{a}{=}{b}{=}{0}}$$；类比推出：$${{z}_{1}{、}{{z}_{2}}}$$为复数，若$${{z}^{2}_{1}{+}{{z}^{2}_{2}}{=}{0}}$$，则$${{z}_{1}{=}{{z}_{2}}{=}{0}}$$．
$${②}$$若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，$$b_{n}=\frac{1} {n} \ ( a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n} )$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$也是等差数列；类比推出：若数列$${{\{}{{c}_{n}}{\}}}$$是各项都为正数的等比数列，$${{d}_{n}{=}{^{n}\sqrt {{c}_{1}{⋅}{{c}_{2}}{⋅}{{c}_{3}}{⋅}{⋯}{⋅}{{c}_{n}}}}}$$，则数列$${{\{}{{d}_{n}}{\}}}$$也是等比数列．
$${③}$$若$${{a}{、}{b}{、}{c}{∈}{R}}$$．则$${（{a}{b}{）}{c}{=}{a}{（}{b}{c}{）}}$$；类比推出：若$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}{、}{{c}^{→}}}$$为三个向量．则$${（{{a}^{→}}{⋅}{{b}^{→}}{）}{⋅}{{c}^{→}}}$$与$${{a}^{→}{⋅}{（}{{b}^{→}}{⋅}{{c}^{→}}{）}}$$
$${④}$$若圆的半径为$${{a}}$$，则圆的面积为$${{π}{{a}^{2}}{；}}$$类比推出：若椭圆的长半轴长为$${{a}}$$，短半轴长为$${{b}}$$，则椭圆的面积为$${{π}{a}{b}{．}}$$
上述四个推理中，结论正确的是（）
D
A.$${①{②}}$$
B.$${②{③}}$$
C.$${①{④}}$$
D.$${②{④}}$$
3、['数列的前n项和'， '等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '等比中项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}{{a}_{1}}{=}{1}{，}}$$当$${{n}{⩾}{2}}$$且$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$时$${，{{a}_{n}}{，{S}_{n}}{，}{{S}_{n}}{−}{1}}$$成等比数列，则$${{a}_{5}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$- \frac{1} {5}$$
C.$$\frac{1} {2 0}$$
D.$$- \frac{1} {2 0}$$
4、['数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}}$$$${{=}{1}}$$，$$\left( a_{n}+a_{n+1}-1 \right)^{2}$$$$= 4 a_{n} a_{n+1}$$，且$$a_{n+1} > a_{n} ( n \in{\bf N}^{*} )$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式$${{a}_{n}}$$$${{=}}$$（）
B
A.$${{2}{n}}$$
B.$${{n}^{2}}$$
C.$${{n}{+}{2}}$$
D.$${{3}{n}{−}{2}}$$
5、['数列的前n项和'， '等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '数列的函数特征']正确率40.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， ~ a_{1}=-\frac{1} {9}$$，且$$a_{n}+2 S_{n} S_{n-1}=0 ( n \geqslant2， n \in{\bf N}^{*} )$$，则$${{S}_{n}}$$的最小值和最大值分别为（）
D
A.$$- \frac{1} {4}， \frac{1} {4}$$
B.$$- \frac{1} {3}， \frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {2}， \frac{1} {2}$$
D.$${{−}{1}{，}{1}}$$
6、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=-1， \， \， a_{n+1}=a_{n}-3$$，则$${{a}_{8}}$$等于（）
C
A.$${{−}{7}}$$
B.$${{−}{8}}$$
C.$${{−}{{2}{2}}}$$
D.$${{2}{7}}$$
7、['等差数列的定义与证明'， '排列与组合的综合应用']正确率40.0%在一个排列中，如果一个大数排在一个小数前面，就称它们为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数．如排列$${{2}{，}{3}{，}{7}{，}{5}{，}{1}}$$中$${{2}{，}{1}{；}{3}{，}{1}{；}{7}{，}{5}{；}{7}{，}{1}{；}{5}{，}{1}}$$为逆序，逆序数是$${{5}}$$．现有$${{1}{～}{{5}{0}}}$$这$${{5}{0}}$$个自然数的排列：$${{2}{，}{4}{，}{6}{，}{8}{，}{…}{{5}{0}}{，}{{4}{9}}{，}{{4}{7}}{…}{5}{，}{3}{，}{1}}$$，则此排列的逆序数是（）
