等差数列的基本量-4.2 等差数列知识点考前进阶自测题解析-北京市等高二数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['等差数列的通项公式'， '等差数列的基本量']

正确率60.0%已知$${{S}_{n}}$$是等差数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和，$$a_{3}+a_{7}=8， \， \， S_{7}=3 5，$$则$$a_{4}+a_{5}=$$（）

A.$${{1}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{9}}$$

2、['等差数列的通项公式'， '数列的函数特征'， '等差数列的基本量'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%已知等差数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$且$$a_{1 0}=9， \， \， \， S_{1 0}=0，$$则$$\frac{S_{n}} {n ( n-\sqrt{3 2} )}$$的值最大时对应的$${{n}}$$为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

3、['等差数列的基本量']

正确率60.0%设等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公差为$${{d}}$$，且$$a_{1} a_{2}=3 5， \ 2 a_{4}-a_{6}=7$$，则$${{d}{=}}$$（）

A.$${{4}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

4、['等比数列的性质'， '等差数列的基本量']

正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，若$$a_{1}+1， \， \， a_{3}+3， \， \， a_{5}+5$$构成公比为$${{q}}$$的等比数列，则$${{q}}$$的值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{5}}$$

5、['等差数列的通项公式'， '等差数列的基本量'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$满足$$S_{9}-S_{2}=3 5$$，则$${{a}_{6}}$$的值是

A.$${{5}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{3}}$$

6、['等差数列的通项公式'， '等差数列的基本量']

正确率60.0%$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是首顶$${{a}_{1}{=}{1}}$$，公差$${{d}{=}{3}}$$的等差数列，如果$${{a}_{n}{=}{{2}{0}{2}{0}}}$$，则序号$${{n}}$$等于（）

A.$${{6}{7}{1}}$$

B.$${{6}{7}{2}}$$

C.$${{6}{7}{3}}$$

D.$${{6}{7}{4}}$$

7、['等差数列的基本量'， '等差数列的性质']

正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{4}+a_{6}=8$$，则$$a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{2}{0}}$$

D.$${{2}{4}}$$

8、['等差数列的基本量'， '等差数列的性质']

正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{7}+a_{9}=1 6， \， \， a_{4}=1$$，则$${{a}_{6}}$$的值是

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{4}}$$

9、['数列的函数特征'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质']

正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，首项$$a_{1} > 0， \， \， a_{2 0 0 3}+a_{2 0 0 4} > 0， \， \， a_{2 0 0 3} \cdot a_{2 0 0 4} < 0$$，则使前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}{>}{0}}$$成立的最大自然数$${{n}}$$是（）

A.$${{4}}$$$${{0}{0}{5}}$$

B.$${{4}}$$$${{0}{0}{6}}$$

C.$${{4}}$$$${{0}{0}{7}}$$

D.$${{4}}$$$${{0}{0}{8}}$$

10、['等差数列的基本量'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%设$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等差数列，$$a_{1}=2 4， S_{n}$$为其前$${{n}}$$项和，若$$S_{6}=S_{1 1}$$，则公差$${{d}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{−}{3}}$$

D.$${{3}}$$

1. 设等差数列的首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$。根据题意：

$$a_3 + a_7 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 2a_1 + 8d = 8 \quad (1)$$ $$S_7 = \frac{7}{2}(2a_1 + 6d) = 35 \Rightarrow 2a_1 + 6d = 10 \quad (2)$$

由 (1) 和 (2) 解得：

$$d = 1, \quad a_1 = 2$$

因此：

$$a_4 + a_5 = (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) = 2a_1 + 7d = 11$$

但选项中没有 11，检查推导是否有误。

重新计算：

由 (2) 得 $$a_1 + 3d = 5$$，代入 (1) 得 $$2(5 - 3d) + 8d = 8 \Rightarrow 10 + 2d = 8 \Rightarrow d = -1$$ $$a_1 = 5 - 3(-1) = 8$$ $$a_4 + a_5 = (8 + 3(-1)) + (8 + 4(-1)) = 5 + 4 = 9$$

正确答案为 D。

2. 设等差数列的首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$。根据题意：

$$a_{10} = a_1 + 9d = 9 \quad (1)$$ $$S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 0 \Rightarrow 2a_1 + 9d = 0 \quad (2)$$

由 (1) 和 (2) 解得：

$$a_1 = -9, \quad d = 2$$

因此：

$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(-18 + 2(n-1)) = n(n - 10)$$

题目要求 $$\frac{S_n}{n(n - \sqrt{32})} = \frac{n - 10}{n - 4\sqrt{2}}$$ 的最大值对应的 $$n$$。

分析函数 $$f(n) = \frac{n - 10}{n - 4\sqrt{2}}$$ 的极值点，计算导数或尝试整数点：

$$n = 5: \frac{-5}{5 - 4\sqrt{2}} \approx 3.45$$ $$n = 6: \frac{-4}{6 - 4\sqrt{2}} \approx 4.83$$ $$n = 7: \frac{-3}{7 - 4\sqrt{2}} \approx 6.51$$

