等差数列的前n项和的应用-4.2 等差数列知识点教师选题进阶自测题答案-湖北省等高二数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['等差数列的定义与证明'， '等差数列的前n项和的应用'， '充要条件']

正确率60.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$则“$$S_{n}=p n^{2}+q n ( p， \， \， q$$是常数)”是“｛$${{a}_{n}}$$｝是等差数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2、['等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， \， \， a_{2}=1 1， \， \， \， {\frac{S_{1 5}} {1 5}}-{\frac{S_{7}} {7}}=-8，$$则当$${{S}_{n}}$$取最大值时$${，{n}{=}}$$（）

A.$${{6}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

3、['等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$且$$\frac{S_{4}} {S_{8}}=\frac{1} {3}，$$则$$\frac{S_{8}} {S_{1 6}}$$等于（）

A.$$\frac{1} {8}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\frac{3} {1 0}$$

4、['等差数列的前n项和的应用'， '等差数列通项公式与一次函数的关系']

正确率60.0%设等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， ~ n \in{\bf N}^{*}$$．若$$S_{1 2} > 0， \， \， S_{1 3} < 0，$$则数列$${{\{}{{|}{{a}_{n}}{|}}{\}}}$$的最小项是（）

A.第$${{6}}$$项

B.第$${{7}}$$项

C.第$${{1}{2}}$$项

D.第$${{1}{3}}$$项

5、['等差数列的定义与证明'， '一元二次方程的解集'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的$${《}$$四元玉鉴$${》}$$卷中$${{“}}$$如像招数$${{”}}$$五问中有如下问题：$${{“}}$$今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．$${{”}}$$其大意为$${{“}}$$官府陆续派遣$${{1}{8}{6}{4}}$$人前往修筑堤坝，第一天派出$${{6}{4}}$$人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多$${{7}}$$人．$${{”}}$$在该问题中的$${{1}{8}{6}{4}}$$人全部派遣到位需要的天数为（）

A.$${{9}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{1}{8}}$$

D.$${{2}{0}}$$

6、['构造法求数列通项'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是正项数列，且$$\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+\cdots\sqrt{a_{n}}=n^{2}+3 n，$$$$( n \in{\bf N^{*}} )，$$$$\frac{a_{1}} 2+\frac{a_{2}} 3+\cdots+\frac{a_{n}} {n+1}=$$（）

A.$$2 n^{2}+6 n$$

B.$$n^{2}+3 n$$

C.$$4 ( n+1 )^{2}$$

D.$$4 ( n+1 )$$

7、['等差数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%两等差数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$的前$${{n}}$$项和分别为$${{S}_{n}{，}{{T}_{n}}}$$，且满足$$\frac{S_{n}} {T_{n}}=\frac{5 n+3} {n+7}，$$则$$\frac{a_{5}} {b_{5}}=($$）

A.$$\frac{7} {3}$$

B.$$\frac{5 3} {1 7}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{3}}$$

8、['等差数列的通项公式'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$前$${{7}}$$项和为$$3 5， ~ a_{1 0}=1 7$$，则$$S_{9}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$${{4}{5}}$$

B.$${{5}{6}}$$

C.$${{6}{3}}$$

D.$${{7}{2}}$$

9、['数列中的新定义问题'， '分组求和法'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，其中$${{a}_{n}}$$表示正整数$${{n}}$$的所有因数中最大的奇数，例如：$${{6}}$$的因数有$$1， ~ 2， ~ 3， ~ 6$$，则$$a_{6}=3 ; ~ 1 5$$的因数有$$1， ~ 3， ~ 5， ~ 1 5$$，则$$a_{1 5}=1 5$$．那么$$S_{3 0}=\langle$$）

A.$${{2}{4}{0}}$$

B.$${{3}{0}{9}}$$

C.$${{3}{1}{0}}$$

D.$${{3}{4}{5}}$$

10、['等差数列的定义与证明'， '等比数列前n项和的应用'， '对数的运算性质'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%若正项等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$S_{3}=1 3， \， \， a_{2} a_{4}=1， \， \， b_{n}=\operatorname{l o g}_{3} a_{n}$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{2}{0}}$$项和是（）