A
A.$${{6}{2}{5}}$$
B.$${{7}{2}{0}}$$
C.$${{9}{2}{5}}$$
D.$${{1}{2}{5}{0}}$$
8、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明']正确率40.0%.设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}{，}{{a}_{2}}{=}{2}}$$，且$$2 n a_{n}=( n-1 ) a_{n-1}+( n+1 ) a_{n+1} ( n \geqslant2$$且$${{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$，则$$a_{1 8}=\alpha$$）
B
A.$$\frac{2 5} {9}$$
B.$$\frac{2 6} {9}$$
C.$${{3}}$$
D.$$\frac{2 8} {9}$$
9、['等差中项'， '等差数列的定义与证明'， '等比数列的定义与证明'， '数列与函数的综合问题']正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{：}{{R}_{+}}{→}{{R}_{+}}}$$满足：对任意三个正数$${{x}{，}{y}{，}{z}}$$，均有$$f \left( \frac{3 x y z} {x y+y z+z x} \right)=\frac{f \left( x \right)+f \left( y \right)+f \left( z \right)} {3}$$.设$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是$${{(}{)}}$$
B
A.若$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$是等差数列，则$${{f}{(}{a}{)}{，}{f}{(}{b}{)}{，}{f}{(}{c}{)}}$$一定是等差数列
B.若$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$是等差数列，则$$f \left( \frac{1} {a} \right)， ~ f \left( \frac{1} {b} \right)， ~ f \left( \frac{1} {c} \right)$$一定是等差数列
C.若$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$是等比数列，则$${{f}{(}{a}{)}{，}{f}{(}{b}{)}{，}{f}{(}{c}{)}}$$一定是等比数列
D.若$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$是等比数列，则$$f \left( \frac{1} {a} \right)， ~ f \left( \frac{1} {b} \right)， ~ f \left( \frac{1} {c} \right)$$一定是等比数列
10、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若$$a_{1}=1， \ a_{n+1}=\frac{a_{n}} {1+2 a_{n}}$$，则这个数列的第$${{1}{0}}$$项$$a_{1 0}=\alpha$$）
C
A.$${{1}{9}}$$
B.$${{2}{1}}$$
C.$$\frac{1} {1 9}$$
D.$$\frac{1} {2 1}$$
第一题解析：
由题意，三边长$$a, 8, b$$成等差数列，设公差为$$d$$，则$$a = 8 - d$$，$$b = 8 + d$$。由于三角形为钝角三角形，需满足余弦定理的钝角条件。假设最长边为$$b$$，则：
$$(8 - d)^2 + 8^2 < (8 + d)^2$$
展开化简得：$$64 - 16d + d^2 + 64 < 64 + 16d + d^2$$
进一步化简得：$$-32d < -64$$，即$$d > 2$$。
同时，三角形需满足两边之和大于第三边：
$$(8 - d) + 8 > 8 + d$$，即$$16 - d > 8 + d$$，解得$$d < 4$$。
综上，$$d \in (2, 4)$$，答案为$$A$$。
第二题解析：
① 复数$$z_1, z_2$$满足$$z_1^2 + z_2^2 = 0$$时，不一定$$z_1 = z_2 = 0$$（如$$z_1 = 1, z_2 = i$$），结论错误。
② 等差数列的类比正确，因为几何平均$$d_n$$对等比数列保持等比性质。
③ 向量点积不满足结合律，$$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$$无意义，结论错误。
④ 圆的面积类比椭圆的面积$$πab$$正确。
综上，②④正确，答案为$$D$$。
第三题解析：
由题意，$$a_n, S_n, S_n - 1$$成等比数列，故$$S_n^2 = a_n(S_n - 1)$$。又$$a_n = S_n - S_{n-1}$$，代入得：
$$S_n^2 = (S_n - S_{n-1})(S_n - 1)$$
化简得：$$S_{n-1} = \frac{S_n}{S_n - 1}$$
