等差数列的定义与证明-4.2 等差数列知识点考前基础选择题自测题解析-青海省等高二数学选择必修,平均正确率62.0%

1、['等差数列的定义与证明'， '或、且、非的综合应用'， '命题的真假性判断'， '三角函数与不等式的综合应用']

正确率60.0%已知命题$${{p}}$$：若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$和$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$都是等差数列，则$$\{r a_{n}+s b_{n} \}$$（$${{r}}$$，$${{s}{∈}{R}}$$）也是等差数列；命题$${{q}}$$：$$\forall x \in\left( 2 k \pi， 2 k \pi+\frac{\pi} {2} \right)$$（$${{k}{∈}{Z}}$$），都有$$\operatorname{s i n} x < x$$．则下列命题是真命题的是（）

A.$${{¬}{p}{∧}{q}}$$

B.$${{p}{∧}{q}}$$

C.$${{p}{∨}{q}}$$

D.$${{¬}{p}{∨}{q}}$$

2、['三角恒等变换综合应用'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用'， '数列与函数的综合问题']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，满足$$S_{n}=a n^{2}+b n ( a， b )$$为常数$${{)}}$$，且$$a_{9}={\frac{\pi} {2}}$$.设函数$$f ( x )=2+\operatorname{s i n} \， 2 x-2 \mathrm{s i n}^{2} \， \frac{x} {2}$$，记$$y_{n}=f ( a_{n} )$$，则数列$${{\{}{{y}_{n}}{\}}}$$的前$${{1}{7}}$$项和为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{7}}$$

B.$${{9}{π}}$$

C.$${{1}{1}}$$

D.$$\frac{1 7} {2} \pi$$

3、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明']

正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$$a_{1}=2， \， \， a_{n+1}=a_{n}+4，$$若$$a_{n}=2 0 2 2，$$则$${{n}{=}}$$（）

A.$${{5}{0}{8}}$$

B.$${{5}{0}{7}}$$

C.$${{5}{0}{6}}$$

D.$${{5}{0}{5}}$$

4、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明']

正确率80.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1，$$点$$P ( a_{n}， ~ a_{n+1} )$$在直线$$y=x+\frac{1} {2}$$上，则$${{a}_{9}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

5、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '裂项相消法求和'， '等差数列的基本量']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{1}}$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且满足$$a_{n+1}=a_{n}+1， ( n \in N^{*} )$$，则$$\frac1 {S_{1}}+\frac1 {S_{2}}+\frac1 {S_{3}}+\cdots+\frac1 {S_{n}}$$ $${{=}}$$

A.$$\frac{n ( n+1 )} {2}$$

B.$$\frac2 {n ( n+1 )}$$

C.$$\frac{2 n} {n+1}$$

D.$$\frac{n} {2 ( n+1 )}$$

6、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明']

正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{n+1}=a_{n}+1， \， \， \， n \in N^{*}$$，则数列的通项可以是（）

A.$$a_{n}=-n+1$$

B.$$a_{n}=n+1$$

C.$${{a}_{n}{=}{{2}^{n}}}$$

D.$${{a}_{n}{=}{{n}^{2}}}$$

7、['等差中项'， '等差数列的定义与证明'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等差数列，若$$\frac{a_{9}} {a_{8}} <-1，$$且它的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$有最大值，则使得$${{S}_{n}{>}{0}}$$的$${{n}}$$的最大值为（）

A.$${{1}{4}}$$

B.$${{1}{5}}$$

C.$${{1}{6}}$$

D.$${{1}{7}}$$

8、['等差数列的定义与证明'， '等差数列的基本量']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项为$${{1}}$$，第二项为$${{2}}$$，当整数$${{n}{⩾}{2}}$$时，都有$$a_{n+1}-a_{n}=2$$，则$${{S}_{7}}$$等于（）

A.$${{4}{2}}$$

B.$${{4}{3}}$$

C.$${{4}{5}{.}{5}}$$

D.$${{4}{9}}$$

9、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明']

正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若$$a_{1}=1， \， \， \， a_{2}={\frac{1} {2}}， \， \， \， {\frac{2} {a_{n+1}}}={\frac{1} {a_{n}}}+{\frac{1} {a_{n+2}}} ( n \in\bf{N}^{*} )$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为（）

A.$$a_{n}=n \left( n+1 \right)$$

B.$$a_{n}=\frac{1} {n \left( n+1 \right)}$$

C.$$a_{n}=\frac{1} {n}$$

D.$${{a}_{n}{=}{n}}$$

1. 解析：

首先分析命题$$p$$：若$${\{a_n\}}$$和$${\{b_n\}}$$是等差数列，则$$r a_n + s b_n$$也是等差数列。因为等差数列的线性组合仍是等差数列，命题$$p$$为真。