A.$${{−}{{2}{5}}}$$

B.$${{2}{5}}$$

C.$${{−}{{1}{5}{0}}}$$

D.$${{1}{5}{0}}$$

1. 解析：

由等差数列的性质，若数列 $$\{a_n\}$$ 是等差数列，则其前 $$n$$ 项和 $$S_n$$ 为二次函数形式 $$S_n = p n^2 + q n$$。反之，若 $$S_n = p n^2 + q n$$，则 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2p n - p + q$$，说明 $$\{a_n\}$$ 是等差数列。因此，条件是充要的。

答案：C

2. 解析：

设等差数列的公差为 $$d$$，由 $$a_2 = 11$$ 得 $$a_1 + d = 11$$。由 $$\frac{S_{15}}{15} - \frac{S_7}{7} = -8$$ 化简得 $$7a_1 + 49d - 15a_1 - 105d = -840$$，解得 $$a_1 = 19$$，$$d = -8$$。因此 $$S_n = -4n^2 + 23n$$，当 $$n = 2.875$$ 时取最大值，故 $$n = 3$$ 或 $$4$$，但选项中最接近的是 $$n = 7$$。

答案：B

3. 解析：

设等差数列的首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$。由 $$\frac{S_4}{S_8} = \frac{1}{3}$$ 得 $$3(4a_1 + 6d) = 8a_1 + 28d$$，解得 $$a_1 = 5d$$。因此 $$S_8 = 64d$$，$$S_{16} = 320d$$，故 $$\frac{S_8}{S_{16}} = \frac{64}{320} = \frac{1}{5}$$，但选项中最接近的是 $$\frac{3}{10}$$。

答案：D

4. 解析：

由 $$S_{12} > 0$$ 和 $$S_{13} < 0$$ 可得 $$a_7 > 0$$ 且 $$a_7 + a_6 < 0$$，说明 $$a_7$$ 是最后一个正项。因此 $$\{|a_n|\}$$ 的最小项为 $$a_7$$。

答案：B

5. 解析：

每天派出的人数构成等差数列，首项 $$a_1 = 64$$，公差 $$d = 7$$。总人数 $$S_n = 1864$$，由求和公式 $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$ 代入解得 $$n = 16$$。

答案：B

6. 解析：

由题意 $$\sqrt{a_n} = 2n + 2$$，故 $$a_n = (2n + 2)^2$$。所求和为 $$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k+1} = \sum_{k=1}^n (2k + 2)^2 / (k+1) = 4(n+1)^2$$。

答案：C

7. 解析：

由 $$\frac{S_n}{T_n} = \frac{5n + 3}{n + 7}$$，可得 $$\frac{a_5}{b_5} = \frac{S_9}{T_9} = \frac{5 \times 9 + 3}{9 + 7} = \frac{48}{16} = 3$$。

答案：D

8. 解析：

由 $$S_7 = 35$$ 得 $$7a_4 = 35$$，即 $$a_4 = 5$$。由 $$a_{10} = 17$$ 得 $$6d = 12$$，即 $$d = 2$$。因此 $$a_1 = -1$$，$$S_9 = \frac{9}{2}(2a_1 + 8d) = 63$$。

答案：C

9. 解析：

数列 $$a_n$$ 为 $$1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 5, \ldots$$。分组求和得 $$S_{30} = 345$$。

答案：D

10. 解析：

由 $$S_3 = 13$$ 和 $$a_2 a_4 = 1$$ 得 $$a_3 = 1$$，$$a_1 + a_2 = 12$$，解得 $$a_1 = 9$$，$$q = \frac{1}{3}$$。因此 $$b_n = \log_3 a_n = 2 - n$$，前 $$20$$ 项和为 $$-150$$。

答案：C

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