1、['等差数列的通项公式']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为递增数列，且满足$${{a}_{3}{+}{{a}_{7}}{=}{{3}{4}}{，}{{a}_{4}}{⋅}{{a}_{6}}{=}{{2}{8}{0}}{，}}$$则其通项公式为（）
B
A.$${{a}_{n}{=}{6}{n}{−}{{1}{0}}}$$
B.$${{a}_{n}{=}{3}{n}{+}{2}}$$
C.$${{a}_{n}{=}{2}{n}{+}{7}}$$
D.$${{a}_{n}{=}{n}{+}{{1}{0}}}$$
2、['等差数列的通项公式'， '等差数列的基本量']正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$${{a}_{1}{+}{{a}_{3}}{=}{2}}$$，$${{a}_{4}{−}{{a}_{2}}{=}{2}}$$，则$${{S}_{5}{=}}$$（）
C
A.$${{2}{1}}$$
B.$${{1}{5}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{6}}$$
3、['等差数列的通项公式'， '等比数列的通项公式'， '数列的通项公式']正确率40.0%将数列$${{\{}{3}{n}{−}{1}{\}}}$$与$${{\{}{{2}^{n}}{+}{1}{\}}}$$的公共项从小到大排列得到数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的第$${{1}{0}}$$项为（）
D
A.$$2^{1 0}-1$$
B.$$2^{1 0}+1$$
C.$$2^{2 0}-1$$
D.$$2^{2 0}+1$$
4、['等差数列的通项公式'， '函数的最大(小)值'， '对数的性质']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{x}{+}{l}{n}{（}{{e}^{x}}{+}{1}{）}}$$图象上三个不同点$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$的横坐标成公差为$${{1}}$$的等差数列，则$${{△}{A}{B}{C}}$$面积的最大值为（）
D
A.$$\l n \frac{( e+1 )^{2}} {4 e}$$
B.$$l n \frac{\sqrt{1+e^{2}}} {1+e}$$
C.$$l n {\frac{2 ( 1+e^{2} )} {( 1+e )^{2}}}$$
D.$$l n \frac{e+1} {2 \sqrt{e}}$$
5、['等差数列的通项公式'， '等比数列的通项公式'， '等差、等比数列的综合应用']正确率40.0%已知各项均不相等的等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{，}}$$若$${{3}{{a}_{2}}{，}{3}{{a}_{3}}{，}{{a}_{4}}}$$成等差数列，设$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$$\frac{S_{3}} {a_{3}}$$等于（）
A
A.$$\frac{1 3} {9}$$
B.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{1}}$$
6、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}{，}{{a}_{2}}{=}{3}}$$，且$$2 n a_{n}=( n-1 ) a_{n-1}+( n+1 ) a_{n+1} ( n \geq2 )$$且$${{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$则$$\frac{a_{n}} {n}$$的最大值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1 1} {9}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
7、['等差数列的通项公式'， '等差数列的基本量']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，$${{a}_{3}{=}{4}{，}{{a}_{7}}{=}{{1}{2}}}$$，则$$a_{1 1}$$的值为（）
D
A.$${{1}{4}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{2}{0}}$$
10、['等差数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$S_{1 5}=7 5 \mathrm{， ~} a_{3}+a_{4}+a_{5}=1 2$$，则$$S_{1 1}=\alpha$$）
C
A.$${{1}{0}{9}}$$
B.$${{9}{9}}$$
C.$$\frac{9 9} {2}$$
D.$$\frac{1 0 9} {2}$$
1. 设等差数列的首项为$$a_1$$，公差为$$d$$（$$d > 0$$，因为数列递增）。根据题意：
$$a_3 + a_7 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 2a_1 + 8d = 34$$
解得：
$$a_1 + 4d = 17 \quad (1)$$
$$a_4 \cdot a_6 = (a_1 + 3d)(a_1 + 5d) = 280$$
将$$a_1 = 17 - 4d$$代入：
$$(17 - d)(17 + d) = 280$$
即：
$$289 - d^2 = 280$$
解得：
$$d^2 = 9 \Rightarrow d = 3$$
再代入(1)得：
$$a_1 = 17 - 12 = 5$$
通项公式为：
$$a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 2$$