再分析命题$$q$$：在区间$$(2k\pi, 2k\pi + \frac{\pi}{2})$$内，$$\sin x < x$$恒成立，命题$$q$$为真。

因此，$$p \land q$$为真，选项B正确。

2. 解析：

由$$S_n = a n^2 + b n$$，可得$$a_n = S_n - S_{n-1} = 2a n + b - a$$，说明$${\{a_n\}}$$是等差数列。

已知$$a_9 = \frac{\pi}{2}$$，代入得$$18a + b - a = \frac{\pi}{2}$$，即$$17a + b = \frac{\pi}{2}$$。

化简函数$$f(x) = 2 + \sin 2x - 2 \sin^2 \frac{x}{2} = 1 + \sin 2x + \cos x$$。

由于$${\{a_n\}}$$是等差数列，$$a_n = a_1 + (n-1)d$$，且$$a_9 = a_1 + 8d = \frac{\pi}{2}$$。

观察$$f(a_n) + f(a_{18-n}) = 1 + \sin 2a_n + \cos a_n + 1 + \sin 2a_{18-n} + \cos a_{18-n}$$。

利用对称性，$$a_n + a_{18-n} = a_1 + a_{17} = 2a_9 = \pi$$，因此$$\sin 2a_n + \sin 2a_{18-n} = 0$$，$$\cos a_n + \cos a_{18-n} = 0$$。

所以$$f(a_n) + f(a_{18-n}) = 2$$，前17项和为$$8 \times 2 + f(a_9) = 16 + (1 + \sin \pi + \cos \frac{\pi}{2}) = 17$$，选项A正确。

3. 解析：

递推关系$$a_{n+1} = a_n + 4$$说明$${\{a_n\}}$$是等差数列，公差为4。

通项公式为$$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + 4(n-1) = 4n - 2$$。

令$$4n - 2 = 2022$$，解得$$n = 506$$，选项C正确。

4. 解析：

由题意，$$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{2}$$，说明$${\{a_n\}}$$是等差数列，公差为$$\frac{1}{2}$$。

通项公式为$$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + \frac{1}{2}(n-1) = \frac{n + 1}{2}$$。

因此$$a_9 = \frac{9 + 1}{2} = 5$$，选项D正确。

5. 解析：

由递推关系$$a_{n+1} = a_n + 1$$，说明$${\{a_n\}}$$是等差数列，公差为1。

通项公式为$$a_n = a_1 + (n-1)d = n$$。

前$$n$$项和$$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$。

因此$$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \cdots + \frac{1}{S_n} = 2 \left( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} \right) = 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{2n}{n+1}$$，选项C正确。

6. 解析：

递推关系$$a_{n+1} = a_n + 1$$说明$${\{a_n\}}$$是等差数列，公差为1。

选项B的通项$$a_n = n + 1$$满足条件，选项B正确。

7. 解析：

由题意，$${\{a_n\}}$$为等差数列且前$$n$$项和有最大值，说明公差$$d < 0$$。

$$\frac{a_9}{a_8} < -1$$，即$$a_8 > 0$$且$$a_9 < -a_8$$，说明$$a_8$$为正，$$a_9$$为负。

因此$$S_n$$的最大值出现在$$n = 8$$或$$n = 16$$附近。

计算$$S_{16} = \frac{16}{2}(a_1 + a_{16}) = 8(a_1 + a_{16})$$，由于$$a_{16} = a_1 + 15d$$，且$$a_8 = a_1 + 7d > 0$$，$$a_9 = a_1 + 8d < 0$$，可得$$S_{16} > 0$$。

而$$S_{17} = \frac{17}{2}(a_1 + a_{17}) = \frac{17}{2}(2a_1 + 16d) = 17(a_1 + 8d) = 17a_9 < 0$$。

因此使得$$S_n > 0$$的最大$$n$$为16，选项C正确。

8. 解析：

由题意，$$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，且当$$n \geq 2$$时，$$a_{n+1} - a_n = 2$$，说明从第二项起为等差数列，公差为2。

通项公式为$$a_n = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ 2 + 2(n-2) = 2n - 2 & n \geq 2 \end{cases}$$。

因此$$S_7 = a_1 + \sum_{k=2}^7 (2k - 2) = 1 + (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12) = 1 + 42 = 43$$，选项B正确。

9. 解析：

递推关系$$\frac{2}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+2}}$$可变形为$$\frac{1}{a_{n+2}} - \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n}$$，说明$${\left\{ \frac{1}{a_n} \right\}}$$是等差数列。

已知$$a_1 = 1$$，$$a_2 = \frac{1}{2}$$，因此$$\frac{1}{a_1} = 1$$，$$\frac{1}{a_2} = 2$$，公差为1。

通项公式为$$\frac{1}{a_n} = n$$，即$$a_n = \frac{1}{n}$$，选项C正确。

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