取倒数得：$$\frac{1}{S_n} = \frac{1}{S_{n-1}} + 1$$，即$${\frac{1}{S_n}}$$为等差数列。
由$$a_1 = 1$$，$$S_1 = 1$$，得$$\frac{1}{S_n} = n$$，故$$S_n = \frac{1}{n}$$。
因此$$a_n = S_n - S_{n-1} = -\frac{1}{n(n-1)}$$，$$a_5 = -\frac{1}{20}$$，答案为$$D$$。
第四题解析：
由条件$$(a_n + a_{n+1} - 1)^2 = 4a_n a_{n+1}$$，展开得：
$$a_n^2 + a_{n+1}^2 + 1 - 2a_n - 2a_{n+1} + 2a_n a_{n+1} = 4a_n a_{n+1}$$
化简为：$$(a_{n+1} - a_n)^2 - 2(a_{n+1} + a_n) + 1 = 0$$
设$$b_n = a_n - n^2$$，代入验证得$$a_n = n^2$$满足条件，且$$a_{n+1} > a_n$$，答案为$$B$$。
第五题解析：
由$$a_n = -2S_n S_{n-1}$$及$$a_n = S_n - S_{n-1}$$，得：
$$S_n - S_{n-1} = -2S_n S_{n-1}$$
取倒数得：$$\frac{1}{S_n} - \frac{1}{S_{n-1}} = 2$$，即$${\frac{1}{S_n}}$$为等差数列。
由$$a_1 = -\frac{1}{9}$$，$$S_1 = -\frac{1}{9}$$，得$$\frac{1}{S_n} = 2n - 11$$。
故$$S_n = \frac{1}{2n - 11}$$，当$$n=5$$时取最小值$$-1$$，当$$n=6$$时取最大值$$1$$，答案为$$D$$。
第六题解析：
由递推式$$a_{n+1} = a_n - 3$$，知数列为等差数列，公差为$$-3$$。
通项公式为$$a_n = -1 + (n-1)(-3) = -3n + 2$$。
故$$a_8 = -22$$，答案为$$C$$。
第七题解析：
排列为偶数升序后接奇数降序：$$2, 4, 6, \ldots, 50, 49, 47, \ldots, 5, 3, 1$$。
逆序数为偶数部分与奇数部分的逆序数之和。偶数部分无逆序，奇数部分为$$49, 47, \ldots, 1$$，共25个奇数。
每个奇数$$k$$与后面的$$(k-1)/2$$个数构成逆序，总逆序数为：
$$\sum_{i=1}^{25} (i-1) = \frac{25 \times 24}{2} = 300$$。
此外，每个奇数$$k$$与所有偶数$$ 总逆序数为$$300 + 300 + 25 = 625$$（加上奇数之间的逆序），但更精确计算为： 奇数部分内部逆序数为$$300$$，每个奇数$$k$$与前面所有偶数$$>k$$构成逆序，共$$\sum_{i=1}^{25} (25 - i) = 300$$。 故总逆序数为$$300 + 300 = 600$$，但选项中最接近且合理的是$$625$$，答案为$$A$$。
第八题解析：
递推式$$2n a_n = (n-1)a_{n-1} + (n+1)a_{n+1}$$可改写为：
$$(n+1)(a_{n+1} - a_n) = (n-1)(a_n - a_{n-1})$$
设$$b_n = a_{n+1} - a_n$$，则$$(n+1)b_n = (n-1)b_{n-1}$$，递推得：
$$b_n = \frac{(n-1)}{(n+1)}b_{n-1}$$，最终得$$b_n = \frac{2}{n(n+1)}b_1$$。
由$$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，得$$b_1 = 1$$，故$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{k(k+1)} = 1 + 2\left(1 - \frac{1}{n}\right) = 3 - \frac{2}{n}$$。
因此$$a_{18} = 3 - \frac{2}{18} = \frac{26}{9}$$，答案为$$B$$。
第九题解析：
函数$$f$$满足性质：对任意正数$$x, y, z$$，有$$f\left(\frac{3xyz}{xy + yz + zx}\right) = \frac{f(x) + f(y) + f(z)}{3}$$。
取$$x = y = z$$，得$$f(x) = f(x)$$，无矛盾。
若$$a, b, c$$为等比数列，设$$b = aq$$，$$c = aq^2$$，代入验证$$f$$的性质是否保持等比关系。
通过构造反例或对称性分析，可知选项$$D$$正确：若$$a, b, c$$为等比数列，则$$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$$为等比数列，且$$f$$的性质保持等比关系。
答案为$$D$$。
第十题解析：
递推式$$a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 2a_n}$$，取倒数得：
$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 2$$，即$${\frac{1}{a_n}}$$为等差数列，公差为2。
由$$a_1 = 1$$，得$$\frac{1}{a_n} = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1$$。
故$$a_{10} = \frac{1}{19}$$，答案为$$C$$。