答案为$$B$$。
2. 设等差数列的首项为$$a_1$$，公差为$$d$$。根据题意：
$$a_1 + a_3 = a_1 + (a_1 + 2d) = 2a_1 + 2d = 2$$
即：
$$a_1 + d = 1 \quad (1)$$
$$a_4 - a_2 = (a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 2d = 2$$
解得：
$$d = 1$$
代入(1)得：
$$a_1 = 0$$
前5项和为：
$$S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = \frac{5}{2}(0 + 4) = 10$$
答案为$$C$$。
3. 公共项需满足$$3n - 1 = 2^m + 1$$，即$$3n = 2^m + 2$$。整理得：
$$n = \frac{2^m + 2}{3}$$
要求$$n$$为整数，故$$2^m \equiv 1 \pmod{3}$$，即$$m$$为偶数。
设$$m = 2k$$，则公共项为：
$$a_k = 2^{2k} + 1$$
第10项为：
$$a_{10} = 2^{20} + 1$$
答案为$$D$$。
4. 设三点横坐标为$$x$$、$$x+1$$、$$x+2$$，则面积为：
$$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left| f(x) - 2f(x+1) + f(x+2) \right|$$
计算$$f(x) = x + \ln(e^x + 1)$$的差分：
$$f(x+1) - f(x) = 1 + \ln\left(\frac{e^{x+1} + 1}{e^x + 1}\right)$$
$$f(x+2) - 2f(x+1) + f(x) = \ln\left(\frac{(e^{x+2} + 1)(e^x + 1)}{(e^{x+1} + 1)^2}\right)$$
令$$t = e^x$$，化简得：
$$S = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{(t e^2 + 1)(t + 1)}{(t e + 1)^2}\right)$$
求极值点$$t = \frac{1}{e}$$，代入得：
$$S_{\text{max}} = \ln\left(\frac{e + 1}{2 \sqrt{e}}\right)$$
答案为$$D$$。
5. 设等比数列首项为$$a_1$$，公比为$$r$$（$$r \neq 1$$）。根据题意：
$$6a_3 = 3a_2 + a_4$$
即：
$$6a_1 r^2 = 3a_1 r + a_1 r^3$$
化简得：
$$6r = 3 + r^2$$
解得：
$$r = 3$$
前3项和为：
$$S_3 = a_1 (1 + r + r^2) = a_1 (1 + 3 + 9) = 13a_1$$
而$$a_3 = 9a_1$$，故：
$$\frac{S_3}{a_3} = \frac{13}{9}$$
答案为$$A$$。
6. 递推关系为：
$$2n a_n = (n-1) a_{n-1} + (n+1) a_{n+1}$$
设$$b_n = \frac{a_n}{n}$$，则递推式化为：
$$2n^2 b_n = (n-1)n b_{n-1} + (n+1)n b_{n+1}$$
即：
$$2n b_n = (n-1) b_{n-1} + (n+1) b_{n+1}$$
整理得：
$$(n+1)(b_{n+1} - b_n) = (n-1)(b_n - b_{n-1})$$
令$$c_n = b_n - b_{n-1}$$，则：
$$(n+1) c_{n+1} = (n-1) c_n$$
递推解得：
$$c_n = \frac{c_2}{n(n-1)}$$
由$$a_1 = 1$$，$$a_2 = 3$$，得$$b_1 = 1$$，$$b_2 = \frac{3}{2}$$，$$c_2 = \frac{1}{2}$$。
故：
$$c_n = \frac{1}{2n(n-1)}$$
累加得：
$$b_n = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{2k(k-1)} = 1 + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2n}$$
显然$$b_n$$随$$n$$增大而递增，最大值趋近于$$\frac{3}{2}$$。
答案为$$B$$。
7. 等差数列的公差为：
$$d = \frac{a_7 - a_3}{4} = \frac{12 - 4}{4} = 2$$
故：
$$a_{11} = a_7 + 4d = 12 + 8 = 20$$
答案为$$D$$。
10. 设等差数列首项为$$a_1$$，公差为$$d$$。根据题意：
$$S_{15} = \frac{15}{2}(2a_1 + 14d) = 75$$
即：
$$2a_1 + 14d = 10 \quad (1)$$
$$a_3 + a_4 + a_5 = 3a_4 = 12$$
即：
$$a_4 = 4$$
代入通项公式：
$$a_1 + 3d = 4 \quad (2)$$
联立(1)(2)解得：
$$a_1 = 1$$，$$d = 1$$
前11项和为：
$$S_{11} = \frac{11}{2}(2a_1 + 10d) = \frac{11}{2}(2 + 10) = 66$$
但选项无66，可能题目有误。若$$a_3 + a_4 + a_5 = 9$$，则$$a_4 = 3$$，解得：
$$a_1 = 0$$，$$d = 1$$
此时：
$$S_{11} = \frac{11}{2}(0 + 10) = 55$$
仍不符。假设题目为$$S_{15} = 90$$，则：
$$2a_1 + 14d = 12$$
与$$a_4 = 4$$联立解得：
$$a_1 = \frac{1}{2}$$，$$d = \frac{7}{6}$$
计算复杂，可能原题选项有误。
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