最大值出现在 $$n = 7$$，正确答案为 D。

3. 设等差数列的首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$。根据题意：

$$a_1 a_2 = a_1(a_1 + d) = 35 \quad (1)$$ $$2a_4 - a_6 = 2(a_1 + 3d) - (a_1 + 5d) = a_1 + d = 7 \quad (2)$$

由 (2) 得 $$a_1 = 7 - d$$，代入 (1)：

$$(7 - d)(7) = 35 \Rightarrow 7 - d = 5 \Rightarrow d = 2$$

正确答案为 C。

4. 设等差数列的首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$。根据题意：

$$a_3 + 3 = (a_1 + 2d) + 3 = a_1 + 2d + 3$$ $$a_5 + 5 = (a_1 + 4d) + 5 = a_1 + 4d + 5$$

等比数列性质：

$$(a_3 + 3)^2 = (a_1 + 1)(a_5 + 5)$$ $$(a_1 + 2d + 3)^2 = (a_1 + 1)(a_1 + 4d + 5)$$

展开并化简：

$$a_1^2 + 4d^2 + 9 + 4a_1 d + 6a_1 + 12d = a_1^2 + 4a_1 d + 5a_1 + a_1 + 4d + 5$$ $$4d^2 + 8d + 4 = 0 \Rightarrow d^2 + 2d + 1 = 0 \Rightarrow d = -1$$

因此：

$$q = \frac{a_3 + 3}{a_1 + 1} = \frac{a_1 + 2(-1) + 3}{a_1 + 1} = \frac{a_1 + 1}{a_1 + 1} = 1$$

正确答案为 C。

5. 根据等差数列性质：

$$S_9 - S_2 = (a_3 + a_4 + \cdots + a_9) = 7a_6 = 35 \Rightarrow a_6 = 5$$

正确答案为 A。

6. 等差数列通项公式：

$$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + 3(n-1) = 3n - 2$$

设 $$a_n = 2020$$：

$$3n - 2 = 2020 \Rightarrow 3n = 2022 \Rightarrow n = 674$$

正确答案为 D。

7. 根据等差数列性质：

$$a_4 + a_6 = 2a_5 = 8 \Rightarrow a_5 = 4$$ $$a_3 + a_7 = 2a_5 = 8$$ $$a_4 + a_6 = 8$$

因此：

$$a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 8 + 4 + 8 = 20$$

正确答案为 C。

8. 设等差数列的首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$。根据题意：

$$a_7 + a_9 = (a_1 + 6d) + (a_1 + 8d) = 2a_1 + 14d = 16 \quad (1)$$ $$a_4 = a_1 + 3d = 1 \quad (2)$$

由 (1) 和 (2) 解得：

$$a_1 = -5, \quad d = 2$$

因此：

$$a_6 = a_1 + 5d = -5 + 10 = 5$$

但选项中没有 5，检查推导是否有误。

重新计算：

由 (2) 得 $$a_1 = 1 - 3d$$，代入 (1)： $$2(1 - 3d) + 14d = 16 \Rightarrow 2 + 8d = 16 \Rightarrow d = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$$ $$a_1 = 1 - 3 \times \frac{7}{4} = -\frac{17}{4}$$ $$a_6 = -\frac{17}{4} + 5 \times \frac{7}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$$

题目可能有误，假设 $$a_7 + a_9 = 16$$ 为 $$a_7 + a_8 = 16$$，则：

$$2a_1 + 13d = 16$$ $$a_1 + 3d = 1$$ 解得 $$d = 2$$，$$a_1 = -5$$，$$a_6 = 7$$

但选项仍不匹配，可能题目描述有误。

9. 根据题意：

$$a_{2003} + a_{2004} > 0$$ $$a_{2003} \cdot a_{2004} < 0$$

说明 $$a_{2003} > 0$$，$$a_{2004} < 0$$，且 $$|a_{2003}| > |a_{2004}|$$。

等差数列前 $$n$$ 项和公式：

$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$

使 $$S_n > 0$$ 的最大自然数 $$n$$ 满足：

$$S_{4006} = \frac{4006}{2}(2a_1 + 4005d) = 2003(a_{2003} + a_{2004}) > 0$$ $$S_{4007} = \frac{4007}{2}(2a_1 + 4006d) = 4007 a_{2004} < 0$$

因此最大 $$n$$ 为 4006，正确答案为 B。

10. 设等差数列的首项为 $$a_1 = 24$$，公差为 $$d$$。根据题意：

$$S_6 = \frac{6}{2}(2 \times 24 + 5d) = 3(48 + 5d)$$ $$S_{11} = \frac{11}{2}(2 \times 24 + 10d) = \frac{11}{2}(48 + 10d)$$

由 $$S_6 = S_{11}$$ 得：

$$3(48 + 5d) = \frac{11}{2}(48 + 10d)$$ $$6(48 + 5d) = 11(48 + 10d)$$ $$288 + 30d = 528 + 110d$$ $$-80d = 240 \Rightarrow d = -3$$

正确答案为 C。

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