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正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列$$， \， \， a_{1}=2，$$且$$a_{2}， ~ a_{3}+2， ~ a_{4}$$依次成等差数列，则$$\operatorname{l o g}_{2} ( a_{1} a_{2} \ldots a_{1 0} )=$$（）
C
A.$${{3}{5}}$$
B.$${{4}{5}}$$
C.$${{5}{5}}$$
D.$${{6}{5}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '等差中项'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的一个内角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，并且三边长构成公差为$${{2}}$$的等差数列，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的周长为（）
A
A.$${{1}{5}}$$
B.$${{1}{8}}$$
C.$${{2}{1}}$$
D.$${{2}{4}}$$
3、['余弦定理及其应用'， '等差中项'， '判断三角形的形状']正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$A， ~ B+\frac{\pi} {8}， ~ C$$成等差数列，$$c=a \operatorname{c o s} B$$，则$${{△}{A}{B}{C}}$$的形状为（）
B
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4、['等差中项'， '圆锥曲线中求轨迹方程'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知两点$$F_{1} (-1， 0 )， ~ F ( 1， 0 )$$，且$${{|}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{|}}$$是$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}}$$与$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$的等差数列中项，则动点$${{P}}$$所形成的轨迹的离心率是$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$${{1}}$$
5、['等差中项'， '圆锥曲线中求轨迹方程'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知两点$$F_{1} ~ ( \mathbf{\alpha} 2， \mathbf{\alpha} 0 ) ~， \mathbf{\alpha} F_{2} ~ ( \mathbf{\alpha} 2， \mathbf{\alpha} 0 )$$，且$${{|}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{|}}$$是$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}}$$与$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$的等差中项，则动点$${{P}}$$的轨迹方程为（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$
6、['等差中项'， '离散型随机变量的分布列及其性质']正确率60.0%随机变量$${{X}}$$的分布列如下表，其中$$a， ~ b， ~ c$$成等差数列，则$$P ( X=4 )=$$（）
| $${{X}}$$ | $${{2}}$$ | $${{4}}$$ | $${{6}}$$ |
| $${{P}}$$ | $${{a}}$$ | $${{b}}$$ | $${{c}}$$ |
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {7}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
7、['等差中项'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的性质']正确率60.0%$${《}$$九章算术$${》}$$是我国古代第一部数学专著，全书收集了$${{2}{4}{6}}$$个问题及其解法，其中一个问题为$${{“}}$$现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为$${{3}}$$升，下面三节的容积之和为$${{4}}$$升，求中间两节的容积各为多少？$${{”}}$$该问题中第$${{2}}$$节，第$${{3}}$$节，第$${{8}}$$节竹子的容积之和为（）
A
A.$$\frac{1 7} {6}$$升
B.$$\frac{7} {2}$$升
C.$$\frac{1 1 3} {6 6}$$升
D.$$\frac{1 0 9} {3 3}$$升
8、['等差中项'， '数列的函数特征'， '等差数列的前n项和的应用'， '等差数列的性质']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1} > 0， \， \， S_{1 3} > 0， S_{1 4} < 0$$，则前几项的和最大（）
C
A.$${{1}{3}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
9、['等差数列的通项公式'， '等差中项'， '数列的函数特征'， '等差数列的基本量']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， \， \， a_{6} \!+\! a_{8} \!=\! 6， \， \， S_{9}-S_{6}=3$$，则使$${{S}_{n}}$$取得最大值时$${{n}}$$的值为（）
D
A.$${{5}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
10、['等差中项'， '等差数列的性质']正确率40.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$$S_{n}=4 8， \， \， S_{2 n}=6 0$$，则$$S_{3 n}=\langle$$）
C
A.$${{1}{0}{8}}$$
B.$${{7}{2}}$$
C.$${{3}{6}}$$
D.$${{1}{8}}$$
以下是各题的详细解析： --- ### 1. 等比数列与对数运算设等比数列的公比为 $$q$$，则 $$a_2 = 2q$$，$$a_3 = 2q^2$$，$$a_4 = 2q^3$$。根据题意，$$a_2$$、$$a_3 + 2$$、$$a_4$$ 成等差数列，故有：
$$2(a_3 + 2) = a_2 + a_4$$
代入得：
$$2(2q^2 + 2) = 2q + 2q^3$$
化简得：
$$2q^3 - 4q^2 + 2q - 4 = 0$$
解得 $$q = 2$$（验证成立）。
前 10 项积为：
$$a_1 a_2 \ldots a_{10} = 2 \times 4 \times 8 \times \ldots \times 2^{10} = 2^{1 + 2 + \ldots + 10} = 2^{55}$$
$$\log_2 (2^{55}) = 55$$，故选 C。
--- ### 2. 三角形周长与等差数列设三边为 $$a - 2$$、$$a$$、$$a + 2$$，且夹角 $$120^\circ$$ 对边为 $$a$$。由余弦定理：
$$a^2 = (a - 2)^2 + (a + 2)^2 - 2(a - 2)(a + 2)\cos 120^\circ$$
化简得：
$$a^2 = 2a^2 + 8 - (a^2 - 4)(-0.5)$$
解得 $$a = 7$$，周长为 $$5 + 7 + 9 = 21$$，故选 C。
--- ### 3. 三角形形状判断由等差数列条件得 $$2B + \frac{\pi}{4} = \pi - A - C$$，结合 $$A + B + C = \pi$$ 得 $$B = \frac{3\pi}{8}$$。
由 $$c = a \cos B$$ 及正弦定理：
$$\sin C = \sin A \cos B$$
利用角度关系化简得 $$A = C$$，故为等腰三角形，选 C。
--- ### 4. 轨迹离心率由题意 $$2|F_1F_2| = |PF_1| + |PF_2|$$，即 $$4 = |PF_1| + |PF_2|$$。
此为椭圆定义，$$2a = 4$$，$$2c = 2$$，故离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$$，选 A。
--- ### 5. 轨迹方程类似题 4，$$2a = 8$$，$$2c = 4$$，故轨迹为椭圆 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$$，选 D。
--- ### 6. 概率与等差数列由 $$a + b + c = 1$$ 且 $$2b = a + c$$，解得 $$b = \frac{1}{3}$$，故选 D。
--- ### 7. 九节竹子容积设首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$，由条件：
$$\frac{4}{2}(2a_1 + 3d) = 3$$
$$\frac{3}{2}(2a_1 + 15d) = 4$$
解得 $$a_1 = \frac{13}{22}$$，$$d = \frac{7}{66}$$。
所求为 $$a_2 + a_3 + a_8 = 3a_1 + 10d = \frac{17}{6}$$，选 A。
--- ### 8. 等差数列前 n 项和最大值由 $$S_{13} > 0$$ 和 $$S_{14} < 0$$ 知 $$a_7 > 0$$，$$a_8 < 0$$，故前 7 项和最大，选 C。
--- ### 9. 等差数列最值由 $$a_6 + a_8 = 6$$ 得 $$a_7 = 3$$，由 $$S_9 - S_6 = 3$$ 得 $$a_7 + a_8 + a_9 = 3$$，故 $$a_8 = 0$$。
因此前 7 项或前 8 项和最大，结合选项选 C。
--- ### 10. 等差数列求和由 $$S_n = 48$$，$$S_{2n} = 60$$，利用等差数列性质得 $$S_{3n} = 3S_{2n} - 3S_n = 36$$，选 C。
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